2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(遼寧卷)理(附解答)

1、更多內(nèi)容見微信公眾號或小編微信空間2003 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第卷（選擇題共 60分）注意事項：1答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上參考公式：如果事件 A、 B 互斥，那么球的表面積公式P（ A+B） =P（ A） +P（ B）S=4 R2如果事件 A、 B 相互獨立，那么其中 R表示球的半徑P（ AB） =P（ A） P（ B）球的體積公式如果事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率是P.V4 R3那么 n 次

2、獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k 次的概3率其中 R表示球的半徑Pn (k ) Cnk P k (1 P) n k一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .1關(guān)于原點對稱的曲線為（）1與曲線 yx 1A y1B y11 xC1x2 已知 x(,0), cos x4 ,則 tan 2x25A 7B 7C24243 13i(3i ) 2A 13 iB13 iC444411yD y1 x1 x（）24D 2477（）13 iD13 i22224已知四邊形ABCD是菱形，點P 在對角線AC上（不包括端點A、C），則 AP（）微信公眾號 :

3、 數(shù)學(xué)第六感；微信號 : AA-teacher更多內(nèi)容見微信公眾號或小編微信空間A( ABAD),(0,1)C( ABAD ),( 0,1)2x1, x0,5設(shè)函數(shù) f ( x)1若 f ( x0 ),x0x 2A（ 1， 1）C（， 2）（ 0， +）6等差數(shù)列 an 中，已知 a11 , a2 a53A 48B 497函數(shù) ylnx1, x(1,) 的反函數(shù)為x1A yex1, x(0,)ex1C yex1, x( ,0)ex1B( ABBC ),(0,2 )2D( ABBC ),(0,2 )21 ，則 x0 的取值范圍是（）B（ 1， +）D（， 1）（ 1，+）4, an33 ，則 n

4、 為（）C 50D 51（）ex1B yex1 , x (0, )xe1D y, x(,0)8棱長為 a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（）A a 3B a3C a3D a3346129設(shè) a 0,f ( x) ax 2bxc ，曲線 yf (x)在點 P(x0 , f (x0 ) 處切線的傾斜角的取值范圍為 0, ，則 P 到曲線 yf ( x) 對稱軸距離的取值范圍為（）4A0, 1B0, 1 a2aC0,|b |D 0,| b 1 |2a2a10已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F (7 ,0), 直線 y x1與其相交于 M、 N 兩點， MN微信公眾號 :

5、數(shù)學(xué)第六感；微信號 : AA-teacher更多內(nèi)容見微信公眾號或小編微信空間中點的橫坐標(biāo)為2 , 則此雙曲線的方程是（）3A x2y 21B x 2y 213443C x2y 21D x 2y 21522511已知長方形的四個頂點 A（ 0，0），B（ 2，0），C（ 2，1）和 D（ 0，1）. 一質(zhì)點從 AB 的中點 P0 沿與 AB 夾角為 的方向射到 BC上的點 P1 后，依次反射到 CD、 DA和 AB上的點 P2， P3 和P （入射角等于反射角）. 設(shè) P 的坐標(biāo)為（ x ， 0），若 1 x42444，則 tan的取值范圍是（）A（ 1 ，1）B (1,2）C (2,1)D(

6、2,2)333525312一個四面體的所有棱長都為2 ，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）A 3B 4C3 3D 6第卷（非選擇題共 90分）二、填空題：本大題共4 小題，每小題4 分，共 16分 . 答案填在題中橫線上 .13 ( x 21 ) 9 展開式中 x 9 的系數(shù)是.2x14某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200 輛， 6000 輛和 2000 輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量 現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取，輛15某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6 個部分5（如圖） . 現(xiàn)要栽種4 種不同顏色的花，每部分栽種一1種且相鄰部分不能栽種

7、同樣顏色的花，64不同的栽種方法有（以數(shù)字作答）2316對于四面體 ABCD，給出下列四個命題若 AB=AC， BD=CD，則 BC AD若 AB=CD， AC=BD，則 BC AD若 AB AC， BD CD，則 BC AD若 AB CD， BD AC，則 BC AD其中真命題的序號是.（寫出所有真命題的序號）三、解答題：本大題共6 小題，共17（本小題滿分12 分）微信公眾號74 分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟: 數(shù)學(xué)第六感；微信號 : AA-teacher.更多內(nèi)容見微信公眾號或小編微信空間已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1， AB=1， AA1=2，點 E 為 CC1

