概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案 第一章

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案 第 一 章 1寫出下列隨機試驗的樣本空間及下列事件中的樣本點： A?出現(xiàn)奇數(shù)點； （1）擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點數(shù). A?B?第，兩次點數(shù)之和為10 （2）將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點數(shù). 一次的點數(shù)，比第二次的點數(shù)大2； （3）一個口袋中有5只外形完全相同的球，編號分別為1,2,3,4,5；從中同時A?球的最小號碼為13只球，觀察其結(jié)果，； 取出a,b兩個球，隨機地放入到甲、乙、丙三個盒子中去，觀察放球情況， （4）將A?甲盒中至少有一球； A?通過汽車不足55）記錄在一段時間內(nèi)，通過某橋的汽車流量，臺， （B?通過的汽車不少于3臺。 i,e,e,e?e,e,e

2、S?ei?1,2,?,6，出現(xiàn)）其中 點（ 解 1643251iA?e,e,e。 513S?(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) （2） (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)； A?(4,6),(5,5),(6,4)； B?(3,1),(4,2

3、),(5,3),(6,4)。 S?(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) 3 （）(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5) A?(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5) S?(ab,?,?),(?,ab,?),(?,?,ab),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?), （ 4）?),a?,b?(,a,b,),(b,?,a),表示空盒； ，其中 A?(ab,?,?),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?),(b,?,a)。 S?0,1,2,?,A?0

4、,1,2,3,4,B?3,4,?。5 （） EA,B,BC,C,A表示下列事件： 是隨機試驗的三個事件，試用 設(shè) 2 1 A發(fā)生； 1）僅 （A,B,C中至少有兩個發(fā)生；） （2A,B,C中不多于兩個發(fā)生；） （3A,B,C中恰有兩個發(fā)生；） （4A,B,C中至多有一個發(fā)生。） （5 ABC ） （1 解 BC?AC?ABABC?ABC?ABC?ABC；或（2） CABC?ABC?A?B?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC；或 ） （3 ABC?ABC?ABC；4） （ BCABC?ABC?ABC?AB?AC?ABC；或 （5 ）i,2,3)1(i?A件產(chǎn)品是正品，試3一個工人生產(chǎn)了三件產(chǎn)

5、品，以表示第 iA表示下列事件：（1）沒有一件產(chǎn)品是次品；（用2）至少有一件產(chǎn)品是次品；i（3）恰有一件產(chǎn)品是次品；（4）至少有兩件產(chǎn)品不是次品。 AAA?AAA?AAAAAA?AA?A；）（ （1）3（2；） 解 332123211311232AA?AA?AA。 4）（331122 4在電話號碼中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)字全不相同的概率。 A?任取一電話號碼后四個數(shù)字全不相同，則 設(shè) 解 4P12610?)?0.504P(A 410250 5一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今從中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有兩只壞的的概率。 A?5只全是好的1）設(shè)，則 解

6、 （5C37P(A)?0.662； 5C40B?5只中有兩只壞的，則（ 2）設(shè) 32CC373P(B)?0.0354. 5C40 6袋中有編號為1到10的10個球，今從袋中任取3個球，求 （1）3個球的最小號碼為5的概率； （2）3個球的最大號碼為5的概率. A?最小號碼為5，則）設(shè)（ 解 1 2 2C15P(A)?； 3C1210B?最大號碼為5，則 （2）設(shè)2C14P(B)?. 3C2010r個學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率； （1）教室里有 7 （2）房間里有四個人，求至少兩個人的生日在同一個月的概率. A?他們的生日都不相同）設(shè)，則 解 （1 rP365P(A)?； r365B?至少

7、有兩個人的生日在同一個月，則 （2）設(shè) 21222321CCP?CC?CP?C411141212412124P(B)? ； 41296或 4P4112 P(B)?1?P(B)?1?. 41296 8設(shè)一個人的生日在星期幾是等可能的，求6個人的生日都集中在一個星期中的某兩天，但不是都在同一天的概率. A?生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天設(shè)，則 解 26?2)C(27P(A)?0.01107. 67C,C,E,E,I,N,S等79將個字母隨機地排成一行，那么恰好排成英文單 詞SCIENCE的概率是多少？ A?恰好排成SCIENCE 設(shè) 解 1 將7個字母排成一列的一種排法看作基本事件，所有

8、的排法： 2ECC在余下的5種占法，字母在7個位置中占兩個位置，共有個位 字母72I,N,CC剩下的3種占法，字母置中占兩個位置，共有個位置上全排列的方法522A12603!?C?C?中的基本事件只有一個，！種，故基本事件總數(shù)為3，而共57故 11?A)?P( ； 22C?C?3!126057EC，把七個字母排成一排，稱為不盡相異，兩個 解 七個字母中有兩個2nn個，第二種元素元素的全排列。一般地，設(shè)有個元素，其中第一種元素有1 3 nkn)?n?n(n?n?n個元素排成一排個，第種元素有有，將這個2k21k稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為 n!， n!n!?n!k12 對于本題有

