浙教版相似三角形壓軸題

1、相似三角形內(nèi)容一選擇題（共6小題）1（2016徐州模擬）如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D（3，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E若拋物線y=ax24ax+10（a0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在ADE的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）ABCD2（2013烏魯木齊）已知m，n，k為非負(fù)實(shí)數(shù)，且mk+1=2k+n=1，則代數(shù)式2k28k+6的最小值為（）A2B0C2D2.53（2009溫州）一張等腰三角形紙片，底邊長15cm，底邊上的高長22.5cm現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示已

2、知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（）A第4張B第5張C第6張D第7張4（2013春惠山區(qū)期中）已知三個(gè)邊長分別為2、3、5的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為（）A2.5B3.25C3.75D45（2008荊州）如圖，直角梯形ABCD中，BCD=90，ADBC，BC=CD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且BEC=90，將BEC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90使BC與DC重合，得到DCF，連EF交CD于M已知BC=5，CF=3，則DM：MC的值為（）A5：3B3：5C4：3D3：46（2005湖州）如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD，CD的延長線分別交于AB，AC

3、于點(diǎn)E，F(xiàn)若=6，則ABC的邊長為（）ABCD1二填空題（共12小題）7（2009江津區(qū)）銳角ABC中，BC=6，SABC=12，兩動(dòng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上滑動(dòng)，且MNBC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與ABC公共部分的面積為y（y0），當(dāng)x=，公共部分面積y最大，y最大值=8（2013長春模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（2，0）和（1，0）之間（包括這兩點(diǎn)），頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則a的取值范圍是9（2010江津區(qū)）已知：在面積為7的梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=4，P為邊AD上不

4、與A、D重合的一動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上的任意一點(diǎn)，連接AQ、DQ，過P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F，則PEF面積最大值是10（2009德州）將三角形紙片（ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B，折痕為EF已知AB=AC=3，BC=4，若以點(diǎn)B、F、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，那么BF的長度是11（2015成都校級(jí)模擬）如圖，等腰ABC中，底邊BC=a，A=36，ABC的平分線交AC于D，BCD的平分線交BD于E設(shè)k=，則DE=12（2015春會(huì)寧縣校級(jí)月考）如圖，在RtABC內(nèi)有邊長分別為a，b，c的三個(gè)正方形則a、b、c滿足的關(guān)系式是13（2011春揚(yáng)州期末）

5、如圖，在ABC中，AB=AC=2，BAC=20動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在直線BC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持PAQ=100設(shè)BP=x，CQ=y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為14（2010菏澤）如圖，三角板ABC的兩直角邊AC，BC的長分別是40cm和30cm，點(diǎn)G在斜邊AB上，且BG=30cm，將這個(gè)三角板以G為中心按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，至ABC的位置，那么旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)三角板重疊部分（四邊形EFGD）的面積為cm215（2012崇川區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)A1，A2，A3，A4在射線OA上，點(diǎn)B1，B2，B3在射線OB上，且A1B1A2B2A3B3，A2B1A3B2A4B3若A2B1B2，A3B2B3的面積分別為1，9，則圖

6、中三個(gè)陰影三角形面積之和為16（2016貴陽模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面積等于17（2014和平區(qū)一模）如圖，ABC與DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，則AD：BE的值為18（2013百色）如圖，在邊長為10cm的正方形ABCD中，P為AB邊上任意一點(diǎn)（P不與A、B兩點(diǎn)重合），連結(jié)DP，過點(diǎn)P作PEDP，垂足為P，交BC于點(diǎn)E，則BE的最大長度為cm三解答題（共7小題）19（2011廈門）已知拋物線y=x2+2mxm2+2的頂點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作ABy軸于點(diǎn)B，C是線段AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、

