高三數(shù)學總復(fù)習指導(dǎo)(理科)專題十排列組合二項式定理

1、今天比昨天好這就是希望高中數(shù)學小柯工作室專題十排列組合二項式定理排列、 合與二 式定理是高中數(shù)學中內(nèi)容相 獨立的一個部分，排列、 合的知 概率與 中的 數(shù) 提供了一定的方法 部分內(nèi)容的 有一定的 合性與靈活性，要注意與其他數(shù)學知 的 系，注意與 生活的 系通 典型例 的分析， 思 律，提高解 能力 101排列組合【知 要點】1分 數(shù)原理與分步 數(shù)原理2排列與 合anm( nn!, c nmn!anmm)!m! (n m)!anm3 合數(shù)的性 ：(1) c nmc nn m ；(2) c nm1cnmc nm 1 【復(fù) 要求】理解和掌握分 數(shù)與分步 數(shù)兩個原理在 用分 數(shù)原理 ，要注意“ ”與“

2、 ”之 的獨立性和等效性，在 用分步 數(shù)原理 ，要注意“步”與“步”之 的相關(guān)性和 性熟 掌握排列數(shù)公式和 合數(shù)公式，注意 目的 構(gòu)特征和 系；掌握 合數(shù)的兩個性 ，并 用于化 、 算和 正確區(qū) 排列與 合的異同，體會解 數(shù) 的基本方法，正確 理附加的限制條件【例 分析】例 1有3 封信，4 個信筒(1)把 3 封信都寄出，有多少種寄信方法?(2)把 3 封信都寄出，且每個信筒中最多一封信，有多少種寄信方法?【分析】 (1) 分 3 步完成寄出3 封信的任 ：第一步，寄出1 封信，有 4 種方法；第二步，再寄出 1 封信，有4 種方法；第三步，寄出最后1 封信，有4 種方法，完成任 根據(jù)分步

3、數(shù)原3理，共有4 4 4 4 64 種寄信方法(2)典型的排列 ，共有a43 24 種寄信方法例 2在一 并排10 的田地中， 2 分 種植a， b 兩種作物，每種作物種植1 ， 有利于作物生 ，要求a， b 兩種作物的 隔不小于6 ， 不同的種植方法共有_種解： 設(shè)這 10 田地分 第1 ，第 2 ，第 10 ，要求 a，b 兩 作物的 隔不少于6 ，所以第一步 的方式共有 (1， 8)， (1，9)，(1， 10)， (2， 9)， (2， 10)， (3，10)這 6 種 法，第二步種植兩種作物共有a22 2 種種植法，所以共有62 12 種 種植方法【 述】 排列 合是解決 數(shù) 的一種

4、重要方法但要注意， 數(shù) 的基本原理是分步 數(shù)原理和分 數(shù)原理，是最普遍使用的，不要把 數(shù) 等同于排列 合 某些 數(shù) ，當運用公式很 行 ，適 采取原始的分 枚 方法往往是最好的如例 2在具體的 數(shù) 的解決 程中，需要決策的是， 個 數(shù) 需要“分步” 是“分 ”完成，再考 個 數(shù) 是排列 、 合 是一般的 數(shù) 如例1 的兩個 今天比昨天好這就是希望高中數(shù)學小柯工作室例 3 某電子表以6 個數(shù)字顯示時間，例如09:20:18 表示 9 點 20 分 18 秒則在 0 點到 10 點之間，此電子表出現(xiàn)6 個各不相同數(shù)字來表示時間的有_次【分析】 分步來確定電子表中的六個數(shù)字如下：第一步：確定第一個數(shù)

5、字，只能為0，只有1 種方法；第二步：確定第三位數(shù)字， 只能為0 至 5 中的一個數(shù) (又不能與首位相同)，所以只有5 種方法；第三步：確定第五位數(shù)字，也只能為0 至 5 中的一個數(shù) (又不能與首位，第三位相同)，所以只有 4 種方法；第四步：確定剩下三位數(shù)字，0 至 9 共 10 個數(shù)字已用了 3 個，剩下的7 個數(shù)字排列在 2，4，6 位共有 a73 種排法由分步計數(shù)原理得：15 4 a73 4200 種【評述】 做一件事情分多步完成時，我們一般先做限制條件較大的一步，如本題中，首位受限條件最大，其次為三、五位，所以我們先排首位，再排三、五位，最后排其他位例 47 個同學站成一排，分別求出

