修訂版高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)：《正弦定理和余弦定理》復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)(修訂版)

1、正弦定理和余弦定理復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析這是高三一輪復(fù)習(xí)，內(nèi)容是必修5第一章解三角形。本章內(nèi) 谷準(zhǔn)備復(fù)習(xí)兩課時。本節(jié)課是第一課時。標(biāo)要求本早的中心內(nèi)容 是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具， 最后 應(yīng)落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上。通過本節(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下 學(xué)習(xí)目標(biāo)：(1)通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌 握正弦定理、余弦定理解三角形.(2)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦 定理等知識和方法判斷三角形形狀的問題。本章內(nèi)容與三角函 數(shù)、向量聯(lián)系密切。作為復(fù)習(xí)課一方面將本章知識作一個梳理，另一方面通過整 理歸納幫助學(xué)生進(jìn)一步達(dá)到相應(yīng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)情分析學(xué)生通過必修5的學(xué)習(xí)，對正弦定理、余

2、弦定理的內(nèi)容已經(jīng) 了解，但對于如何靈活運(yùn)用定理解決實(shí)際問題， 怎樣合理選擇定 理進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化從而解決三角形綜合問題， 學(xué)生還需通過復(fù) 習(xí)提點(diǎn)有彳寸進(jìn) 步理解和掌握。教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：(1) 學(xué)生通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦、余弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用正、余弦定理與三角 形內(nèi)角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。(2) 學(xué)生學(xué)會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。 能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力， 培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力，培養(yǎng) 學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思維能力。情感目標(biāo)：通過生活實(shí)例探究回顧

3、三角函數(shù)、 正余弦定理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來 源于生活，并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 ，并體會數(shù) 學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生的探索精神。教學(xué)方法探究式教學(xué)、講練結(jié)合重點(diǎn)難點(diǎn)1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇；2、正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。教學(xué)策略1、重視多種教學(xué)方法有效整合；2、重視提出問題、解決問題策略的指導(dǎo)。3、重視加強(qiáng)前后知識的密切聯(lián)系。4、重視加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的培養(yǎng)。5、注意避免過于繁瑣的形式化訓(xùn)練6、教學(xué)過程體現(xiàn)“實(shí)踐一認(rèn)識一實(shí)踐”。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過必修5的學(xué)習(xí)，對正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)了解，但對于如 何靈活運(yùn)用定理解決實(shí)際問題，怎樣合理選擇定理

4、進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化從而解決三 角形綜合問題，學(xué)生還需通過復(fù)習(xí)提點(diǎn)有待進(jìn)一步理解和掌握。 作為復(fù)習(xí)課一方 面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學(xué)生學(xué)會分析問題， 合理選用并熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實(shí) 際應(yīng)用問題。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分， 有利于學(xué)生加深數(shù) 學(xué)知識的理解和掌握。雖然是復(fù)習(xí)課，但我們不能一味的講題，在教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn) 以下教學(xué)思想：重視教學(xué)各環(huán)節(jié)的合理安排：設(shè)疑探究拓展 實(shí)踐 循環(huán)此流程在生活實(shí)踐中提出問題，再引導(dǎo)學(xué)生帶著問題對新知進(jìn)行探究， 然后引導(dǎo)學(xué) 生回顧舊知識與方法，引出課題。激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)新知的欲望，

5、使學(xué)生的知識 結(jié)構(gòu)呈一個螺旋上升的狀態(tài)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。重視多種教學(xué)方法有效整合，以講練結(jié)合法、分析引導(dǎo)法、變式訓(xùn)練法等 多種方法貫穿整個教學(xué)過程。重視提出問題、解決問題策略的指導(dǎo)。重視加強(qiáng)前后知識的密切聯(lián)系。對于新知識的探究，必須增加足夠的預(yù)備 知識，做好銜接。要對學(xué)生已有的知識進(jìn)行分析、整理和篩選，把對學(xué)生后繼學(xué) 習(xí)中有需要的知識選擇出來，在新知識介紹之前進(jìn)行復(fù)習(xí)。注意避免過于繁瑣的形式化訓(xùn)練。從數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)上看解三角形內(nèi)容有 不少高度技巧化、形式化的問題，我們在教學(xué)過程中應(yīng)該注意盡量避免這一類問 題的出現(xiàn)。二、實(shí)施教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境、揭示提出課題引例：要測量南北兩岸 A、B兩個

6、建筑物之間的距離，在南岸選取相距 A點(diǎn)V3km的C點(diǎn)，并通過經(jīng)緯儀測的 BCA 45, BAC 75，你能計(jì)算出A、B之間的距離嗎？若人在南岸要測量對岸 B、D兩個建筑物之間的距離，該如何進(jìn)創(chuàng)設(shè)情 境，提出 實(shí)際應(yīng)用 問題，揭 示課題學(xué)生在探 究問題時 發(fā)現(xiàn)是解 三角形問 題，通過 問答將知 識作一梳 理。行？（二）復(fù)習(xí)回顧、知識梳理1.正弦定理：a b c2R（R為外接圓半徑）sin A sinB sinC正弦定理的變形：（1） a: b: c si nA； si nB : si nC（2） a 2RsinA； b 2RsinB；c 2RsinC利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題