9、141?)?P(A. 7!7!1260 2!2!10,9?0,1,2,個數(shù)字中，任意選出不同的三個數(shù)字，試求下列事等 10從A?A?A?，或，5件的概率：三個數(shù)字中不含0三個數(shù)字中不含0和5123三個數(shù)字中含0但不含5. 3C78P(A)?. 解 13C1510333CCC14899P(A)?， 2333CCC15101010或 1C14 8P(A)?1?P(A)?1?， 223C15102C78P(A)?. 33C3010nnA?每求事件堆， 11將每堆兩只，雙大小各不相同的鞋子隨機地分成 堆各成一雙的概率. (2n)!(2n)!nn?不同的分法共雙鞋子隨機地分成堆屬分組問題， 解 n(2!

10、)2!2!2!?!n 每堆各成一雙共有種情況，故n?n2!P(A)? (2n)! BA0.3P()B?AB)P(A)?0.4,P(與互不相容，與 12設(shè)事件，求 P(A?B) P(AB)?1?P(?AB)?1?P(A?)P(B?)0.3 解 A?BBA,，于是不相容，所以 因為 P(A?B)?P(A)?0.6 P(A)?PP(B)?ABP()PAB(. 若 13且，求 4 P(AB)?1?P(?AB)?1?P(A?)P(B?)ABP() 解 )P(AB)?P(AB 由得P(B)?1?P(A)?1?p B?AP(A?B)P(ABB,Ar,p,q 及及的概率分別為 14設(shè)事件，求 P(AB)?P(

11、A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?1?P(B)?P(A)?P(AB) ?1?q?p?q?r?1?p?r. P(A)?P(B)?0.7A,BA,B都發(fā)僅發(fā)生一個的概率為，且15設(shè)0.5，求 生的概率。 解 由題意有 1 0.5?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB) ?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) ?0.7?2P(AB)， 所以 P(AB)?0.1. A?B?ABBA,，故 僅發(fā)生一個可表示為 解 20.5?P(A?B)?P(AB)?P(A)?P(B)?2P(AB), 所以 P(AB)?0.1. P(0.2AB)

12、(B?0.3,?A?)PBP(A)?0.7,P(A?)P(AB. ，求與 16設(shè)?P(A?B)?P(A?)P(AB?)0.?7PA(B0.3 解 ， 所以0.4?(PAB) ， 故 0.6ABP()? ； 0.4)AB?P()?B?P0.2?(B)P(. 所以0.6BP()? 0.1(?BAP?1?(?)?1PA(?)PAB)?BP)?()(PAB CAB?1?CP)(?AP()PB?() ，試證明17設(shè)CAB? ，所以 證 因為P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1 5 故 P(A)?P(B)?P(C)?1. 證畢. A,B,C，試證 18對任意三事件

13、 P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A). P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC) 證 ?P(AB?AC)?PA(B?C)?P(A). 證畢. 1C,BA0?BC)?P(P(C)?,P(ABP(A)?P(B)?，是三個事件，且 19設(shè) 41P(AC)?A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。 ，求 8P(A?B?C)?P(A)?P(B?)P(?C)P(A?)B(P?A)C(P?B)C(PABC 解 )?0?P(ABCP(AB)?0P(ABC)?0，于是，所以因為 315P(A?B?C)? 488 2ax?2ax0?y為正常數(shù)）內(nèi)擲一點，點落在園隨機地向半圓 20

14、（x軸的夾角小于內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點與該點的連線與?/4的概率. 解：半圓域如圖 y?x?A4/ 軸夾角小于 設(shè) 原點與該點連線與 x 由幾何概率的定義 1122?a?aA的面積11 42?P(A)? ?/41 ?2半園的面積2?x aa 0 2ya的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率把長為. 21 A?x,y,a?x?y，三段可構(gòu)成三角形， 解 設(shè)又三段的長分別為1Sa?x?yy?a,0?0?x?a,0?. ，不等式構(gòu)成平面域則 aaa,0?y?,?x?y?a?0?x?A發(fā)生 a 222S /2 aAS ，所以 不等式確定的子域 A A的面積1?A)?P( 0

15、a a/2 S的面積40?x?a,0?y?a,0?z?azxy,且 解 ，則設(shè)三段長分別為 2 6 Saz?y?x. ，不等式確定了三維空間上的有界平面域 z A?x?y?z 發(fā) x?z?y y?z?x Ay SA，所以不等式確定 的子 A的面積1?P(A). 4的面積Sx xxy與，這兩個數(shù)中的每一個都不超過和1 22隨機地取兩個正數(shù)，試求y之和不超過1，積不小于0.09的概率. S0?x?1,0?y?1，不等式確定平面域 解 . y A?A0.09?,xy?y?1x發(fā)生的 則 10?x?y?1,1?xy?0.09不充要條件為 S AS，故的子域 等式確定了 A A的面積0.90.9?dx)?(1?x?P(A) x的面積S0.1y 00.1 0.910.20.4?0.18ln3? 0)a(