7、B重合），過點(diǎn)C作CDx軸于點(diǎn)D并交拋物線于點(diǎn)P（1）若點(diǎn)C（1，a）是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若直線AP交y軸的正半軸于點(diǎn)E，且AC=CP，求OEP的面積S的取值范圍20（2016泰州校級(jí)二模）如圖，二次函數(shù)y=a（x24x+3）（a0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)（1）若ABD為直角三角形，求此二次函數(shù)的解析式；（2）P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且P點(diǎn)的縱坐標(biāo)t是大于3的常數(shù)，試問是否存在一個(gè)正數(shù)a，使得四邊形PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請說明理由（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得OAC沿AC翻折

8、后，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O落在ABC的外部？若存在，求出a的范圍，若不存在，請說明理由21（2011廣州）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，1），且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范圍；（3）該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點(diǎn)P，記PCD的面積為S1，PAB的面積為S2，當(dāng)0a1時(shí)，求證：S1S2為常數(shù)，并求出該常數(shù)22（2014萊蕪）如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4x于C、D兩點(diǎn)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)（1）

9、求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若AOC沿CD方向平移（點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合），在平移的過程中AOC與OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值23（2014西寧）如圖，拋物線y=x2+x2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到FEC，連接BF（1）求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；（2）求B

10、CF的面積；（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由24（2011遵義）如圖，梯形ABCD中，ADBC，BC=20cm，AD=10cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從B、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2cm的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1cm的速度沿DA向終點(diǎn)A移動(dòng)，線段PQ與BD相交于點(diǎn)E，過E作EFBC交CD于點(diǎn)F，射線QF交BC的延長線于點(diǎn)H，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒，0t10）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ為平行四邊形？（2）在P、Q移動(dòng)的過程中，線段PH的長是否發(fā)生改變？如果不變，求出線段P

11、H的長；如果改變，請說明理由25（2014春崇安區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE將ADE沿AE對折至AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF（1）求證：ABGAFG； BG=GC；（2）求FGC的面積相似三角形參考答案與試題解析一選擇題（共6小題）1（2016徐州模擬）如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D（3，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E若拋物線y=ax24ax+10（a0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在ADE的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）ABCD【分

12、析】利用對折的性質(zhì)，得到線段的關(guān)系，用勾股定理建立方程，最后用相似AFGABD得到比例式，計(jì)算出點(diǎn)G，H的縱坐標(biāo)即可【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EMy軸于M，交BC延長線于N，AME=DNE=90，AEM=DEN，AEMEDN，設(shè)AM=BN=m，ME=你，EN=MNME=3n，DN=BNBD=m3代入得，根據(jù)勾股定理得，m2+n2=（3）2，由得n1=3，m1=0（舍）n2=2，m2=5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)D（3，1），DE=BD=3，AB=3，AF=2，E（2，1）AFG=ABD=90，F(xiàn)AG=BAD，AFGABD，即：=，F(xiàn)G=2EG=EFFG=3點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2y=ax24ax+1

13、0=a（x2）2+（1020a），此拋物線y=ax24ax+10的頂點(diǎn)必在直線x=2上又拋物線的頂點(diǎn)落在ADE的內(nèi)部，此拋物線的頂點(diǎn)必在EG上11020a2，故選B【點(diǎn)評】此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查對折的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是要看出拋物線的對稱軸是定值，本題的難點(diǎn)是應(yīng)從哪里入手2（2013烏魯木齊）已知m，n，k為非負(fù)實(shí)數(shù)，且mk+1=2k+n=1，則代數(shù)式2k28k+6的最小值為（）A2B0C2D2.5【分析】首先求出k的取值范圍，進(jìn)而利用二次函數(shù)增減性得出k=時(shí)，代數(shù)式2k28k+6的最小值求出即可【解答】解：m，n，k為非負(fù)實(shí)數(shù)，且mk+1=2k+n=1，m，n，k最小為0，當(dāng)n=0

