數(shù)學(xué)思想與方法復(fù)習(xí)資料

1、數(shù)學(xué)思想與方法復(fù)習(xí)資料 2013.6一，填空題(每題3分，本題共30分)1. 化歸方法包含的三個(gè)要素是：化歸對象、化歸目標(biāo)、化歸途徑。2. 算法的有效性是指，如果使用該算法從它的初始化數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解。3. 數(shù)學(xué)的研究對象大致可以分成兩類：研究數(shù)量關(guān)系；研究空間形式。4. 一個(gè)科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)必須能夠?qū)⑿枰诸惖臄?shù)學(xué)對象，進(jìn)行不重復(fù)、無遺漏的劃分。5. 根據(jù)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有潛意識階段、明朗化階段和深刻理解階段等三個(gè)階段，可相應(yīng)地將小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)成多次孕育、初步理解、簡單應(yīng)用三個(gè)階段。6. 九章算術(shù)思想方法的特點(diǎn) 是開放的歸納體系 算法化的內(nèi)容 模型化的方法

2、。7. 抽象的含義：抽象是對同類事物 抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征，舍去其非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程。8. 在反例反駁中，構(gòu)造一個(gè)反例必須滿足條件 （1）反例滿足構(gòu)成猜想的所有條件（2）反例與構(gòu)成猜想的結(jié)論矛盾。9. 化歸方法的三個(gè)要素是 化歸對象， 化歸目標(biāo)，化歸途徑。10. 算法可分為 多項(xiàng)式算法，指數(shù)型算法 兩大類.11. 任何分類都必須遵循下列原則: 不重復(fù)，無遺漏，標(biāo)準(zhǔn)同一，按層次逐步劃分12. 數(shù)學(xué)的研究對象大致可以分成如下兩類 確定性現(xiàn)象和隨機(jī)性現(xiàn)象13. 所謂特殊化是指在研究問題時(shí)， 從對象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合的思想方法 的思想方法。14. 小

3、學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的主要階段是： 形象抽象思維，即由具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段.15三段論是演繹推理的主要形式，三段論由 大前提，小前提，結(jié)論 組成。16. 學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有如下三個(gè)主要階段對同一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類。 17面對一個(gè)問題，經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個(gè)方面人手：演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假 ，并且進(jìn)一步修正或否定此猜想。 18變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解析幾何，標(biāo)志是 微積分。19化歸方法是將 疑難問題 轉(zhuǎn)化為已知問題。20公理方法是從盡可能少的初始概念和公理出發(fā)，應(yīng)用嚴(yán)格的 邏輯推

4、理，使一門數(shù)學(xué)構(gòu)建成為演繹系統(tǒng)的一種方法。21數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)是由于出現(xiàn)了 無理數(shù)(或 ) 而造成的。22數(shù)學(xué)猜想具有兩個(gè)明顯的特點(diǎn)：科學(xué)性與推測性。23所謂社會科學(xué)數(shù)學(xué)化就是指數(shù)學(xué)向 社會科學(xué)的滲透，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來揭示 社會現(xiàn)象 的一般規(guī)律。24分類必須遵循的原則是不重復(fù)；無遺漏；標(biāo)準(zhǔn)同一 。25深層類比又稱實(shí)質(zhì)性類比，它是通過對被比較對象的處理相互依存的各種相似屬性之間的多種因果關(guān)系的分析而得到的類比。26. 幾何原本所開創(chuàng)的 公理化 方法不僅成為一種數(shù)學(xué)陳述模式，而且還被移植到其它學(xué)科，并且促進(jìn)它們的發(fā)展。27. 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是在一定條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。28

5、. 等腰三角形概念的抽象過程，就是把一個(gè)新的特征：兩邊相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強(qiáng)化。29. 類比法是指，由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。30. 面對一個(gè)問題，經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考，通過歸納或者類比提出猜想，然后從兩個(gè)方面入手：演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假，并且進(jìn)一步修正或否定此猜想。二、判斷題(每題4分，本題共20分)1中國古代數(shù)學(xué)中使用的數(shù)學(xué)方法是演繹的方法。錯(cuò)誤，中國古代數(shù)學(xué)中使用的數(shù)學(xué)方法是開放的歸納體系2幾何原本是人類歷史上最早的演繹的公理化體系。正確幾何原本是人類歷史上最早形成的演繹體系，是公理體系