7、 .（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進(jìn)一步求出其 他的邊和角）2.余弦定理：a2=b2+c2 2bccosA;b2=c2+a2 2cacosB;c2=a2+b2 2abcosC.2 2 2A b c acosA= 一2bc2 2 2 a c b cosB=2ac2 2 2 a c b cosC=.2ac利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題:（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角3 三角形面積公式:(三) 自主檢測、知識鞏固1. ABC中，A 30,a 10c 10厲,則C ;2. AB

8、C 中，a: b:c 5:7:8,則 B ;3. ABC中，sin2A sin2B sin2C sinBsinC,貝UA (四) 典例導(dǎo)航、知識拓展【例1】 ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,如果a2=b(b+c)， 求證：A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路一是邊化角，二是角化邊證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入 a2=b(b+c)中, 得 sin2A=sinB ( sinB+sinC)sin2A sin2B=sinBsinC因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin (A+B)工0.所以sin (A B) =sinB. 所以

9、只能有A B=B，即A=2B.評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三 角公式變換求解.思考討論：該題若用余弦定理如何解決？【例2】已知a、b、c分別是 ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊，(1) 若厶ABC的面積為，c=2,A=600,求邊a,b的值；(2) 若 a=ccosB,且 b=csinA,試判斷 ABC的形狀。(五) 變式訓(xùn)練、歸納整理【例3】已知a、b、c分別是 ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊，若bcosC=(2a-c)cosB求角B(2)設(shè),求a+c的值。剖析：同樣知道三角形中邊角關(guān)系，利用正余弦定理邊化角或角化邊，從 而解決問題，此題所變化的是與

10、向量相結(jié)合，利用向量的模與數(shù)量積反映 三角形的邊角關(guān)系，把本質(zhì)看清了，問題與例2類似解決。此題分析后由學(xué)生自己作答，利用實(shí)物投影集體評價(jià)，再做歸納整理。(解答略)課時小結(jié)(由學(xué)生歸納總結(jié)，教師補(bǔ)充)學(xué)生通過 課前預(yù)熱1.2.3.的 快速作 答，對正 余弦定理 的基本運(yùn) 用有了一 定的回顧學(xué)生探討知識的關(guān) 聯(lián)與拓展正余弦定 理與三角 形內(nèi)角和 定理，面 積公式的 綜合運(yùn)用 對學(xué)生來 說也是難 點(diǎn)，尤其 是根據(jù)條 件判斷三 角形形 狀。此處 列舉例2 讓學(xué)生進(jìn) 一步體會 如何選擇 定理進(jìn)行 邊角互 化。1.解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系 常用正弦定理2. 根據(jù)所

11、給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：化邊為角；化角為 邊.并常用正余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化。3. 用正余弦定理解三角形問題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用 向量的模求三角形的邊長。4. 應(yīng)用問題可利用圖形將題意理解清楚，然后用數(shù)學(xué)模型解決問題。5. 正余弦定理與三角函數(shù)、向量、不等式等知識相結(jié)合，綜合運(yùn)用解決實(shí)際問 題。課后作業(yè)：材料三級跳本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、 平面幾何、平面向量、正弦和余弦定理的基 礎(chǔ)上而設(shè)置的復(fù)習(xí)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理辦法。 從解三角形的問題 出發(fā)，對學(xué)過的知識進(jìn)行分類，采用的例題是精心準(zhǔn)備的，講解也是至關(guān)重要的。 一開始的復(fù)習(xí)回顧學(xué)生能夠很好的回

12、答正弦定理和余弦定理的基本內(nèi)容，但對于兩個定理的變形公式不知，也就是說對于公式的應(yīng)用不熟練。 設(shè)計(jì)中的自主檢測 幫助學(xué)生回顧記憶公式，對學(xué)生更有針對性的進(jìn)行了訓(xùn)練。學(xué)生還是出現(xiàn)了問題， 在遇到第一個正弦方程時，是只有一組解還是有兩組解，這是難點(diǎn)。例1、例2是常規(guī)題，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解問題，可用正弦定理，也可用余弦定理，幫 助學(xué)生鞏固正弦定理、余弦定理知識。本節(jié)課授課對象為高三的學(xué)生，上課氛圍非?；钴S?？紤]到這是一節(jié)復(fù)習(xí)課， 學(xué)生已經(jīng)知道了定理的內(nèi)容，沒有經(jīng)歷知識的發(fā)生與推導(dǎo)，所以興趣不夠，較沉 悶。奧蘇貝爾指出，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根 據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進(jìn)行教學(xué)。 因而，在教學(xué)中，教師了解學(xué)生的真實(shí)的思 維活動是一切教學(xué)工作的實(shí)際出發(fā)點(diǎn)。教師應(yīng)當(dāng) 接受和理解學(xué)生的真實(shí)思 想，盡管它可能是錯誤的或幼稚的，但卻具有一定的內(nèi)在的合理性，教師不應(yīng) 簡單否定，而應(yīng)努力去理解這些思想的產(chǎn)生與性質(zhì)等等，只有真正理解了學(xué)生思 維的發(fā)生發(fā)展過程，才能有的放矢地采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)措施以便幫