8、 中點，點F 為 BD1 中點 .（ 1）證明 EF 為 BD1 與 CC1 的公垂線；（ 2）求點 D1 到面 BDE的距離 .D1C1A1B1EFDCAB18（本小題滿分12 分）已知函數(shù)f (x)sin(x)(0,0) 是 R 上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點M (3,0) 對稱，且在區(qū)間0, 上是單調(diào)函數(shù)，求和的值 .4219（本小題滿分12 分）設(shè) a0 ，求函數(shù)f ( x)xln( xa)( x(0,) 的單調(diào)區(qū)間 .20（本小題滿分12 分）A、 B 兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，A 隊隊員是 A1，A2， A3， B隊隊員是 B ， B ， B ，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣

9、隊員之間勝負(fù)概率如下：123對陣隊員A 隊隊員勝的概率A 隊隊員負(fù)的概率A1對 B12133A 對 B232255A3對 B32355現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1 分，負(fù)隊得0 分，設(shè) A 隊、 B 隊最后所得總分分別為 、 （ 1）求 、 的概率分布；微信公眾號 : 數(shù)學(xué)第六感；微信號 : AA-teacher更多內(nèi)容見微信公眾號或小編微信空間（ 2）求 E ， E .21（本小題滿分14 分）設(shè) a0 為常數(shù)，且 an3n 12an1 (nN)（ 1）證明對任意 n1, an1 3n(1)n12n ( 1) n 2n a0 ；5（ 2）假設(shè)對任意 n1有 anan1，求 a0的取值范

10、圍 .22（本小題滿分14 分）已知常數(shù) a0，向量過定點 A（0，a）以c=（0， a）， i =（ 1， 0），經(jīng)過原點i 2 c 為方向向量的直線相交于點O以 c+ i 為方向向量的直線與經(jīng)P，其中 R.試問：是否存在兩個定點 E、 F，使得 |PE|+|PF|為定值 . 若存在，求出E、 F 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.2003 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算每小題5 分，滿分 60 分1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A二、填空題：本題考查基本

11、知識和基本運算，每小題4 分，滿分 16 分1321 12016 14 6， 30， 10 152三、解答題17本小題主要考查線面關(guān)系和四棱柱等基礎(chǔ)知識, 考查空間想象能力和推理能力.滿分 12分.D1C1A1B1EFDCAMB（ I ）證法一：取BD中點 M，連結(jié) MC， FM，微信公眾號 : 數(shù)學(xué)第六感；微信號 : AA-teacher1FBD1FM D1DFM=D1 D2EC=1 CC1EC MC2EFMCEFCC13CMDBD1EFDBD1BD1DBD1EFBD1EFBD1CC1.zD1C1A1B1EFx DC(O)AyBB010D1102F(1,1,1)2 2C1002E001.2E

12、F(1,1,0), CC1(0,0,2)22BD1(1, 1,2)4EF CC10, BD1EF 0EF CC1 EF BD1EFCC1BD1.6IIED1VE DBD1VD DBE1IEFDBDDBDE11dSDBC d=S DBD1 EF.9AA1=2 AB=1.: AA-teacher更多內(nèi)容見微信公眾號或小編微信空間2BDBEED2, EF2S DBD112 22,S DBC13(2)232222故點 D1 到平面 BDE的距離為2 3 .2223d23 32318 本小題主要考查三角函數(shù)的圖象和單調(diào)性、 奇偶性等基本知識， 以及分析問題和推理計算能力.滿分 12分 .解：由 f (

13、x)是偶函數(shù)，得f (x)f ( x) ，即 sin( x)sin( x) ，所以 cossin xcossinx對任意 x 都成立，且0 ，所以得 cos0 ，依題設(shè) 0，所以解得.4 分2由 f ( x) 的圖象關(guān)于點M對稱，得 f ( 3x)f (3x) ，44取 x 0, 得 f ( 3 )f ( 3 ), 所以 f ( 3 )0,444f (3 ) sin( 3)cos 3，4424cos 30, 又0,得 34k, k 0,1,2 ，8 分4221),k0,1,2, .(2k3當(dāng) k=0 時，當(dāng) k=1 時，當(dāng) k 2 時，2 , f ( x)sin( 2x)在0,2 上是減函數(shù)；

14、3322, f ( x)sin(2x2)在 0, 上是減函數(shù)；210 , f (x) sin( x)在 0, 上不是單調(diào)函數(shù) .322微信公眾號 : 數(shù)學(xué)第六感；微信號 : AA-teacher更多內(nèi)容見微信公眾號或小編微信空間所以，綜合得22.12分或319本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力.滿分 12分.解： f (x)11( x0) .2 分2xxa當(dāng) a0, x0 時f(x)0x2(24)xa20.af ( x) 0x 2 )2a 4) x a 20（ i ）當(dāng) a1 時，對所有 x0 ，有 x 2(2a4)a20 .即 f(x)0，此時 f (

