追及問題的探討

1、追及問題的探討 耿安明追及問題是運(yùn)動學(xué)中較為綜合且有實(shí)踐意義的一類習(xí)題，它往往涉及兩個(gè)以上物體的運(yùn)動過程，每個(gè)物體的運(yùn)動規(guī)律又不盡相同.對此類問題的求解，除了要透徹理解基本物理概念，熟練運(yùn)用運(yùn)動學(xué)公式外，還應(yīng)仔細(xì)審題，挖掘題文中隱含著的重要條件，并盡可能地畫出草圖以幫助分析，確認(rèn)兩個(gè)物體運(yùn)動的位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系和速度關(guān)系，在頭腦中建立起一幅物體運(yùn)動關(guān)系的圖景.借助于vt圖象和x-t來分析和求解往往可使解題過程簡捷明了. 例：汽車以 1 的加速度啟動，同時(shí)車后60m遠(yuǎn)處有一人以一定的速度勻速追趕要車停下。已知人在離車小于20m，且持續(xù)時(shí)間為2s喊停車，方能把停車信息傳達(dá)給司機(jī)，問至少要多大？如果

2、以=10的速度追車，人車距離最小值應(yīng)為多少？ 分析：車人相距s，同時(shí)同向運(yùn)動，車在前面做加速度為a、初速度為零的勻加速運(yùn)動，人在后面勻速追趕。V追趕者v2，則會相撞，若v1=v2,則剛好相撞。若t無解,說明兩者不能同時(shí)處于同一位置，追不上。若追不上，當(dāng)v1=v2時(shí)，兩者間距最小。（開始時(shí)，速度大的甲在后，在前的乙速度較小，間距越來越小，只有乙速度大于甲速度，間距才能越來越大，故兩者速度相等時(shí)，間距最小。） 此情景學(xué)生不易理解，可用x-t圖象幫助理解。有圖1可看出二者速度相同時(shí)間距最小。此時(shí)向前后各1秒間距小于20米即符合題意要求了。前后一秒間距離相同可看v-t圖象理解如圖2圖2。 v/ms1v

3、0t/sttv汽v自tx圖1t/sv/ms-1汽車O自行車圖2解法1：設(shè)經(jīng)t秒人離車20米則t+1秒二者速度相等相距最近 聯(lián)立60+-t=20和=a（t+1）代入數(shù)據(jù)解的t=8s = 9m/s解法2：設(shè)經(jīng)t秒人離車20米聯(lián)立60+-t=20和 聯(lián)立60+-（t+2）=20解得t=8s和v0=9m/s 解法3： 聯(lián)立60+-t=20 和2解得t=8s和v0=9m/s 練習(xí)：甲、乙兩車相距s，同時(shí)同向運(yùn)動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運(yùn)動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運(yùn)動，試討論兩車在運(yùn)動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系.分析 由于兩車同時(shí)同向運(yùn)動，如圖乙甲圖3故有v甲=

4、v0+a2t， v乙=a1t.當(dāng)a1a2時(shí)，a1ta2t，可得兩車在運(yùn)動過程中始終有v甲v乙.由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時(shí)間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次.當(dāng)a1=a2時(shí)，a1t=a2t，可得v甲=v0+v乙，同樣有v甲v乙，因此甲、乙兩車也只能相 遇一次.當(dāng)a1a2時(shí)，a1ta2t，v甲和v乙的大小關(guān)系會隨著運(yùn)動時(shí)間的增加而發(fā)生變化.剛開始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以v甲 v乙；隨著時(shí)間的推移，a1t和a2t相差越來越大；當(dāng)a1t-a2t=v0時(shí)，v甲=v乙，接下來a1t-a2tv0，則有v甲v乙