14、時(shí)，k最大為：，0k，2k28k+6=2（k2）22，a=20，k2時(shí)，代數(shù)式2k28k+6的值隨k的增大而減小，k=時(shí)，代數(shù)式2k28k+6的最小值為：2（）28+6=2.5故選：D【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法以及二次函數(shù)增減性等知識(shí)，根據(jù)二次函數(shù)增減性得出k=時(shí)，代數(shù)式2k28k+6的最小值是解題關(guān)鍵3（2009溫州）一張等腰三角形紙片，底邊長15cm，底邊上的高長22.5cm現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（）A第4張B第5張C第6張D第7張【分析】根據(jù)相似三角形的相似比求得頂點(diǎn)到這個(gè)正方形的長，再根

15、據(jù)矩形的寬求得是第幾張【解答】解：已知剪得的紙條中有一張是正方形，則正方形中平行于底邊的邊是3，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可設(shè)從頂點(diǎn)到這個(gè)正方形的線段為x，則，解得x=4.5，所以另一段長為22.54.5=18，因?yàn)?83=6，所以是第6張故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用4（2013春惠山區(qū)期中）已知三個(gè)邊長分別為2、3、5的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為（）A2.5B3.25C3.75D4【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計(jì)算即可【解答】解：斜邊l所分得的三個(gè)三角形相似，根據(jù)相似的性質(zhì)可知=，解得x=2.5

16、，即陰影梯形的上底就是32.5=0.5再根據(jù)相似的性質(zhì)可知=，解得：x=1，所以梯形的下底就是31=2，所以陰影梯形的高是（2+0.5）32=3.75故選：C【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例5（2008荊州）如圖，直角梯形ABCD中，BCD=90，ADBC，BC=CD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且BEC=90，將BEC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90使BC與DC重合，得到DCF，連EF交CD于M已知BC=5，CF=3，則DM：MC的值為（）A5：3B3：5C4：3D3：4【分析】由題意可得BCEDCF，從而得到CD=BC，根據(jù)相似三角形的判定方法得到ECMFDM，則勾股定理可求得DF的長，從

17、而可得到DM：MC的值【解答】解：由題意知BCE繞點(diǎn)C順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)了90度，BCEDCF，ECF=DFC=90，CD=BC=5，DFCE，ECD=CDF，EMC=DMF，ECMFDM，DM：MC=DF：CE，DF=4，DM：MC=DF：CE=4：3故選C【點(diǎn)評】本題利用了旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等，及全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)求解6（2005湖州）如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD，CD的延長線分別交于AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)若=6，則ABC的邊長為（）ABCD1【分析】過點(diǎn)A作直線PQBC，延長BE交PQ于點(diǎn)P；延長CF，交PQ于點(diǎn)Q

18、證明BCEPAE，CBFQAF，構(gòu)造+與BC的關(guān)系求解【解答】解：過點(diǎn)A作直線PQBC，延長BD交PQ于點(diǎn)P；延長CD，交PQ于點(diǎn)QPQBC，PQDBCD，點(diǎn)D在ABC的中位線上，PQD與BCD的高相等，PQDBCD，PQ=BC，AE=ACCE，AF=ABBF，在BCE與PAE中，PAE=ACB，APE=CBE，BCEPAE，=同理：CBFQAF，=+，得：+=+=3，又=6，AC=AB，ABC的邊長=故選C【點(diǎn)評】本題綜合考查了三角形中位線定理及三角形的相似的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造相似，從而得到已知與所求線段的關(guān)系二填空題（共12小題）7（2009江津區(qū)）銳角ABC中，BC=6，SA

19、BC=12，兩動(dòng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上滑動(dòng)，且MNBC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與ABC公共部分的面積為y（y0），當(dāng)x=3，公共部分面積y最大，y最大值=6【分析】公共部分分為三種情形：在三角形內(nèi)；剛好一邊在BC上，此時(shí)為正方形；正方形有一部分在三角形外，此時(shí)為矩形顯然在內(nèi)部時(shí)的面積比剛好在邊上時(shí)要小，所以需比較后兩種情形時(shí)的面積大小為正方形時(shí)可求出面積的值，為矩形時(shí)需求面積表達(dá)式再求最大值【解答】解：公共部分分為三種情形：在三角形內(nèi)；剛好一邊在BC上，此時(shí)為正方形；正方形有一部分在三角形外，此時(shí)為矩形顯然在內(nèi)部時(shí)的面積比剛好在邊上時(shí)要小，所以需比較