6、符合下列要求的不同排法的種數(shù)(1)甲站在中間；(2)甲、乙必須相鄰；(3)甲在乙的左邊(但不一定相鄰 )；(4)甲、乙、丙相鄰；(5)甲、乙、丙兩兩不相鄰；解： (1) 甲站在中間，其余6 名同學任意排列，故不同排法有a66 720(2)第一步：先把甲、乙捆綁，視為一個元素，連同其余5個人全排列，共有 a66種排法；第二步：給甲、乙松綁，有a22 種排法，此題共有 a66a22 1440 種不同排法(3)在 7 名同學站成一排的a7 種排法中，“甲左乙右”與“甲右乙左”的站法是一一對應(yīng)的，7各占一半，因此甲站在乙的左邊(不要求相鄰 )的不同排法共有a77 2 2520 種(4)先把甲、乙、丙視

7、為一個元素，連同其余4 名同學共 5個元素的全部排列數(shù)有a5 種，再結(jié)5合甲、乙、丙 3 個人之間的不同排列有a33種，此題的解為：a55a33 720(5)先讓除甲、乙、丙外的4 個人站好，共有a44 種站法，讓甲、乙、丙3 人插空，由于 4 個人形成 5 個空位，所以甲、乙、丙共有a53 種站法，此題答案 a44 a531440【評述】 當要求某幾個元素排在一起時，我們常將這幾個元素捆綁在一起作為一個元素與其他元素進行排列如例4(2)， (4) 當要求某幾個元素不相鄰時，我們常常先排其他元素，然后再將這幾個元素排在已排好的其他元素的空中如例 4(5)例 54 個不同的球，4 個不同的大盒子

8、，把球全部放入盒內(nèi)，恰有一個盒不放球，共幾種放法 ?【分析】 先將 4 個球分成3 組，共有 c426 種分組方法；再將3 組球放在4 個盒子里，是排今天比昨天好這就是希望高中數(shù)學小柯工作室列問題，有 a4324 種方法，所以，共有c42 a43144 種不同的放球方法【評述】 類似這種裝球問題采取先分組后裝球的方法比較好例 6 某班組有 10 名工人，其中 4 名是女工從這10 個人中選 3 名代表，其中至少有一名女工的選法有多少種 ?解法 1：至少有一名女工的情形有三類：1 名女工和 2 名男工； 2 名女工和1 名男工； 3 名女工，把這 3 類選法加在一起，共有 c41c62c 42c

9、61c43100 種不同的選法解法 2：與“至少有一名女工” 選法相對立的是“沒有女工” 的選法， 從所有的選法中除去 “沒有女工”的選法，剩下的即為所求，共有c103c63100 【評述】 當涉及“至少”或“至多”的問題時，從大的方向看我們常常是對其分類討論，運用分類計數(shù)原理解決問題，當然，也可以考慮問題的對立面再用減法進行計算例 7如圖，用六種不同的顏色給圖中的4 個格子涂色， 每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有多少種?【分析】 如果按從左至右的順序去涂色，當涂到第4 個格子時會發(fā)現(xiàn)，第三個格子的顏色與第一個格子的顏色是否相同決定

10、著第4 個格子有幾種涂色方法，即如果第三個格子的顏色與第一個格子的顏色是否相同是不確定的，則第四個格子的涂色情況不定于是，我們要按照1、3 兩個格子顏色相同和不相同兩種情況分類來處理這個計數(shù)問題解： 1、 3 兩個格子顏色相同時，按分步計數(shù)原理，有6 5 1 5 150 種方法；1、3 兩個格子顏色不相同時，按分步計數(shù)原理，有6 54 4 480 種方法所以，共有不同的涂色方法630 種例 8四面體的頂點和各棱中點共10 個點，取 4 個不共面的點，不同取法有多少種?【分析】 沒有限制地從10 個點中選出4 個點，共有 c104 種不同選法，除去 4 點共面的選法即可4 點共面的選法有3 類(