6、在具體學(xué)科中應(yīng)用成功的標(biāo)志，并以此為開端的。3微積分的建立標(biāo)志著變量數(shù)學(xué)的誕生。正確4完全歸納法的一般推理形式是：設(shè)S= A1, A2,-, An,-由于A1具有屬性p，A2具有屬性p，An具有屬性p，因此推斷集合S中的每一個(gè)對象都具有屬性p。錯(cuò)誤 此題給出的是不完全歸納法的定義5如果某一問題存在算法，并且進(jìn)一步構(gòu)造出這個(gè)算法，就一定能夠求出該問題的解。錯(cuò)誤 如果某一問題存在算法，并進(jìn)一步構(gòu)造出這個(gè)算法，也不一定能夠求出該問題的解6數(shù)學(xué)模型方法是近代才產(chǎn)生的。(否)7在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，本教材所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法并不多見。(否 )8所謂特殊化是指在研究問題時(shí)，從對象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮

7、某個(gè)包含于該集合的較小集合的思想。(是 )9既沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。 (是 )10對同一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類。(是 )11. 九章算術(shù)不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容。（否）12. 抽象和概括是兩種完全不同的方法。（否）13. 沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。（是）14. 數(shù)學(xué)模型方法是物理學(xué)、工程學(xué)的專利，在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域沒有應(yīng)用。（否）15. 在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能奏效.(是)16. 計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物，又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者。（是）17. 一個(gè)數(shù)學(xué)理論

8、體系內(nèi)的每一命題都是必須給出證明。（否）18. 如果某一類問題存在算法，并且構(gòu)造出這個(gè)算法，就一定能求出該問題的精確解。（否）19. 對同一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類。（是）20. 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)隸屬數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，只要貫徹通常的數(shù)學(xué)教學(xué)原則就可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)。（否）21.九章算術(shù)不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容 （否）22.既沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識（是）23.對同一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類（是）24.特殊化是研究共性中的個(gè)性的一種方法（否）25.數(shù)學(xué)模型方法應(yīng)用面很窄（否）26.隨機(jī)現(xiàn)象就是雜亂無章的現(xiàn)象，無

9、論是個(gè)別還是整體，其隨機(jī)現(xiàn)象都沒有規(guī)律性。 （）27.數(shù)學(xué)學(xué)科的新發(fā)展分形幾何，其分形的思想就是講某一對象的細(xì)微部分放大后，其結(jié)構(gòu)與原先的一樣。（）28.我國中小學(xué)數(shù)學(xué)成績舉世公認(rèn)，“高分必然產(chǎn)生高創(chuàng)造力”，我國中學(xué)生的科學(xué)測試成績名列前茅。（）29我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出。數(shù)學(xué)知識就是“數(shù)與形以及演繹的知識”。（）30.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線，而且是兩條明線。（）三、簡答題(每題10分，本題共30分)1簡述確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)以及確定數(shù)學(xué)的局限確定性現(xiàn)象特點(diǎn)：在一定條件下，其結(jié)果完全被決定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會發(fā)

10、生某種結(jié)果，或者必然不會發(fā)生某種結(jié)果隨即現(xiàn)象的特點(diǎn)：在一定條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。確定數(shù)學(xué)的局限性：隨機(jī)現(xiàn)象并不是雜亂無章的現(xiàn)象，就個(gè)體而言，似乎沒什么規(guī)律存在，但當(dāng)同類現(xiàn)象大量出現(xiàn)時(shí)，在總體上卻呈現(xiàn)出一種規(guī)律性，但是確定數(shù)學(xué)無法定量地揭示這種規(guī)律性2簡述數(shù)學(xué)建模的基本步驟。數(shù)學(xué)建模的方法和步驟是：弄清實(shí)際問題：包括了解問題的實(shí)際背景知識，從中提取有關(guān)的信息，明確要達(dá)到的目標(biāo)?；唵栴}：根據(jù)問題的特點(diǎn)和目的，做出某種核力的假設(shè)，舍棄一些次要因素，從而使問題得以化簡。建模：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，抓住主要因素和有關(guān)量之間的關(guān)系進(jìn)行抽象概括，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具刻畫變量之間的數(shù)量關(guān)系