20、后兩種情形時(shí)的面積大?。?）求公共部分是正方形時(shí)的面積，作ADBC于D點(diǎn)，交MN于E點(diǎn)，BC=6，SABC=12，AD=4，MNBC，即，解得x=2.4，此時(shí)面積y=2.42=5.76（2）當(dāng)公共部分是矩形時(shí)如圖所示：設(shè)DE=a，根據(jù)得=，所以a=4x，公共部分的面積y=x（4x）=x2+4x，0，y有最大值，當(dāng)x=3時(shí)，y最大值=6綜上所述，當(dāng)x=3時(shí)，公共部分的面積y最大，最大值為6【點(diǎn)評】此題需分類討論，綜合比較后得結(jié)論8（2013長春模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（2，0）和（1，0）之間（包括這兩點(diǎn)），頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

21、，則a的取值范圍是【分析】頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)C與D點(diǎn)重合，可以知道頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）且拋物線過（1，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），由此可求出a；當(dāng)頂點(diǎn)C與F點(diǎn)重合，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）且拋物線過（2，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（8，0），由此也可求a，然后由此可判斷a的取值范圍【解答】解：頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)C與D點(diǎn)重合，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x1）2+3， 解得a；當(dāng)頂點(diǎn)C與F點(diǎn)重合，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x3）2+2， 解得a；頂點(diǎn)可以在矩形內(nèi)部，a故

22、答案為：a【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c中a、b、c對拋物線的影響，在對于拋物線的頂點(diǎn)在所給圖形內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的判定，充分利用了利用形數(shù)結(jié)合的方法，展開討論，加以解決9（2010江津區(qū)）已知：在面積為7的梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=4，P為邊AD上不與A、D重合的一動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上的任意一點(diǎn)，連接AQ、DQ，過P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F，則PEF面積最大值是【分析】設(shè)PD=x，SPEF=y根據(jù)平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及相似三角形的判定，證明PEFQFE、AEPAQD、PDFADQ，相似三角形的面積比是相似比的平方，再由三角形AQD與

23、梯形ABCD的面積公式求得梯形的高，代入SPEF=（SAQDSDPFSAPE）2，得出關(guān)于x的二次函數(shù)方程，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得則PEF面積最大值【解答】解：設(shè)PD=x，SPEF=y，SAQD=z，梯形ABCD的高為h，AD=3，BC=4，梯形ABCD面積為7，解得PEDQ，PEF=QFE，EPF=PFD，又PFAQ，PFD=EQF，EPF=EQF，EF=FE，PEFQFE（AAS），PEDQ，AEPAQD，同理，DPFDAQ，=，=（）2，SAQD=3，SDPF=x2，SAPE=（3x）2，SPEF=（SAQDSDPFSAPE）2，y=3x2（3x）2=x2+x，y最大值=，即y最大值=P

24、EF面積最大值是【點(diǎn)評】本題綜合考查了二次函數(shù)的最值、三角形的面積、梯形的面積以及相似三角形的判定與性質(zhì)10（2009德州）將三角形紙片（ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B，折痕為EF已知AB=AC=3，BC=4，若以點(diǎn)B、F、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，那么BF的長度是或2【分析】由于折疊前后的圖形不變，要考慮BFC與ABC相似時(shí)的對應(yīng)情況，分兩種情況討論【解答】解：根據(jù)BFC與ABC相似時(shí)的對應(yīng)關(guān)系，有兩種情況：BFCABC時(shí)，=，又AB=AC=3，BC=4，BF=BF，=，解得BF=；BCFBCA時(shí)，=，AB=AC=3，BC=4，BF=CF，BF=BF，而BF+