11、1)4 個點在四面體a bcd 的某一個面上，共有 4c64 種共面的情況(2)過四面體的一條棱上的3 個點及對棱的中點，如圖中點a， e， b，g 平面，共計有 6 種共面的情況(3)過四面體的四條棱的中點，而且與一組對棱平行的平面，如圖e， f， g， h 平面，此類選今天比昨天好這就是希望高中數(shù)學小柯工作室法共有 3 種綜上，符合要求的選法共有c104(4c6463)141種例 9 在給出的下圖中， 用水平或垂直的線段連結(jié)相鄰的字母， 按這些線段行走時， 正好拼出“競賽”即“ contest ”的路線共有多少條 ?【分析】“contest ”的路線的條數(shù)與“tsetnoc ”路線的條數(shù)相

12、同，如下右圖，從左下角的 t 走到邊上的 c 共有 6 步，每一步都有 2 種選擇，由分步計數(shù)原理， 所以下圖中，“ tsetnoc ” 路線共有 26 64 條所以本題的答案為 642 1 127【評述】 例 9 的這種計數(shù)的方法常稱之為對應(yīng)法計數(shù)，它的理論基礎(chǔ)為：如果兩個集合之間可以建立一對一的對應(yīng)關(guān)系，那么這兩個集合的元素的個數(shù)相同借助這個原理，如果一個集合元素的個數(shù)不好計算時，我們將其轉(zhuǎn)化為求另一個集合元素的個數(shù)不失為一種較好的方法例 10(1) 計算 a85a84的值；a96 a95(2)計算 c338nnc 213nn 的值；(3)證明： anmmanm 1anm1 a85a848

13、!8!48!8!58!5(1)3!4!解： a96a959!9!49!9!39!273!4!(2)解：注意到 cnm 中的隱含條件： n m， m n， n n* ，有3n38n,3n0,解得19n21，所以 n 1038n0,2221n3n,所以， c3028c3130c302c311466 (3)證明 ： anmmanm 1( nn!mn!1)!(nm1) n!(nm n!m)!(nm(nm1)!m 1)!(n m 1) n!m n!1)!( n 1)!(n 1)!anm 1 (n m 1)!(nm(nm1)!( n1)m!今天比昨天好這就是希望高中數(shù)學小柯工作室【 述】 于含排列 合式的

14、恒等式 明及 算 常用的方法有兩種，一種是運用排列 合數(shù)的 算公式 化 代數(shù)恒等式的 明及代數(shù)式求 ，另一種是運用 合數(shù)的一些性 行 算及 明常用的 合數(shù)的性 有：(1) c nmc nn m ；(2) cnm1cnmcnm 1 ；(3)c n0cn1cn2cnn2n ；(4)c n0cn2cn1cn3練習 10 1一、 1 5 位同學 名參加兩個 外活 小 ，每位同學限 其中的一個小 ， 不同的 名方法共有()(a)10 種(b)20 種(c)25 種(d)32 種2某班新年 會原定的5 個 目已排成 目 ，開演前又增加了兩個新 目如果將 兩個 目插入原 目 中，那么不同插法的種數(shù) ()(a

15、)42(b)30(c)20(d)123四面體的一個 點 a，從其他 點與棱的中點中取3 個點，使它 和點a 在同一平面上，不同的取法有 ()(a)30 種(b)33 種(c)36 種(d)39 種4某 用 劃用不超 500 元的 金 價分 60元、 70 元的 片 件和盒裝磁 ，根據(jù)需要， 件至少 3 片，磁 至少 2 盒， 不同的 方式有()(a)5種(b)6 種(c)7 種(d)8 種5下列等式中正確的是()(1) kcnknc nk11；(2)k1c nk1cnk11 ；1n1(3) c nk 1nk cnk ；(4) cnk11k1cnk k1n1(a)(1)(2)(b)(1)(2)(

