大一上 微積分 知識點重點

1、大一（上） 微積分 知識點 第一章 函數(shù) ?,則A、B是分離的。 一、AB=? 二、設(shè)有集合A、B，屬于A而不屬于B的所有元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的差。 ?B（屬于前者，不屬于后者） A且x A-B=x|x? 三、集合運算律：?交換律、結(jié)合律、分配律與數(shù)的這三定律一致； ?摩根律：交的補等于補的并。 四、笛卡爾乘積：設(shè)有集合A和B，對xA,yB，所有二元有序數(shù)?組（x,y）構(gòu)成的集合。 五、相同函數(shù)的要求：?定義域相同?對應(yīng)法則相同 六、求反函數(shù)：反解互換 七、關(guān)于函數(shù)的奇偶性，要注意： 1、函數(shù)的奇偶性是就函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱時而言的，若函數(shù)的定義域關(guān)于原點不對稱，則函數(shù)無奇偶性可言，

2、那么函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)； 2、判斷函數(shù)的奇偶性一般是用函數(shù)奇偶性的定義：若對所有的x?D(f)f(?x)?f(x)f(x)x?D(f)，成立，則，為偶函數(shù)；若對所有的f(?x)?f(x)f(x)f(?x)?f(x)f(?x)?f(x)不成立，則為奇函數(shù)；若或x?D(f)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)； 能對所有的成立，則3、奇偶函數(shù)的運算性質(zhì)：兩偶函數(shù)之和是偶函數(shù)；兩奇函數(shù)之和是奇函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之和是非奇非偶函數(shù)（兩函數(shù)均不恒等于零）；兩奇（或兩偶）函數(shù)之積是偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積是奇函數(shù)。 第二章 極限與連續(xù) 一、一個數(shù)列有極限，就稱這個數(shù)列是收斂的，否則就稱它是發(fā)散的。

3、二、極限存在定理：左、右極限都存在，且相等。 三、無窮小量的幾個性質(zhì)： limf(x)=0，則 1、limf(x)limg(x)limf(x)?g(x)?0 ，則、若2=0limf(x)limg(x)f(x)g(x)?0lim ，則=0=、若3limf(x)limf(x)g(x）=0，則=0 、若g(x)有界（g(x)|M），且4| 四、無窮小量與無窮大量的關(guān)系： 1 y是無窮大量，則y?若是無窮小量； 1 yy（?若y是無窮小量，則0)是無窮大量。 ? limf(x)?limg(x)?0)： 五、無窮小量的階數(shù)比較（假設(shè)f(x)?lim0 g(x)若? 稱f(x)是較g（x)高階的無窮小量；

4、 f(x)?lim? g(x)若? 稱f(x)是較g（x)低階的無窮小量； f(x)?C(C?0)lim )g(x若? 同階的無窮小量；（是較gx) 稱f(x)xf(lim1? f(x)g(x)xg(。f(x)是較g稱 （x) 若等價的無窮小量，記為 六、極限的運算法則：yy?lim)?x(yxlimlimxlim?lim ? =xlimyn)x(limyClimynxlimClim? = = xlimx11?lim)(limx xlim? n 0ylim?yylimn = 七、求極限的幾種技巧：?x當(dāng)極限過程是? 時，除以最高次項； 當(dāng)帶有根號時，進(jìn)行有理化；? 當(dāng)遇到分式的加、減運算時，進(jìn)

5、行通分；?x時，分子最高次項的指數(shù)低于分母最高次項的當(dāng)極限過程是分子最高次項的指數(shù)高于分母最高次項的指數(shù)時，；結(jié)果為0指數(shù)時，；分子、分母最高次項的指數(shù)相等時，結(jié)果為最高次項的系結(jié)果為? 數(shù)比。 八、兩個重要極限：xxtansin)?0?1(x1(x?lim0)lim? xx? 11x)?e(lim(1?)x? )0(x?e(1?x)?limxx? ：九、等價無窮小量（乘積的時候才可以換）)0(x?)tanxxxsinxx(?0 )0x?arctanxx(xarcsinx(x?0) 2xxn1?x?1(x?0)x(?1?cosx0 2n x?1x(ex?0)0ln(1?x)x(x? limf(

6、x)?f(x)(x?x) 處連續(xù)：需證明十、證明在某一點xooo 十一、出現(xiàn)函數(shù)的間斷點的情況： f（x）在點?沒有定義；處 xolimf(x)(x?x)?不存在； of(x)limf(x)(x?x)limf(x)(x?x)?f(x)雖然? 存在，但有定義，且oooo 十二、間斷點分類： x?x）（xf處的左、右極限都存在，在點1、第一類間斷點：如果函數(shù)of（x)x?xf（x）的第一類間斷點。，就稱點但不全等于為 oo?可去間斷點（屬于第一類間斷點）：函數(shù)間斷點的左、右極限存在并相等，只是不等于該點的函數(shù)值，那么我們可以重新定義函數(shù)在間斷點的值，使得所形成的函數(shù)，在該點連續(xù)。 ?跳躍間斷點（屬

7、于第一類間斷點）：函數(shù)間斷點的左、右極限存在但不相等。 x?x）xf（處的左、右極限至少有一2、第二類間斷點：如果函數(shù)在點ox?xf（x）的第二類間斷點。個不存在，就稱點 為o?無窮間斷點（屬于第二類間斷點）：只要左右極限有一個為。 ?振蕩間斷點 f（x）?上連續(xù)，十三、介值定理：如果函數(shù)m和M分別為在閉區(qū)間ba,f（x）?上的最小值和最大值，則對介于m與在M之間的任一實數(shù)cba,?fb?Ca,?M?m?c。，使得 ）（即，至少存在一點?）xf（bfaf?異號，則至在閉區(qū)間上連續(xù)，且推論：如果函數(shù)與ba,?a,bf0?。 少存在一點，使得 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分第四章 1?y?y?xx1?x?x0

8、) 處不可導(dǎo)、在就在處不可導(dǎo)（1 不定積分第五章 一、基本積分公式表：?為常數(shù)）CC（0dx? 、1 1?axa?)?1?C(adxx 1a? 2、1?Cx?dx?ln x、3 1xx?)1a0,?a?C(aadx? aln 、4 xx?C?e?edx 5、 ?C?cosxsinxdx? 、6?C?xdxcos?sinx 7、2?C?cotxcscxdx?、 82?Cxsec?xdx?tan 、9 dx?arcsinx?C2x1? 10、dx?C?arctan?x 2x?1 、11 ? Cxtanxdx?lncos? 12、 ? Clnsinx?cotxdx? 、13 ? C?tanx?sec

9、secxdx?lnx 14、? C?lncscx?cotxxdxcsc 15、xdx1?)?(a0?arctan?C 22aaa?x 、16x1a?dx?)0?lnC(a? 22x?xa2aa 、17xdx?)0?C(a?arcsin a22xa? 18、dx 22?)C(ax?lnx?a0?22ax? 、19 2xxa2222?)?C?0(?xa?dx?arcsinax?a 2a2 20、 nnb?bax?ax，可以消去根號，=t，令二、一般地，如被積函數(shù)含有nmkxxx的最小公倍數(shù)，可同與mn為，如被積函數(shù)含有，令=tk時消去兩個根號。 三、三角代換：22xa?tasinx?被積函數(shù)含有?tcosx?a ，可作代換或22x