高中數(shù)學(xué)-橢圓點(diǎn)差法

1、.點(diǎn)差法公式在橢圓中點(diǎn)弦問題中的妙用定理 在橢圓（0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則. 證明：設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則有，得又同理可證，在橢圓（0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則.典題妙解例1 （04遼寧）設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.當(dāng)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最大值和最小值.解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由平行四邊形法則可知：點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn) .焦點(diǎn)在y上， 假設(shè)直線的斜率存在.由得：整理，得：當(dāng)直線的斜率不存在

2、時(shí)，弦AB的中點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，也滿足方程。所求的軌跡方程為（2）配方，得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，例2 （07年海南、寧夏）在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）直線的方程為由得：直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，0.解之得：或.的取值范圍是.（2）在橢圓中，焦點(diǎn)在軸上，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為，則由平行四邊形法則可知：與共線，與共線.，從而由得：，由（1）可知時(shí)，直線與橢圓沒有兩個(gè)公共點(diǎn)，不存在符合題意的常數(shù).例3（09年四川）已

3、知橢圓（0）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線方程為.() 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；() 過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線的方程.解：（）根據(jù)題意，得.所求的橢圓方程為.（）橢圓的焦點(diǎn)為、. 設(shè)直線被橢圓所截的弦MN的中點(diǎn)為.由平行四邊形法則知：.由得：.若直線的斜率不存在，則軸，這時(shí)點(diǎn)P與重合，與題設(shè)相矛盾，故直線的斜率存在.由得： 代入，得整理，得：.解之得：，或.由可知，不合題意.，從而.所求的直線方程為，或.例4 (09全國)已知橢圓（0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn). 當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到的距離為.（1）求的值；（2）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F

4、轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由.解：（1）橢圓的右焦點(diǎn)為，直線的斜率為1時(shí)，則其方程為，即. 原點(diǎn)O到的距離：，.又，. 從而.， .（2）橢圓的方程為. 設(shè)弦AB的中點(diǎn)為. 由可知，點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.若直線的斜率不存在，則軸，這時(shí)點(diǎn)Q與重合，點(diǎn)P不在橢圓上，故直線的斜率存在.由得：.由和解得：.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線的方程為.金指點(diǎn)睛1. 已知橢圓，則以為中點(diǎn)的弦的長度為（ ） A. B. C. D. 2.（06江西）橢圓（0）的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)

5、，P為線段AB的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程；（2）略.3（05上海）（1）求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓C的方程為（0）.設(shè)斜率為的直線，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M. 證明：當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上；（3）略.4. (05湖北)設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).（1）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（2）略.5. 橢圓C的中心在原點(diǎn)，并以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線的準(zhǔn)線為其中一條準(zhǔn)線.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的值

6、.參考答案1. 解：由得，.弦MN的中點(diǎn)，由得，直線MN的方程為.即. 由得：.設(shè)，則.故答案選C.2. 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由得：，整理，得：.點(diǎn)P的軌跡H的方程為.3解：（1）右焦點(diǎn)坐標(biāo)是，左焦點(diǎn)坐標(biāo)是. .由橢圓的第一定義知，. . 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由得：，整理得：.a、b、k為定值，當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上.4. 解：（1）點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即12.的取值范圍是.由得，焦點(diǎn)在y軸上.若直線AB的斜率不存在，則直線AB軸，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，線段AB的中點(diǎn)N在x軸上，不合題意，故直線AB的斜率存在.由得：，.所求直線AB的方程為，即.從而線段AB的垂直平分線CD的方程為，即.5. 解：（1）在雙曲線中，焦點(diǎn)為.在拋物線中，準(zhǔn)線為.在橢圓中，. 從而所求橢圓C的方程