11、，建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)求解：對所得的模型在數(shù)學(xué)上進(jìn)行推理或演算，求出數(shù)學(xué)上的結(jié)果檢驗(yàn)：把數(shù)學(xué)上的結(jié)論返回到實(shí)際問題中。若模型與實(shí)際比較溫和，則對所得結(jié)果給出實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。倘若經(jīng)過檢驗(yàn)與實(shí)際不符，就必須對所得模型加以修正，重復(fù)前面的建模過程。3什么是類比猜想?并舉一個(gè)例子。人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只不過是用字母替代數(shù)而已，因此，我們可以猜想，分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運(yùn)算等方面都是對應(yīng)相似的。事實(shí)也如此。4簡述概括與抽象的關(guān)系。答：概括方法與抽象方

12、法是不同的，但是它們又有十分密切的聯(lián)系。抽象是舍棄事物的一些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間不一定有種屬關(guān)系。概括是在思維中由認(rèn)識個(gè)別事物的本質(zhì)屬性，發(fā)展到認(rèn)識具有這種本質(zhì)屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個(gè)屬概念。概括和抽象雖有差別，但又是互相聯(lián)系、密不可分的。抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象就不能認(rèn)識任何事物的本質(zhì)屬性，就無法概括。概括也是抽 象思維過程中所必須的一個(gè)環(huán)節(jié)，前述“收括”操作實(shí)際上也是一個(gè)概括過程，有人就把“收括”稱之為概括，由于對共同點(diǎn)的概括才能得出對象的本質(zhì)屬性，從而完

13、成抽象過程。 評分標(biāo)準(zhǔn)： (1)答對，得3分； (2)答對，得3分； (3)答對，得4分； (4)完整答出，得10分。5簡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑。答：猜想能力培養(yǎng)可以通過數(shù)學(xué)教學(xué)，如：新知識的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)規(guī)律的尋求、解題思路的探索等途徑來實(shí)現(xiàn)。 評分標(biāo)準(zhǔn)： (1)答對，得3分； (2)答對，得3分； (3)答對，得4分； (4)完整答出，得10分。6微積分產(chǎn)生可以歸結(jié)為哪四類情況?答：這些問題歸結(jié)到數(shù)學(xué)上主要有如下四類情況。 第一類是：已知物體移動(dòng)的距離為時(shí)間的函數(shù)，求物體瞬時(shí)速度和加速度；反過來，已知物體的加速度為時(shí)間的函數(shù)，求速度和距離。 第二類是：求曲線切線的斜率和方程。 第三類是：求函

14、數(shù)的最大值與最小值。 第四類是：求曲線的長度，曲邊梯形的面積，曲面圍成的物體的重心。 這四類問題的核心是求一個(gè)常量無法確定的量變量問題。 評分標(biāo)準(zhǔn)： (1)答對，得25分； (2)答對，得25分； (3)答對，得25分； (4)答對，得25分；(5)完整答出，得10分。7. 為什么說幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系？幾何原本以少數(shù)原始概念和公設(shè)、公里為基礎(chǔ)，運(yùn)用邏輯規(guī)則將當(dāng)時(shí)所知的幾何學(xué)中的主要命題（定理）全部推演出來，從而形成一個(gè)井然有序的整體。在這個(gè)體系中除了邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公里或前面已證明的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上符合邏輯上對概念下定義的要求

15、，原則上不再依賴其它東西。另外，幾何原本回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問題，對社會生活的各個(gè)領(lǐng)域來說也是封閉的。因此，幾何原本是一個(gè)相對封閉的演繹體系。8. 簡述計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)方面的三種新用途。第一，用來證明一些數(shù)學(xué)命題；第二，用來預(yù)測某些數(shù)學(xué)問題的可能結(jié)果；第三，用來驗(yàn)證某些數(shù)學(xué)問題的結(jié)果的正確性9. 試用框圖表示出MM方法解題的基本步驟。MM方法解題的基本步驟可用框圖表示為： 10. 簡述化歸方法在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用?；瘹w方法在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用至少有以下三個(gè)方面： 利用化歸方法學(xué)習(xí)新知識；利用化歸方法指導(dǎo)解題；利用化歸方法整理知識結(jié)構(gòu)。11. 試對九章算數(shù)思想方法的一個(gè)特點(diǎn)“算法化的內(nèi)容