25、FC=4，即2BF=4，解得BF=2故BF的長度是或2故答案為：或2【點(diǎn)評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解：（1）相似三角形周長的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（3）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比11（2015成都校級(jí)模擬）如圖，等腰ABC中，底邊BC=a，A=36，ABC的平分線交AC于D，BCD的平分線交BD于E設(shè)k=，則DE=a【分析】根據(jù)三角形特點(diǎn)，先求出角的度數(shù)，從而得到三角形相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得【解答】解：AB=AC，A=36ABC=ACB=72，BD平分ABC，ABD=DBC=36，在ADB中，BD

26、C是外角，BDC=A+ABD=72，AD=BD，BD=BC，ABCBDC，AB：BC=BC：CD，同理DCE=BCE=36DEC=36+36=72，BDC=72CDEABC，=設(shè)CD=x，則BD=BC=AD=a，=，解得x=a或x=a（舍去），=，解得DE=a，故答案為：a【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出等式，注意把不合題意的解舍去12（2015春會(huì)寧縣校級(jí)月考）如圖，在RtABC內(nèi)有邊長分別為a，b，c的三個(gè)正方形則a、b、c滿足的關(guān)系式是b=a+c【分析】因?yàn)镽tABC內(nèi)有邊長分別為a、b、c的三個(gè)正方形，所以圖中三角形都相似，且與a、b、c

27、關(guān)系密切的是DHE和GQF，只要它們相似即可得出所求的結(jié)論【解答】解：如圖，DHABQFEDH=A，GFQ=B；又A+B=90，EDH+DEH=90，GFQ+FGQ=90；EDH=FGQ，DEH=GFQ；DHEGQF，=，=，ac=（bc）（ba）b2=ab+bc=b（a+c），b=a+c【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定，同時(shí)還考查觀察能力和分辨能力13（2011春揚(yáng)州期末）如圖，在ABC中，AB=AC=2，BAC=20動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在直線BC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持PAQ=100設(shè)BP=x，CQ=y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為【分析】由AB=AC，BAC=20，得ABC=80，即P+PAB=80

28、，由BAC=20，PAQ=100，得PAB+QAC=80，由此可得P=QAC，同理可證PAB=Q，從而證明PABAQC，利用相似比求函數(shù)關(guān)系式【解答】解：AB=AC，BAC=20，ABC=（180BAC）2=80，即P+PAB=80，又BAC=20，PAQ=100，PAB+QAC=80，P=QAC，同理可證PAB=Q，PABAQC，=，即=，y=故答案為：y=【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)證明角相等，從而證明三角形相似，利用相似比得函數(shù)關(guān)系式14（2010菏澤）如圖，三角板ABC的兩直角邊AC，BC的長分別是40cm和30cm，點(diǎn)G在斜邊AB上，

29、且BG=30cm，將這個(gè)三角板以G為中心按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，至ABC的位置，那么旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)三角板重疊部分（四邊形EFGD）的面積為144cm2【分析】把所求重疊部分面積看作AFG與ADE的面積差，并且這兩個(gè)三角形都與ABC相似，根據(jù)勾股定理求對應(yīng)邊的長，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求面積即可【解答】解：由勾股定理得AB=50，又BG=30，AG=ABBG=20，由ADGABC得，=，即=，解得DG=15，AD=25，AD=AGDG=AGGD=2015=5，由ADEABC，可知=，由AGFACB，可知根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，可知S四邊形EFGD=SAFGSADE=SABCS

30、ABC=4030=144cm2【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形的面積不變，勾股定理、相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用15（2012崇川區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)A1，A2，A3，A4在射線OA上，點(diǎn)B1，B2，B3在射線OB上，且A1B1A2B2A3B3，A2B1A3B2A4B3若A2B1B2，A3B2B3的面積分別為1，9，則圖中三個(gè)陰影三角形面積之和為30【分析】已知A2B1B2，A3B2B3的面積分別為1，9，且兩三角形相似，因此可得出A2B2：A3B3=1：3，由于A2B2A3與B2A3B3是等高不等底的三角形，所以面積之比即為底之邊比，因此這兩個(gè)三角形的面積比為1：3，根據(jù)A3B2B3的面積為9，可求出A

