函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

1、精品文檔函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性的綜合應(yīng)用、知識(shí)回顧：1、對(duì)于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，如果，則稱f(x)是區(qū)間D上的增(減)函數(shù).2、 判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：觀察圖像法、定義法3、關(guān)于函數(shù)單調(diào)性還有以下一些常見結(jié)論： 兩個(gè)增(減)函數(shù)的和為 ; 一個(gè)增(減)函數(shù)與一個(gè)減(增)函數(shù)的差是； 奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有 的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有的單調(diào)性；4、函數(shù)的奇偶性：(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：如果 那么函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；如果，那么函數(shù)f (x)為偶函數(shù).(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于 寸稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 寸稱.周期函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)f x，存

2、在非0常數(shù)T,使得對(duì)于其定義域 內(nèi)總有f x T f x，則稱的常數(shù)T為函數(shù)的周期。5、函數(shù)的周期性f x的周期為2a ;如f x af x的周期為2a ；如f x af x的周期為4a ；對(duì)于三角函數(shù)y As in xB.y A cos xB，其周期T對(duì)于y Atan xB.y Acot xB，其周期T若yf x關(guān)于直線x a, x b ab對(duì)稱，則yf x 一定為周期函數(shù)，2 b a為y f x的周期二、例題例 1、已知 f (x)ax7bx5 cx3 dx 5，其中 a,b,c,d 為常數(shù)，若 f ( 7)7，則f (7) (構(gòu)造奇偶函數(shù))變式1、已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，貝U

3、f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=變式2、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，它在0,)上遞減，那么一定有A.f( 3)4f(a2a 1)B.f( 3)4f(a2a 1)C.f ( 3)f(a2a 1)D.f ( 3)f(a2a 1)44例2、若f(x)=-x2+2ax與g(x) 在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是x 1A ( 1,0) (0,1) B(1,0) (0,1 C. (0, 1) D. (0,1變式1、若函數(shù) f(x)=a x b在0,+ %上為增函數(shù),則實(shí)數(shù) a、b的取值范圍是.例3、已知奇函數(shù)f (x)是定義在(2,2)上的減函數(shù)，若f (m 1) f

4、 (2m 1)0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍變式1、已知f(x)是R上的增函數(shù)，A (0, 1) , B (3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，則不等式|f(x 1)| 1的解集為例4、已知函數(shù)f(x) x 22 ax 2(1) 若方程f(x)0有兩不相等的根，求a的取值范圍；(2) 若函數(shù)f(x)滿足f (2) f (0)，求函數(shù)在x 5,5 的最大值和最小值；(3 )若a為任何實(shí)數(shù)，討論f(x)在x 5,5的最小值.(條件ff(C)改為f(1 R f(1 *有什么區(qū)別)變式1、已知函數(shù)y x2 2x 3在區(qū)間0，m上有最大值3,最小值2,則m的取 值范圍是A、 1 , +x)B、0, 2C、(-X, 2D、

5、1 , 22變式2、已知二次函數(shù)f (x) ax bx(a 0)滿足條件：f (5 x) f (x 3)且方程f (x) x有等根，求f (x)的解析式；是否存在實(shí)數(shù)m,n(m n)，使得f (x)的定義域?yàn)閙, n，值域?yàn)?m,3n。例 5、已知函數(shù) f(x), x F，那么集合(x, y)|y=f(x), x F A (x, y)|x=1中所含 元素的個(gè)數(shù)是()A. 0B . 1 C. 0 或 1D . 1 或 2分析：這個(gè)問題是求函數(shù)y=f(x), x F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的 關(guān)系，當(dāng)1 F時(shí)有

6、1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1 F時(shí)沒有交點(diǎn)，所以選C.例6、(一次函數(shù)f(x)=kx+h(k豐0),若mvn有f(m)0, f(n)0,則對(duì)于任意x (m, n)都有f(x)0,試證明之；證明： 當(dāng) k0 時(shí)，函數(shù) f(x)=kx+h在 x R 上是增函數(shù)，mvxvn, f(x)f(m)0;當(dāng) kv0 時(shí)，函數(shù) f(x)=kx+h在 x R 上是減函數(shù)，mvxvn, f(x)f(n)0.所以對(duì)于任意x (m, n)都有f(x)0成立.。例7.設(shè)f (x)定義在(0，+ )上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy) f(x)+f(y) , f(3) 1。求:(1) f(1)；(2)若f(x)+f(x 8) 2,求x的取值