16、”加以說明。答：九章算術(shù)在每一章內(nèi)都先列舉若干實(shí)際問題，并對每個(gè)問題給出答案，然后再給出“術(shù)”，作為一類問題的共同解法。以后遇到同類問題， 只要按“術(shù)”給出的程序去做就一定能能求出問題的答案；書中的“術(shù)”其實(shí)就是算法。12. 簡述數(shù)學(xué)抽象的特征。答：數(shù)學(xué)抽象有以下特點(diǎn)：無物質(zhì)性；層次性；數(shù)學(xué)抽象過程要憑借分析或直覺；數(shù)學(xué)抽象不僅有概念抽象還有方法抽象。13. 為什么將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一條原則？答：由于數(shù)學(xué)抽象方法往往隱含在數(shù)學(xué)知識的背后，知識教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但如果不是有意識地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生常常只注意到處于表層的數(shù)學(xué)知識，而注意不到處于深

17、層的思想方法。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)必須以數(shù)學(xué)知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學(xué)過程達(dá)到思想方法教學(xué)的目的。14. 簡述用數(shù)學(xué)模型方法解決實(shí)際問題的基本步驟。答：用MM方法解決實(shí)際問題的基本步驟為：從現(xiàn)實(shí)原型抽象概括出數(shù)學(xué)模型；在數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行邏輯推理、論證或演算，求得數(shù)學(xué)問題的解；從數(shù)學(xué)模型再過渡到現(xiàn)實(shí)原型，即將研究數(shù)學(xué)模型所得到的結(jié)論，返回到現(xiàn)實(shí)原型上去，求得實(shí)際問題的解答。15. 試用框圖表示用特殊化方法解決問題的一般過程。答：特殊化解決問題的過程可用框圖表示為：16.簡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑答：猜想能力培養(yǎng)可以通過數(shù)學(xué)教學(xué)，如：1.新知

18、識的學(xué)習(xí)，2.數(shù)學(xué)規(guī)律的尋求，3、解題思路的探索等途徑來實(shí)現(xiàn)。17.簡述特殊化方法要數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。答：1.利用特殊值（圖形）解選擇題，2.利用特殊化探求問題結(jié)論，3.利用特例檢驗(yàn)一般結(jié)果，4.利用特殊化探索解題思路。18.什么是歸納猜想：并舉一個(gè)例子說明。答：1.人們運(yùn)用歸納猜想，得出一類現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識的一種推測性的判斷，即猜想這種思想方法稱為歸納猜想。2.例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后，發(fā)現(xiàn)它們的值總是近似地等于3.14，于是提出了圓周率是3.14的猜想。后來數(shù)學(xué)家從理論上證明圓周率的數(shù)值為，果然和3.14很接近。19.簡述概括與抽象的關(guān)系。答：1概括方法與抽象方法是不同

19、的，但是它們又是十分密切的聯(lián)系。抽象是舍棄事物的些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的新概念與表述原來抽象的概念之間不一定有種屬關(guān)系。2.概括是在思維中由認(rèn)識個(gè)別事物的本質(zhì)屬性一，發(fā)展認(rèn)識肯有這種本質(zhì)屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個(gè)屬概念。3.概括和抽象雖有差別，但又是互相聯(lián)系，密不可分的，抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象就不能認(rèn)識任何事物的本質(zhì)屬性，就無法概括。概括也是抽象思維過程中必須的一個(gè)環(huán)節(jié)，前述“收括”操作實(shí)際上也是一個(gè)概括過程，有人把“收括”稱之為概括，由于對共同點(diǎn)的概括才能得出對象的本質(zhì)屬性，從而完在抽象過程