31、2B2A3的面積，同理可求出A3B3A4和A1B1A2的面積即可求出陰影部分的面積【解答】解：A2B1B2，A3B2B3的面積分別為1，9，又A2B2A3B3，A2B1A3B2，OB2A2=OB3A3，A2B1B2=A3B2B3，B1B2A2B2B3A3，=，=，A3B2B3的面積是9，A2B2A3的面積為=SA3B2B3=9=3（等高的三角形的面積的比等于底邊的比）同理可得：A3B3A4=3SA3B2B3=39=27；A1B1A2的面積=SA2B1B2=1=故三個(gè)陰影面積之和=+3+27=30故答案為：30【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例、三角形的面積解題的關(guān)鍵是利用平行線證明三角形相似

32、，再根據(jù)已給的面積，求出相似比，從而求陰影部分的面積16（2016貴陽模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面積等于【分析】根據(jù)ABEECF，可將AB與BE之間的關(guān)系式表示出來，在RtABE中，根據(jù)勾股定理AB2+BE2=AC2，可將正方形ABCD的邊長AB求出，進(jìn)而可將正方形ABCD的面積求出【解答】解：設(shè)正方形的邊長為x，BE的長為aAEB+BAE=AEB+CEF=90BAE=CEFB=CABEECF=，即=解得x=4a在RtABE中，AB2+BE2=AE2x2+a2=42將代入，可得：a=正方形ABCD的面積為

33、：x2=16a2=【點(diǎn)評】本題是一道根據(jù)三角形相似和勾股定理來求正方形的邊長結(jié)合求解的綜合題隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力注意后面可以直接這樣x2+a2=42，x2+（）2=42，x2+x2=42，x2=16，x2=無需算出算出x17（2014和平區(qū)一模）如圖，ABC與DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，則AD：BE的值為【分析】連接OA、OD，由已知可以推出OB：OA=OE：OD，推出ODAOEB，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可推出AD：BE的值【解答】解：連接OA、OD，ABC與DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，AOBC，DOEF，EDO=30，BAO=30，OD：OE=OA

34、：OB=：1，DOE+EOA=BOA+EOA 即DOA=EOB，DOAEOB，OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1=，故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵在于找到需要證相似的三角形，找到對應(yīng)邊的比即可18（2013百色）如圖，在邊長為10cm的正方形ABCD中，P為AB邊上任意一點(diǎn)（P不與A、B兩點(diǎn)重合），連結(jié)DP，過點(diǎn)P作PEDP，垂足為P，交BC于點(diǎn)E，則BE的最大長度為cm【分析】設(shè)AP=x，BE=y通過ABPPCQ的對應(yīng)邊成比例得到=，所以=，即y=x2+x利用“配方法”求該函數(shù)的最大值【解答】解：設(shè)AP=x，BE=y如圖，四邊形AB

35、CD是正方形，A=B=90PEDP，2+3=90，1+2=901=3，ADPBPE，=，即=，y=x2+x=（x5）2+（0x10）；當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值故答案是：【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解題意運(yùn)用三角形的相似性質(zhì)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，求最大值時(shí)，運(yùn)用到“配方法”三解答題（共7小題）19（2011廈門）已知拋物線y=x2+2mxm2+2的頂點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作ABy軸于點(diǎn)B，C是線段AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)C作CDx軸于點(diǎn)D并交拋物線于點(diǎn)P（1）若點(diǎn)C（1，a）是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若直線AP交y軸的正半軸于點(diǎn)E，且AC