16、3)(c)(1)(3)(d)(2)(3)(4)6有兩排座位，前排11 個座位，后排 12 個座位， 安排 2 人就座， 定前排中 的3 個座位不能坐，并且 2 人不左右相 ，那么不同排法的種數(shù)是()(a)234 種(b)346 種(c)350 種(d)363 種二、填空 7從集合 0 ，1， 2， 3，5， 7， 11中任取3 個元素分 作 直 方程ax by c 0 中的 a、b、c，所得的 坐 原點的直 有_條 ( 果用數(shù) 表示 )8用數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5 可以 成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000 大的五位偶數(shù)共有 _9 路上有 12 燈， 了 用 ，可以熄 其中3 燈，但

17、兩端的燈不能熄 ，也不能熄 相 的兩 燈，那么熄燈方法共有_種10將 號 1， 2， 10 的 10個球放入 號 1， 2， 10 的 10 個盒子內(nèi)，每個盒內(nèi)放一個球， 恰好有3 個球的 號與其所在盒子的 號不一致的放入方法共有_種 ( 以數(shù)字作答 )11從集合 o， p，q，r， s 與 0 ， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中各任取2 個元素排成一排 (字母和數(shù)字均不能重復(fù))，每排中字母 o，q 和數(shù)字0 至多只能出 一個的不同排法種數(shù)是今天比昨天好這就是希望_ (用數(shù)字作答 )12 8 個相同的球放 號 1、 2、3 的盒子里， 放法種數(shù) 10 2二項式定理【知

18、要點】1二 式定理： (ab)ncn0a nc n1an 1b cn2 an 2b22通 公式： tr 1cnr an r br ，3 c n0 ， c 1n ， c n2 ， cnr ， cnn 稱 二 式系數(shù)，高中數(shù)學小柯工作室_ (以數(shù) 作答 )cnr an r brcnnbn 4二 展開式的系數(shù)的性 ：cn0c 1ncn2c nn2n ； c n0cn2c1ncn3【復(fù) 要求】會求二 展開式中適合某種特殊條件的 ；了解利用二 式定理 行近似 算， 明與 合數(shù)有關(guān)的等式或整數(shù) (整式 )的整除性的方法【例 分析】例 1 在二 式 (x21)5 的展開式中，含 x4 的 的系數(shù)是 _x解：

19、 tr 1c5r ( x2 )5 r ( 1 )r( 1) r c5r x10 3r ，x令 10 3r 4，得 r 2，所以 x4 的系數(shù)是 c52 ( 1) 210 例 2 (1) 若 (1x) n 的展開式中， x3 的系數(shù)是 x 系數(shù)的7 倍，求 n 的 ；(2)在 (2 lgx)8 的展開式中，二 式系數(shù)最大的 的 等于1120，求 x 的 解： (1) 由已知 c n37cn1，即 n(n1)(n 2)7n ，整理得 n2 3n 40 0，6解得 n 8 或 n 5(舍 )所以 n 8(2)(2 lgx)8 的展開式中共有9 ，二 式系數(shù)最大的 第5 由已知，424(lg )411

20、20，整理得 (lgx)4 1，所以 lgx 1，t5 c8x解得 x 10或 x110例 3 求 (3x32 )100的展開式中 x 的系數(shù) 有理數(shù)的 的個數(shù)100 rr解： tr 1c100r(3x)100 r (32 ) rc100r 3 223 x100r ，若系數(shù) 有理數(shù)， 100 r , r 都必 是整數(shù)，即r 應(yīng)為 6的倍數(shù)2 3又 0 r 100，所以 r 的不同 有 17 個所以 x 的系數(shù) 有理數(shù)的 共有17 例 4已知 ( x1 )n 的展開式中， 第 3 與第 6 的系數(shù)互 相反數(shù)， 求展開式中系數(shù)最小的n 今天比昨天好這就是希望高中數(shù)學小柯工作室解： t3 cn2 x

