《第二章2 平方根》講解與例題 （新版）北師大版

1、第二章2 平方根講解與例題 (1)平方根的概念：如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).329，所以3是9的平方根(3)29，所以3也是9的平方根，所以9的平方根是3和3.(2)平方根的表示方法：正數(shù)a的平方根可記作“”，讀作“正、負根號a”“”讀作“根號”，“a”是被開方數(shù)例如：2的平方根可表示為.(3)平方根的性質(zhì)：若x2a，則有(x)2a，即x也是a的平方根，所以正數(shù)a的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；只有020，故0的平方根為0；因為同號的兩個數(shù)相乘得正，所以任何數(shù)的平方都不會是負數(shù)，故負數(shù)沒有平方根綜合上述：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反

2、數(shù)；0只有一個平方根，它是0本身；負數(shù)沒有平方根如：4的平方根有兩個：2和2，4沒有平方根我明白了，一個數(shù)a的平方根能夠表示成.你可要小心哦?。?）不是任何數(shù)都有平方根，負數(shù)可沒有平方根，（2）式子只有當a0時才有意義,因為負數(shù)沒有平方根.【例11】 求下列各數(shù)的平方根：(1)81；(2)(7)2；(3)1.分析：根據(jù)平方根的定義，求一個數(shù)a的平方根可轉(zhuǎn)化為求一個數(shù)的平方等于a的運算，更具體地說，就是找出平方后等于a的數(shù)解：(1)(9)281，81的平方根是9，即9.(2)(7)27249，(7)2的平方根是7，即7.(3)1，又2，1的平方根是，即.【例12】 下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，求

3、出它的平方根；若沒有，請說明理由(1)；(2)0；(3)9；(4)|0.81|；(5)22.分析：序號存有情況原因(1)有2個正數(shù)有兩個平方根(4)有2個(3)無負數(shù)沒有平方根(5)無(2)有1個0的平方根是它本身解：(1)是正數(shù)，有兩個平方根又2，的平方根是.(2)0只有一個平方根，是它本身(3)9是負數(shù)，9沒有平方根(4)|0.81|(0.9)2，是正數(shù)，|0.81|的平方根是0.9.(5)224，是負數(shù)，22沒有平方根2.算術(shù)平方根(1)算術(shù)平方根的概念：如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根(2)算術(shù)平方根的表示方法：正數(shù)a的算術(shù)平方根記作“”，讀作“

4、根號a”(3)算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)有一個正的算術(shù)平方根；0的算術(shù)平方根是0；負數(shù)沒有平方根，當然也沒有算術(shù)平方根淡重點 算術(shù)平方根的性質(zhì)(1)只有正數(shù)和0(即非負數(shù))才有算術(shù)平方根，且算術(shù)平方根也是非負數(shù)；(2)一個正數(shù)a的正的平方根就是它的算術(shù)平方根如果知道一個數(shù)的算術(shù)平方根，就能夠?qū)懗鏊呢摰钠椒礁纠?】 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：(1)0.09；(2).分析：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，求一個非負數(shù)a的算術(shù)平方根，首先要找出平方等于a的數(shù)，寫出平方式；從平方式中確定a的算術(shù)平方根的值解：(1)0.320.09，0.09的算術(shù)平方根是0.3，即0.3；(2)2，的算術(shù)平方根是.析規(guī)律 如何確定

5、一個數(shù)的算術(shù)平方根求一個數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方根類似，先找到一個平方等于所求數(shù)的數(shù)，再求算術(shù)平方根，應特別注意數(shù)的符號3開平方求一個數(shù)a(a0)的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)開平方運算是已知指數(shù)和冪求底數(shù)(1)因為平方和開平方互逆，故可通過平方來尋找一個數(shù)的平方根，也可以利用平方驗算所求平方根是否正確(2)開平方與平方互為逆運算，正數(shù)、負數(shù)、0可以進行“平方”運算，且“平方”的結(jié)果只有一個；但“開平方”只有正數(shù)和0才可以，負數(shù)不能開平方，且正數(shù)開平方時有兩個結(jié)果(3)對于生活和生產(chǎn)中的已知面積求長度的問題，一般可用開平方加以解決【例3】 小明家計劃用80塊正方形的地板磚

6、鋪設面積是20 m2的客廳，試問小明家需要購買邊長是多少的地板磚？解：設正方形的地板磚的邊長為x m，由題意，得80x220，則x20.25.故x0.5.地板磚的邊長不能為負數(shù)，x0.5.小明家應購買邊長為0.5 m的地板磚4.與()2的關(guān)系表示a的算術(shù)平方根，依據(jù)算術(shù)平方根的定義，()2a(a0).表示a2的算術(shù)平方根，依據(jù)算術(shù)平方根的定義，若a0，則a2的算術(shù)平方根為a；若a0，則a2的算術(shù)平方根為a，即|a|(1)區(qū)別：意義不同：()2表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根的平方；表示實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根取值范圍不同：()2中的a為非負數(shù)，即a0；中的a為任意數(shù)運算順序不同：()2是先求a的算術(shù)平