36、=CP，求OEP的面積S的取值范圍【分析】（1）根據(jù)題意得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，a），然后設(shè)P（1，n）代入x=，得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，求得函數(shù)的解析式，把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得n=1，從而求得函數(shù)的解析式；（2）把拋物線化為頂點(diǎn)式：y=（xm）2+2，求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C（n，2），然后表示出P（n，（nm）2+2）根據(jù)AC=CP求得mn的值，然后表示出OB、OE的值從而表示出OPE的面積，進(jìn)而求得面積的取值范圍【解答】解：（1）依題意得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，a），設(shè)P（1，n）據(jù)x=，得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，即m=2，所以y=x2+4x2，把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得n=1，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）（2）把拋物線化

37、為頂點(diǎn)式：y=（xm）2+2，可知A（m，2），設(shè)C（n，2），把n代入y=（xm）2+2得y=（nm）2+2，所以P（n，（nm）2+2）AC=CPmn=2+（mn）22，即mn=（mn）2，mn=0或mn=1，又C點(diǎn)不與端點(diǎn)A、B重合mn，即mn=1，則A（m，2），P（m1，1）由AC=CP可得BE=ABOB=2OE=2m，OPE的面積S=（2m）（m1）=（m）2+，邊長為正數(shù)，2m0，m10，1m2，0S【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的用字母表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用題目的已知條件得到有關(guān)的方程或不等式，從而求得未知數(shù)的值或取值范圍20（2016泰州校級(jí)二模）如圖，二

38、次函數(shù)y=a（x24x+3）（a0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)（1）若ABD為直角三角形，求此二次函數(shù)的解析式；（2）P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且P點(diǎn)的縱坐標(biāo)t是大于3的常數(shù)，試問是否存在一個(gè)正數(shù)a，使得四邊形PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請說明理由（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得OAC沿AC翻折后，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O落在ABC的外部？若存在，求出a的范圍，若不存在，請說明理由【分析】（1）求出A、B、D坐標(biāo)，理由等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問題（2）存在先求出直線CD解析式，再求出線段CD的垂直平分線的解析式，即

39、可求出點(diǎn)P坐標(biāo)，觀察點(diǎn)P縱坐標(biāo)即可解決問題（3）存在如圖2中，作AFBC，垂足為F，求出OA=AF時(shí)，OC的長即可解決問題【解答】解：（1）令y=0，則x24x+3=0，解得x=3或1，A（1，0）B（3，0），又y=a（x2）2a，頂點(diǎn)D（2，a），ABD是直角三角形，DA=DB，|a|=AB，|a|=1，a0，a=1，二次函數(shù)解析式為y=x24x+3，（2）存在理由：如圖1中，點(diǎn)P在對稱軸上，PA=PB，四邊形PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等，PC=PD，設(shè)點(diǎn)P（2，t），C（0，3a），D（2，a），直線CD解析式為y=2ax+3a，線段CD的垂直平分線的解析式為y

40、=x+a，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t=+a，當(dāng)a=3時(shí)，t3，存在一個(gè)正數(shù)a，使得四邊形PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（3）如圖2中，作AFBC，垂足為F，當(dāng)OA=AF=1時(shí)，在RTAFB中，AB=2，AF=1，AB=2AF，ABF=30，在RTBOC中，BOC=90，OBC=30，OB=3，OC=OBtan30=3=，由圖象可知當(dāng)03a時(shí)，即0a時(shí)，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O落在ABC的外部【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換，直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建一次函數(shù)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，第三個(gè)問題的關(guān)鍵是求出AF=OA時(shí)

41、OC的長，屬于中考?jí)狠S題21（2011廣州）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，1），且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范圍；（3）該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點(diǎn)P，記PCD的面積為S1，PAB的面積為S2，當(dāng)0a1時(shí)，求證：S1S2為常數(shù)，并求出該常數(shù)【分析】（1）把C（0，1）代入拋物線即可求出c；（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=1a，求出方程ax2+bx+1=0，的b24ac的值即可；（3）設(shè)A（a，0），B（b，0），由根與