20、。20.在實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)應(yīng)注意哪些問題？答：為了切實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)事項(xiàng)：1.要把數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)納入教學(xué)目標(biāo)，并在教案中設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)內(nèi)容教學(xué)過程；2.重視數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)；3.做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作；4.不同類型的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要點(diǎn)；5.注意不同數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用。21.簡述類比的含義，數(shù)學(xué)中常用的類比有哪些？答：所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。類比又稱為類比法，或者類比推理。 在數(shù)學(xué)中，常見的類比有：直線和平面的類比，

21、平面與空間的類比，數(shù)與式的類比，方程與不等式的類比，數(shù)與形的類比，一元與多元的類比，有限與無線的類比。22.簡述計(jì)算工具的發(fā)展。 答：經(jīng)歷了古代的計(jì)算工具；手搖計(jì)算機(jī)、對數(shù)計(jì)算尺等機(jī)械式計(jì)算工具；電動(dòng)式計(jì)算機(jī)；機(jī)電式計(jì)算機(jī)；集成電路計(jì)算機(jī)、大規(guī)模集成電路計(jì)算機(jī)幾個(gè)主要階段。23.簡述小學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性，具體表現(xiàn)？ 答：數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思想品質(zhì)都有十分重要的作用。 具體表現(xiàn)在： 掌握數(shù)學(xué)思想方法能更好地理解數(shù)學(xué)知識。 數(shù)學(xué)思想方法對數(shù)學(xué)問題的解決有著重要的作用。 加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是以學(xué)生發(fā)展為本的必然

22、要求。24.簡述類比的含義，數(shù)學(xué)中常用的類比有哪些？答：所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。數(shù)學(xué)中常用的類似有表層類比、深層類比、溝通類比。25.常量數(shù)學(xué)應(yīng)用的局限性是什么？答：在建立了太陽中心理論后，17世紀(jì)的人們面臨了如何改進(jìn)計(jì)算行星位置，以及如何解釋地球上靜止的物體保持不動(dòng)、下降的物體還落在地球上等之類的問題。這類問題的核心是物體的運(yùn)動(dòng)。而對這類帶有運(yùn)動(dòng)特征的問題，人們已有的數(shù)學(xué)知識：算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三解等構(gòu)成的初等數(shù)學(xué)，顯得無效。由于初等數(shù)學(xué)都是以不變的數(shù)量（即常量）和固定的圖形為其研究對象（因此這部分內(nèi)容也稱為常量數(shù)學(xué)）

23、。運(yùn)用這些知識可以有效地描述和解釋相對穩(wěn)定的事物和現(xiàn)象?？墒牵瑢τ谶@些運(yùn)動(dòng)變化的事物和，它們顯然無能為力。 26.簡述代數(shù)解題方法的基本思想。答：代數(shù)解題方法的基本思想是，首先依據(jù)問題的條件組成內(nèi)含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關(guān)系列出議程；然后通過對方程進(jìn)行恒等變換求出未知數(shù)的值。27.簡述九章自術(shù)與幾何原本兩大著作的特點(diǎn)。答：幾何原本特點(diǎn)：封閉的演繹體系、抽象化的內(nèi)容、公理化的方法；九章算術(shù)特點(diǎn)：開放的歸納體系、算法化的內(nèi)容、模型化的方法。28.為什么說數(shù)學(xué)模型方法是一種迂回式化歸？答：1。運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法解決問題時(shí)，不是直接求出實(shí)際問題的解，因?yàn)檫@樣做往往是行不通或者花費(fèi)過分昂貴。2。

24、而是先將實(shí)際問題化歸為一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，然后通過求數(shù)學(xué)模型的解間接求出原實(shí)際問題的解，走的是一條迂回的道路。3因此，我們說數(shù)學(xué)模型方法是一種迂回式化歸。29.特殊化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用有哪些？答：1利用特殊值（圖形）解選擇題1 利用特殊化探求問題結(jié)論2 利用特例檢驗(yàn)一般結(jié)果3 利用特殊化探索解題思路30.為什么數(shù)形結(jié)合方法在數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用？答：1.，數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而現(xiàn)實(shí)世界本身是同時(shí)兼?zhèn)鋽?shù)與形兩種數(shù)形的。既不存在有數(shù)無形的客觀對象，也不存在有形無數(shù)的客觀對象。2，因此，在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件