7、方根，再求它的算術(shù)平方根的平方；是先求a的平方，再求平方后的算術(shù)平方根寫法不同在()2中，冪指數(shù)2在根號的外面；而在中，冪指數(shù)2在根號的里面運算結(jié)果不同：()2a；|a|(2)聯(lián)系：在運算時，都有平方和開平方的運算兩式運算的結(jié)果都是非負數(shù)，即()20，0.僅當a0時，有()2.點技巧 巧用()2a將()2a反過來就是a()2，利用此式可使某些運算更為簡便【例4】 化簡：()2_；_.解析：|7|7.答案：675平方根與算術(shù)平方根的關(guān)系(1)區(qū)別：概念不同平方根的概念：如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2a，那么這個數(shù)x叫做a的平方根算術(shù)平方根的概念：如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2a，那么這個正

8、數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根表示方法不同平方根：正數(shù)a的平方根用符號表示算術(shù)平方根：正數(shù)a的算術(shù)平方根用符號表示，正數(shù)a的負的平方根可以看成是正數(shù)a的算術(shù)平方根的相反數(shù)讀法不同讀作“根號a”；讀作“正、負根號a”結(jié)果和個數(shù)不同一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個且一定為正數(shù)，而一個正數(shù)的平方根有兩個，它們一正一負且互為相反數(shù)(2)聯(lián)系：平方根中包含了算術(shù)平方根，就是說算術(shù)平方根是平方根中的一個，即一個正數(shù)的平方根有一正一負兩個，其中正的那一個就是它的算術(shù)平方根，這樣要求一個正數(shù)a的平方根，只要先求出這個正數(shù)的算術(shù)平方根，就可以直接寫出這個正數(shù)的平方根了在平方根和算術(shù)平方根中，被開方數(shù)都是非負數(shù)，即a0.嚴格

9、地講，正數(shù)和0既有平方根，又有算術(shù)平方根，負數(shù)既沒有平方根，又沒有算術(shù)平方根0的平方根和算術(shù)平方根都是0.【例51】 (1)求(3)2的平方根；(2)計算；(3)求(3.142)2的算術(shù)平方根；(4)求的平方根錯解(1)因為(3)29，故(3)2的平方根是3；(2)因為(12)2144，所以12；(3)(3.142)2的算術(shù)平方根是3.142；或(3.142)(4)的平方根是4.剖析(1)一個正數(shù)的平方根是互為相反數(shù)的兩個數(shù)，而這里(3)2的平方根只有一個數(shù)，只表明兩個平方根中的一個負的平方根，漏掉了一個正的平方根；(2)混淆了平方根與算術(shù)平方根的概念，表示144的算術(shù)平方根，它是一個非負數(shù)，

10、錯解中出現(xiàn)了增解12；(3)錯在忽視了3.142，即3.1420；或混淆了平方根與算術(shù)平方根的概念；(4)這里錯誤地將的平方根當成16的平方根，其實這里是求16的算術(shù)平方根的平方根，該題將兩個相近概念“算術(shù)平方根”和“平方根”含在一個小題中.正解(1)3；(2)12；(3)(3.142)3.142；(4)4，它的平方根是2.【例52】 求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).分析：表示81的平方根，故其結(jié)果是一對相反數(shù)；表示16的負平方根，故其結(jié)果是負數(shù)；表示的算術(shù)平方根，故其結(jié)果是正數(shù)；表示(4)2的算術(shù)平方根，故其結(jié)果必為正數(shù)解：(1)9281，9.(2)4216，4.(3)2，.

11、(4)42(4)2，4.釋疑點 與平方根相關(guān)的三種符號弄清與平方根有關(guān)的三種符號，的意義是解決這類問題的關(guān)鍵表示非負數(shù)a的平方根，表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根，表示非負數(shù)a的負平方根注意.在具體解題時，“”的前面是什么符號，其計算結(jié)果就是什么符號，既不能漏掉，也不能多添6巧用算術(shù)平方根的兩個“非負性”眾所周知，算術(shù)平方根具有雙重非負性：(1)被開方數(shù)具有非負性，即a0.(2)本身具有非負性，即0.這兩個非負性形象、全面地反映了算術(shù)平方根的本質(zhì)屬性在解決與此相關(guān)的問題時，若能仔細觀察、認真地分析題目中的已知條件，并挖掘出題目中隱含的這兩個非負性，就可避免用常規(guī)方法造成的繁雜運算或誤解，從而收到事半功

12、倍的效果由于初中階段學習的非負數(shù)有三類，即一個數(shù)的絕對值，一個數(shù)的平方(偶次方)和非負數(shù)的算術(shù)平方根關(guān)于算術(shù)平方根和平方數(shù)的非負性相關(guān)的求值問題，一般情況下都是它們的和等于0的形式此類問題可以分成以下幾種形式：(1)算術(shù)平方根、平方數(shù)、絕對值三種中的任意兩種組成一題|()20，|0，()20，甚至同一道題目中同時出現(xiàn)這三個內(nèi)容|()20(2)題目中沒有直接給出平方數(shù)，而是需要先利用完全平方公式把題目中的某些內(nèi)容進行變形，然后再利用非負數(shù)的性質(zhì)進行計算【例61】 若y6，則x_，y_.解析：由有意義得x0，故y6.答案：06【例62】 若|m1|0，則m_，n_.解析：根據(jù)題意，得m10，n50，所以m1，n5.答案：15注：若幾個非負數(shù)的和為0，則每個數(shù)都為0.【例63】 如果y2 013成立，求x