7、范圍例8、(2006年山東卷)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)= f(x),則,f(6)的 值為(B)(A) 1(B) 0(C)1(D)2【考點(diǎn)分析】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性，基礎(chǔ)題。解析：由 fx2f xf x 4 f x 2 f x由f x是定義在R上的奇函數(shù)得f0 0，二f 6 f 4 2 f 2 f 00 ,故選擇B?！靖Q管之見】本題用到兩重要性質(zhì)：f x a f x f x的周期為2a ; 如f x是定義在R上的奇函數(shù)，貝U f 00。例9、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y f x的圖象關(guān)于直線x -對(duì)稱，則f (1)+2f (2)+ f (3)+ f (4)+

8、 f (5)=_0.【考點(diǎn)分析】本題考查函數(shù)的周期性解析：f 0 f 0得f 00，假設(shè)f n 0因?yàn)辄c(diǎn)(n , 0)和點(diǎn)(n 1,0)關(guān)于x 1對(duì)稱，所以f n 1 f n f n 02因此，對(duì)一切正整數(shù)n都有：f n 0從而：f1 f 2 f 3 f 4 f 50。本題答案填寫：0例10、( 2006福建卷)已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)Ox 1時(shí)，f(x) lg x.635設(shè) a f (-), b f(-), c f (-),則522(A) a b c(B) b a c(C) c b a(D) cab解：已知f (x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0 x 1時(shí)，f (x) lg x.6443

9、1151設(shè)a f( ) f( ) f( ), b f( ) f () f( ) , c f( ) f( )0,55522222c a b，選 D.例11、(2006年安徽卷理)函數(shù)f x對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f x 25,則 f f 5【考點(diǎn)分析】本題考查函數(shù)的周期性與求函數(shù)值，中檔題。解析：由f x 2亡得fx 4f(x)，所以f(5)f(1)5，則f( 5)f( 1)1f( 1 2)【窺管之見】函數(shù)的周期性在高考考查中除了在三角函數(shù)中較為直接考查外,般都比較靈活。本題應(yīng)直觀理解“只要加2,則變倒數(shù)，加兩次則回原位”則一通盡通也例12、設(shè)f x是上的奇函數(shù)，f x 2 f x，當(dāng)OW x 1

10、時(shí)，f x x，則f (7.5)等于(A.0.5)B. 0.5C.1.5解析：由 f x 2 f x f 7.5f 5.5 f 3.5f 1.5D. 1.50.5，又 f x是奇函數(shù)，故f 0.5 f 0.50.5，故選擇Bo例13、( 2005福建卷)f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2) 0， 貝昉程f(x) =0在區(qū)間(0, 6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是(B )A. 5B. 4C. 3D. 2解析：由f (x)的周期性知，f(2) f 5 f 1 f 1 f 40即至少有根1, 2, 4, 5。故選擇Bo例14、( 05廣東卷)設(shè)函數(shù)f(x)在(，)上滿足f(2 x) f(2

11、x), f(7 x) f(7 x)，且在閉區(qū)間0, 7上，只有 f(1)f(3)0 .(I)試判斷函數(shù)y f(x)的奇偶性；(n)試求方程f(x) =0在閉區(qū)間-2005, 2005 上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.解:由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù) y f(x)的對(duì)稱軸為 x 2 和 x 7, 從而知函數(shù)yf(x)不是奇函數(shù),由f(2 f(7 f(x) 又 f (3)x)f (2 x)x)f (7 x)f(xf(0)f(x)f (x)10),從而知函數(shù)y0,故函數(shù)f(x)f(x)0,而f (7)f(2 x)f(7 x)10)丄 f(2 x)(II)由f(7 x

12、)f(x) f(x(II)又 f (3) f (0)0, f(11)f (4 x) f(4 x) f(14 x)f (14 x)f(x)的周期為T 10yf (x)是非奇非偶函數(shù)；f(4 x)1 f (4f(14 x)x) f (14 x)f(13)f( 7) f( 9)0y f (x)在0,2005上有 402故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)個(gè)解,在-2005.0上有400個(gè)解，所以函數(shù)y f (x)在-2005,2005上有802個(gè)解.作業(yè)：1、 f (x)為(，)上的減函數(shù)，a R，貝U()(A) f(a) f(2a) ( B) f(a2)f(a) (C) f (a2 1) f(a) (D) f(a2 a) f(a)2、如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3, 7上是增函數(shù)，且最小值為5,那么在區(qū)間7, 3上是()A 增函數(shù)且最小值為5B增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為5D 減函數(shù)且最大值為53、定義在1,1上的函數(shù)y f(x)是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，若f(a2 a 1) f (4a 5)0 ,求實(shí)數(shù)a的范圍。4、已知二次函數(shù)f (x) ax2 bx滿足f (1 x) f (1 x)，且方程f (x) x有兩個(gè)相 等實(shí)根，若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)閙,n上