42、系數(shù)的關(guān)系得：a+b=，ab=，求出AB=，把y=1代入拋物線得到方程ax2+（1a）x+1=1，求出方程的解，進(jìn)一步求出CD過P作MNCD于M，交x軸于N，根據(jù)CPDBPA，得出=，求出PN、PM的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S1S2的值即可【解答】（1）解：把C（0，1）代入拋物線得：1=0+0+c，解得：c=1，答：c的值是1（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，b=1a，即ax2+（1a）x+1=0，b24ac=（1a）24a=a22a+10，a1，答：a的取值范圍是a0，且a1；（3）證明：ax2+（1a）x+1=0，（ax1）（x1）=0，B點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）而A點(diǎn)坐標(biāo)

43、（1，0）所以AB=1=把y=1代入拋物線得：ax2+（1a）x+1=1，解得：x1=0，x2=，過P作MNCD于M，交x軸于N，則MNX軸，CDAB，CPDBPA，=，=，PN=，PM=，S1S2=1，即不論a為何值，S1S2的值都是常數(shù)答：這個(gè)常數(shù)是1【點(diǎn)評】本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，解一元一次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，題型較好，難度適中22（2014萊蕪）如圖，過A（1，

44、0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4x于C、D兩點(diǎn)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若AOC沿CD方向平移（點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合），在平移的過程中AOC與OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）由題意，可知MNAC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3設(shè)點(diǎn)M的橫坐

45、標(biāo)為x，則求出MN=|x24x|；解方程|x24x|=3，求出x的值，即點(diǎn)M橫坐標(biāo)的值；（3）設(shè)水平方向的平移距離為t（0t3），利用平移性質(zhì)求出S的表達(dá)式：S=（t1）2+；當(dāng)t=1時(shí)，s有最大值為【解答】解：（1）由題意，可得C（1，3），D（3，1）拋物線過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx，解得，拋物線的表達(dá)式為：y=x2+x（2）存在設(shè)直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入，求得k=，直線OD解析式為y=x設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，x），N（x，x2+x），MN=|yMyN|=|x（x2+x）|=|x24x|由題意，可知MNAC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為

46、平行四邊形，則有MN=AC=3|x24x|=3若x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得：x=或x=；若x24x=3，整理得：4x212x+9=0，解得：x=存在滿足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或或（3）C（1，3），D（3，1）易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為y=x如解答圖所示，設(shè)平移中的三角形為AOC，點(diǎn)C在線段CD上設(shè)OC與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；設(shè)AC與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q設(shè)水平方向的平移距離為t（0t3），則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t，0），Q（1+t，+t），C（1+t，3t）設(shè)直線OC的解析式為y=3x+b，將C（1+t，3t）代入得：

47、b=4t，直線OC的解析式為y=3x4tE（t，0）聯(lián)立y=3x4t與y=x，解得x=t，P（t，t）過點(diǎn)P作PGx軸于點(diǎn)G，則PG=tS=SOFQSOEP=OFFQOEPG=（1+t）（+t）tt=（t1）2+當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為S的最大值為【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形、平移變換、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度第（2）問中，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形定義，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）問中，解題關(guān)鍵是求出S的表達(dá)式，注意圖形面積的計(jì)算方法23（2014西寧）如圖，拋物線y=x2+x2交x軸于

48、A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到FEC，連接BF（1）求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；（2）求BCF的面積；（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可得點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)勾股定理可得BC的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形面積公式即可求解；（3）存在分兩種情況討論：過A作AP1x軸交線段BC于點(diǎn)P1，則BAP1BOC；過A作AP2BC，垂足點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作P2Qx軸于點(diǎn)Q則BAP2BCO；依此討論即可求解【解答】解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x2+x2=0，解得x1=2，x2=4，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（4，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=2，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，2），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k0），則，解得直線BC的解析式為y=x2；（2）CDx軸，BDy軸，ECD=90，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，2），BC=2，F(xiàn)E