21、n 2 ( 1 )2cn2 xn 4 ,t6cn5xn 5 ( 1) 5cn5 xn 10,xx由已知 cn5cn2，所以 n 7所以第 4 系數(shù)最小， t4c73 x73 (1 )3c73 x35x.x【 述】 通 公式 tr1 c nr anr br是二 式定理中常用的一個公式，要熟 掌握，同 注意系數(shù)、上 、下 之 的關(guān)系；注意系數(shù)、二 式系數(shù)的區(qū) ，如例2；注意運用通 公式求第3 ， r 2如例 4例 5 已知 (a2 1)n 的展開式中的各 系數(shù)之和等于(16x21) 5 的展開式的常數(shù) ，而 (a25x 1)n 的展開式中的系數(shù)最大 等于54，求 a 的 ，解： (16 x21 )

22、5 的展開式的第16116205 rr 1 項 tr1c5r (x2 )5r ()r()5 r c5r x2 .5x5x5令 tr 1 常數(shù) ， 205r 0， r 4，所以常數(shù) t5c541616.5又 (a2 1)n 的展開式中的各 系數(shù)之和等于2n，由 意得 2n 16，所以 n4由二 式系數(shù)的性 知， (a2 1)n 的展開式中的系數(shù)最大的 即 二 式系數(shù)最大的 ，是中間項 t3，所以 c 42a 454 ，解得 a3 例 6 已知 (1 2x)7 a0 a1x a2x2 a7x7求：(1)a1 a2 a7；(2)a1 a3 a5 a7；(3)a0 a2 a4 a6；(4) a0 a1

23、 a2 a7解： 令 x 1， a0 a1 a2 a7 1令 x 1， a a a a a a a a 3701234567(1)易知 a0 1，所以 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 a0 2；1 a3 a5 a71 37 1094；(2)( ) 2，得 a2(3)( ) 2，得 a0 a2 a4 a6=137 1093 ；2(4)方法 1：因 (1 2x)7 的展開式中 a1， a3， a5， a7 是 數(shù)， a0， a2， a4， a6 是正數(shù)，所以 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 (a1 a3 a5 a7) 2187方法 2：因 a a a a 表示 (1 2x

24、)7 的展開式中各 系數(shù)的和，0127令 x1，可得 a0 a1 a2 a7 37 2187【 述】 通 二 式定理中的字母 (根據(jù)式子的特點，常令字母 1 或 1)的方式可以解決二 展開式系數(shù)整體求 的 例 7若多 式 x2 x10 a0 a1 (x 1)a2 (x1)2 a9( x1) 9a10(x1)10， a9 _【分析】 方法 1：由于 a0 a1(x 1) a2(x 1)2 a9(x 1)9 a10(x 1)10 x2x10 1(x1)21(x1)10今天比昨天好這就是希望高中數(shù)學小柯工作室c109 ( 1)1( x1)9c1010 ( x 1)10 ，則 a9 c109 ( 1)

25、10 方法 2：由于等式左邊x10 的系數(shù)為1，所以 a 1，10又，等式左邊 x9 的系數(shù)為 0，所以 a9c109a100 ，所以 a9 10例 8 9192 除以 100 的余數(shù)為 _解： 9192(901)92c920 9092c921 9091c9290 90 2c9291 90 1前面各項均能被100 整除，只有末尾兩項不能被100 整除，c9291 90 182818200 81 ，所以 9192 除以 100 的余數(shù)為 81例 9 求(0.998) 5 精確到 0.001 的近似值解： (0.998) 5(10.002)5c50c51 (0.002) c52 ( 0.002)2

26、0.990【評述】 利用二項式定理求余數(shù)、求近似值是二項式定理的應(yīng)用之一例 10設(shè) a 1， n n* 且 n 2，求證 n a1a 1n證明： 設(shè) na1x ，則 (x 1)n a欲證原不等式，即證nx (x 1)n1，其中 x 0( x 1)nc 0 xnc1 xn 1c n 1x 1 c n 1 x 1 nx 1( n 2) ，nnnn即有 ( x1)n nx 1，得證例 11(12x2 )( x1)8 的展開式中常數(shù)項為_ (用數(shù)字作答 )x解： 求 (12x2)( x1 818，即求展開式中的常數(shù)項及含 2的項)的常數(shù)項 ( x)xxx對于 ( x1 )8 ， tr 1c8r x8