15、 x) 在 ( 0,) 內(nèi)單調(diào)遞增 .5 分（ ii）當(dāng) a1 時，對 x1 ，有x2( 24)x a20，a即 f(x)0，此時 f ( x) 在（ 0， +）內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,) 內(nèi)單調(diào)遞增又知函數(shù)f (x) 在 x=1 處連續(xù)，因此，函數(shù)f (x) 在（ 0， +）內(nèi)單調(diào)遞增 7 分（ iii）當(dāng)0 a1時，令 f( x)0，即 x 2(2a4)xa 20 .解得 x 2a 2 1 a, 或x 2 a 2 1 a .因此，函數(shù)f (x) 在區(qū)間 ( 0,2a21a ) 內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2 a2 1 a ,)內(nèi)也單調(diào)遞增 .10 分令f(x)0,即x2( 24)x20，aa解得 2

16、a 2 1 a x 2 a 2 1 a .因此，函數(shù)f ( x)（2 a - 2 1 a ,2 a 2 1 a )內(nèi)單調(diào)遞減 .12在區(qū)間分20本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12 分 .解：（ 1） 、 的可能取值分別為3， 2， 1， 0.微信公眾號 : 數(shù)學(xué)第六感；微信號 : AA-teacher更多內(nèi)容見微信公眾號或小編微信空間P(3)222835575P(2)2231222322835535535575P(1)2331231322355355355，5P(0)13334 分355258 , P( =1)=P( =2)= 28根據(jù)

17、題意知 + =3，所以 P(=0)=P( =3)=7575P( =2)=P( =1)=2, P( =3)=P( =0)=3.8分525（2） E38228120322； 因為 + =3，所以757552515E3E23 .12 分1521本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分14 分.（ 1）證法一：（ i ）當(dāng) n=1 時，由已知 a =1 2a ，等式成立；10（ ii ）假設(shè)當(dāng) n=k（ k 1）等式成立，則 ak1 3k(1) k1 2k (1) k 2 k a0 ,5那么 ak 13k2ak3k2 3k( 1) k 1

18、2k ( 1) k 2 k 1 a051 3k 1( 1) k 2k 1 ( 1)k 1 2k 1 a0 .5也就是說，當(dāng)n=k+1 時，等式也成立 .根據(jù)（ i ）和（ ii ），可知等式對任何nN+，成立 .6分證法二：如果設(shè)an3n3n 12(a n 13n1 ),用 an3n12an 1 代入，可解出1.5所以an3n是公比為 2，首項為a13 的等比數(shù)列 .55a n3n(1 2a 03 )( 2) n 1 ( n N ).55即 an3n(1) n 1 2 n( 1)n 2n a0 .6 分5微信公眾號 : 數(shù)學(xué)第六感；微信號 : AA-teacher更多內(nèi)容見微信公眾號或小編微信

19、空間（ 2）解法一：由 an 通項公式anan 123n 1(1)n 1 3 2 n 1(1) n 3 2n 1 a0 .5anan1 (nN) 等價于( 1) n 1 (5a01)( 3) n2 ( nN). 8 分2（ i ）當(dāng) n=2k 1， k=1，2， 時，式即為(1)2 k 2 (5a 01)( 3) 2k32即為a 01(3)2 k 31 . 525式對 k=1， 2， 都成立，有a0 1(3) 111 .10 分5253（ ii ）當(dāng) n=2k，k=1， 2， 時，式即為(1) 2k 1 (5a01)(3 )2 k 2 .1( 3) 2 k 21. 2即為a0式對 k=1， 2

20、， 都成立，有525a01(3)2 1210.12分525綜上，式對任意n N* ，成立，有 0a01 .故 a0 的取值范圍為 (0, 1 ).314 分3解法二：如果 anan 1 （ n N* ）成立，特別取n=1， 2 有a1a013a00.a2a16a00.因此0a01 .9 分3下面證明當(dāng)0a01 .*，3時，對任意 n Nanan 10.由 an 的通項公式5(a nan1 )23n1( 1) n 1 32 n 1(1) n 53 2 n 1 a 0 .（ i ）當(dāng) n=2k 1， k=1，2 時，5(a nan1 )23n132n 1532n1 a 02 2n 13 2 n 15 2 n 1012分（ ii ）當(dāng) n=2k，