5、.若在v甲=v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲v乙，甲車就沒有機(jī)會超過乙車，即兩車不相遇；若在v甲=v乙 時(shí)，兩車剛好相遇，隨后v甲v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在v甲=v乙前，甲車已超過乙車，即已相遇過一次，隨后由于v甲v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時(shí)，再相遇一次，則兩車能相遇兩次.當(dāng)a1a2時(shí)，式t只有一個(gè)正解，則相遇一次.當(dāng)a1=a2時(shí)t只有一個(gè)解，則相遇一次.當(dāng)a1a2時(shí)，若v022(a1-a2)s，式無解，即不相遇.若v02=2（a1-a2）s，式t只有一個(gè)解，即相遇一次.若v022（a1-a2）s.式t有兩個(gè)正解，即相遇兩次. 解2 利用v-t圖

6、象求解.當(dāng)a1a2時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為如圖4中的和，其中劃斜線部分的面積表示t時(shí)間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移，若此面積為S，則t時(shí)刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時(shí)間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次.當(dāng)a1=a2時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為如圖5中的和，討論方法同，所以兩車也只能相遇一次.當(dāng)a1a2時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為如圖6中的和，其中劃實(shí)斜線部分的面積表示甲車比乙車多發(fā)生的位移，劃虛斜線部分的面積表示乙車比甲車多發(fā)生的位移.若劃實(shí)斜線部分的面積小于S，說明甲車追不上乙車，則不能相遇；若劃實(shí)斜線部分的面積等于 S，說明甲車剛追上乙車又被反超.則相遇一次；若劃實(shí)斜

7、線部分的面積大于S.如圖中0t1內(nèi)劃實(shí)斜線部分的面積為S，說明t1時(shí)刻甲車追上乙車，以后在t1t時(shí)間內(nèi)，甲車超前乙車的位移為t1t時(shí)間內(nèi)劃實(shí)斜線部分的面積，隨后在tt2時(shí)間內(nèi)，乙車比甲車多發(fā)生劃虛線部分的面積，如果兩者相等，則t2時(shí)刻乙車反超甲車，故兩車先后相遇兩次. 這類問題并不難，需要的是細(xì)心.首先把可能的情況想全，然后逐一認(rèn)真從實(shí)際情況出發(fā)來分析，以得到正確的結(jié)果.總結(jié)一、追及相遇問題1追及問題例如：A追趕B時(shí)（如圖）若VAVB，則AB距離縮??；若VA=VB，則AB距離不變；若VAVB，則AB距離增大；2相遇問題1）同向運(yùn)動的兩物體：相遇問題就是追及問題2）相向運(yùn)動的兩物體：當(dāng)各自發(fā)生的

8、位移的代數(shù)和等于開始時(shí)兩物體間的距離時(shí)，即相遇3在兩物體同直線上的追及、相遇或避免碰撞問題中關(guān)鍵的條件：其實(shí)質(zhì)就是分析討論兩物體在相同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置問題二、把握的關(guān)系1兩個(gè)關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系2一個(gè)條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)。三、常見的情況 V追趕者 V被追趕者 則一定能追上V追趕者v2，則會相撞，若v1=v2,則剛好相撞。若t無解,說明兩者不能同時(shí)處于同一位置，追不上。 若追不上，當(dāng)v1=v2時(shí)，兩者間距最小。（開始時(shí)，速度大的甲在后，在前的乙速度較小，間距越來越小，只有乙速度大于甲速度，間距才能越來越大，故兩者速度相等時(shí)，間距最小。）注意：相遇（或相撞）的臨界條件是：兩物體處在同一位置時(shí)，兩物體的速度剛好相等。四、解題思路和方法 1流程圖分析兩物體運(yùn)動過程，畫運(yùn)動示意圖由示意圖找兩物體位移關(guān)系據(jù)物體運(yùn)動性質(zhì)列（含有時(shí)間）的位移方程2、此類問題常用的解題方法有公式法 圖象法 數(shù)學(xué)方法 相對運(yùn)動法五、小結(jié)解追及相遇問題的思路及步驟兩物體的速度滿足的條件，確定時(shí)間和位移關(guān)系。1、抓住關(guān)鍵字眼：剛好、恰好、最多、最小等，看兩物體的速度應(yīng)滿足什么條件。2、畫草圖，設(shè)經(jīng)時(shí)間t后兩者能相遇，找到兩物體的