25、下互相轉(zhuǎn)換3.，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學(xué)問題，對于溝通代數(shù)，三角，幾何各分支之間的聯(lián)系，提高分析問題，解決問題的能力具有重要作用四、解答題(本題20分)1. 運(yùn)用方程模型解應(yīng)用題時(shí)，其中最重要的是“設(shè)想問題已經(jīng)解出”、“用兩種不同方式表示同一個(gè)量”、“方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相等”這三個(gè)要點(diǎn)。這是為什么?請闡述你的理解。 答：“設(shè)想問題已經(jīng)解出”，即在列式時(shí)將未知量與已知量同等對待。這是列方程中的一個(gè)重要思想，也是它優(yōu)于算術(shù)之處。設(shè)問題中的已知量為a，b，c，算術(shù)中的列式為： 未知量f（a，b，c）（通常省去“未知量”）未知量只能列在等號左邊，且系數(shù)必須為1，已知量只能在等號右邊出現(xiàn)。已知量與

26、未知量的地位截然不同。若用字母x表示未知量，則方程式為： f（x，a，b，c）g（x，a，b，c）未知量與已知量處于同等地位，都可以在等號兩邊出現(xiàn)，于是列式就容易對了。 “用兩種不同表達(dá)式表示同一量”，這是列方程的關(guān)鍵。通常按形式定義方程為“含有未知量的等式”，其實(shí)也可以說，方程就是用兩種不同的方法去表示同一個(gè)量。 “方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相等”，否則就不會得到確定的解。這里有個(gè)自由度的思想。當(dāng)未知量個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)時(shí)，就會出現(xiàn)不定方程（組）。這是方程組的解一般會有無窮多個(gè)。2. 論述幾何原本和九章算術(shù)思想方法的特點(diǎn)。答：幾何原本的思想方法的特點(diǎn)： 封閉的演繹體系 因?yàn)樵趲缀卧局?，除了推?dǎo)時(shí)所

27、需要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系。 另外，幾何原本的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問題，因此對于社會生活的各個(gè)領(lǐng)域來說，它也是封閉的。 所以，幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系。 抽象化的內(nèi)容 幾何原本中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，不討論這些概念和命題與社會生活之間的關(guān)系，也不考察這些數(shù)學(xué)模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)原型。因此幾何原本的內(nèi)容是抽象的。 公理化的方法 幾何原本的第

28、一篇中開頭5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理，是全書其它命題證明的基本前提，接著給出23個(gè)定義，然后再逐步引入和證明定理。定理的引入是有序的，在一個(gè)定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公設(shè)和公理與前面已經(jīng)證明過的定理。以后各篇除了不再給出公設(shè)和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與表述方法就是公理化方法。 九章算術(shù)的思想方法的特點(diǎn)： 開放的歸納體系 從九章算術(shù)的內(nèi)容可以看出，它是以應(yīng)用問題解法集成的體例編纂而成的書，因此它是一個(gè)與社會實(shí)踐緊密聯(lián)系的開放體系。 在九章算術(shù)中通常是先舉出一些問題，從中歸納出某一類問題的一般解法；再把各類算法綜合起來，得到解決該領(lǐng)域中各種問題的方法；最后，把解決各領(lǐng)域中問題的數(shù)學(xué)方法全部綜合起來，就得到整個(gè)九章算術(shù)。 另外該書還按解決問題的不同數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納，從這些方法中提煉出數(shù)學(xué)模型，最后再以數(shù)學(xué)模型立章寫入九章算術(shù)。 因此，九章算術(shù)是一個(gè)開放的歸納體系。 算法化的內(nèi)容 九章算術(shù)在每一章內(nèi)先列舉若干個(gè)實(shí)際問題，并對每個(gè)問題都給出答案，然后再給出“術(shù)”，作為一類問題的共同解法。因此，內(nèi)容的算法化是九章算術(shù)思想方法上的特點(diǎn)之一。 模型化的方法 九章算術(shù)各章都是先從相應(yīng)的社會實(shí)踐中選擇具有典型意義的現(xiàn)實(shí)原型，并把它們表述成問題，然后通過“術(shù)”使其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然有的章采取的是由數(shù)學(xué)模型到原型的過程，即先給出數(shù)學(xué)模型，然后再舉