27、r ( 1 )r( 1)r c8r x8 2r xx令 8 2r 0，即有 r 4， t5( 1) 4 c8470 令 8 2r 2，即有 r 5， t6(1)5 c85 x 256x 2 所以常數(shù)項為70 2( 56) 42練習 10 2一、選擇題1若 (x21) n 的展開式中的所有二項式系數(shù)和為512，則該展開式中的常數(shù)項為x(a) 84(b)84(c) 36(d)36ax 93，常數(shù) a 的值為 ()2已知 ()的展開式中 x 的系數(shù)為 9x24今天比昨天好這就是希望高中數(shù)學小柯工作室(a)1(b)2(c)4(d)83在 (1 x)5(1 x)4 的展開式中， x3 的系數(shù)是 ()(a

28、)4(b) 4(c)8(d) 84若 c21n 與 c nm 同 有最大 ， m 的 是 ()(a)5(b)4 或 5(c)5 或 6(d)6 或 7二、填空 5 (x2 1)6 的展開式中常數(shù) 是_ (用數(shù)字作答 )xn xn ax3 bx2 1， (n n *)，且 a b 3 1，那么 n _6若 (x 1)7 (nn121)除以 n (n 1)的余數(shù) _8 察下列等式：c51c55232 ，c91c95c992723 ，c1c 5c 9c 1321125 ，13131313c171c175c179c1713c171721527 ，由以上等式推 到一個一般的 ：*1594 n 1 于 n

29、 n, c4n1 c 4 n 1c4 n 1c 4 n 1 _ 三、解答 9在 (3x 1)n 的展開式中，如果各 系數(shù)的和比各 二 式系數(shù)的和大992，求 n 的 10若 f(x) (1 2x)m(1 3x)n 展開式中 x 的系數(shù) 13， x2 的系數(shù) ()11當 n n* ，求 ：2(11 )n 3.n習題 10一、 1某校要求每位學生從7 程中 修4 ，其中甲、乙兩 程不能都 ， 不同的 方案有 ()(a)35種(b)25種(c)20種(d)16種2將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班， 不同分法的種數(shù) ()(a)18(b)

30、24(c)30(d)363從 “ equation”中 取的不同排列共有()5 個不同的字母排成一排，含有“qu” (其中“ qu”相 且 序不 )今天比昨天好這就是希望高中數(shù)學小柯工作室(a)120 種(b)480 種(c)720 種(d)840 種4若 (2x3)3 aa xax2ax3， ( a0 a2)2 (a1 a3)2的 ()0123(a) 1(b)1(c)0(d)222nn 的最小 ()5若 (3x3 )的展開式中含有非零常數(shù) ， 正整數(shù)x(a)10(b)6(c)5(d)320092009a1a2a20096若 (1 2x)a0a1xa2009x( xr ) ， 22a2009

31、的 ()(a)2(b)0(c) 1(d) 2二、填空 7在 (3 x)7 的展開式中， x5 的系數(shù)是 _ (用數(shù)字作答 )8從 6 名男生和4 名女生中， 出3 名代表，要求至少有一名女生， 不同的 法有_種9有 6 個座位 成一排， 有3 人就座， 恰有兩個空座位相 的不同坐法有_種10 (x y)10 的展開式中， x7y3 的系數(shù)與 x3y7 的系數(shù)之和等于 _11數(shù)列 a1， a2， a7，其中恰好有5 個 2 和 2 個 4， a1 至 a7 各數(shù)的位置，一共可以 成不同的數(shù)列 (含原數(shù)列 )_個12 2010 年廣州 運會 委會要從小 、小 、小李、小 、小王五名志愿者中 派四人分 從事翻 、 游、禮 、司機四 不同工作，若其中小 和小 只能從事前兩 工作