數(shù)學建模——刀具壽命的測定

1、實驗十二刀具壽命的測定【實驗目的】1了解數(shù)理統(tǒng)計中數(shù)據(jù)描述和分析的基本概念和方法。2通過對實際數(shù)據(jù)的分析、統(tǒng)計，初步培養(yǎng)統(tǒng)計推斷解決問題的建模思想。3學習掌握用MATLAB命令進行參數(shù)估計、假設檢驗和統(tǒng)計推斷問題的求解。【實驗內(nèi)容】一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因，該工序會出現(xiàn)故障，工序出現(xiàn)故障是完全隨機的，假定在生產(chǎn)任一零件時出現(xiàn)故障的機會均相同。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障?，F(xiàn)積累有100次刀具故障記錄，故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如下表：100次刀具故障記錄（已完成的零件數(shù)）45936262454250958443374881550561245243

2、4982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975549697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851試確定刀具的平均壽命，同時判斷該刀具出現(xiàn)故障時完成的零件數(shù)屬于何種分布?！緦?/p>

3、驗準備】在現(xiàn)代社會中，數(shù)據(jù)是事物現(xiàn)象的反映，是科學推斷的依據(jù)，起著至關(guān)重要的作用。由于各種隨機因素的影響，實驗數(shù)據(jù)往往帶有一定的誤差，這時需要從數(shù)據(jù)中分離出隨機因素的成分，從而挖掘出事物規(guī)律性的成分，以此對所研究總體的性質(zhì)作出推測性的判斷。進行這樣的分析建立在收集大量數(shù)據(jù)的基礎之上，稱為統(tǒng)計分析。1概率統(tǒng)計的基本概念總體是人們研究對象的全體，又稱為母體，而組成總體的每個單元叫做個體。任何一個總體都可以用一個隨機變量來描述它。所以，總體就是一個帶有確定概率分布的隨機變量，常用，等表示總體。一般情況下，總體的數(shù)目非常大，對于總體分布規(guī)律進行研究就必須對總體抽樣觀察，并分析推斷，這種研究過程稱為抽樣

4、。從總體中，隨機地抽取個個體，（例如在10000件燈管中抽取100件檢查次品數(shù)量），這樣取得的（，）稱為總體的一個樣本容量為的樣本或子樣。統(tǒng)計推斷就是根據(jù)樣本來對總體進行分析、推斷。通常的作法，依據(jù)某種理由或經(jīng)驗來假定總體服從已知形式的概率分布，只要由樣本來推斷總體概率分布中的若干參數(shù)。所以樣本的獲取會直接影響統(tǒng)計推斷的結(jié)果，理想的樣本是隨機、相互獨立且與總體同分布。抽取樣本后，我們并不直接利用樣本的個觀察值進行推斷，需要對這些值進行加工、提煉，把樣本中包含的對我們研究推斷有用的信息、特征找出來，這便要針對不同問題構(gòu)造樣本的某種函數(shù)，這種不帶未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量，幾個最基本的統(tǒng)計量是

5、：均值（平均值、數(shù)學期望）：，反映了樣本取值的中心；中位數(shù)：將樣本，從小到大排序后位于中間位置的那個數(shù)；標準差：，它是各個樣本數(shù)據(jù)對于均值的偏離程度；方差：標準差的平方；協(xié)方差：，樣本相關(guān)系數(shù)，反映了樣本，與樣本，的線性相關(guān)關(guān)系。若接近1，說兩樣本線性關(guān)系密切，若接近0說明兩樣本取值大小無線性關(guān)系。當足夠大時，樣本均值和樣本標準差結(jié)合起來可大致描述數(shù)據(jù)的分布結(jié)構(gòu)。統(tǒng)計量的概率分布稱為抽樣分布，最常用的概率分布形式有正態(tài)分布、指數(shù)分布、分布、分布、分布等。一個隨機變量的分位數(shù)定義為（），01（1）一組樣本數(shù)據(jù)往往是雜亂無章的，可以通過作頻數(shù)表和直方圖的方式，大致描繪出分布密度曲線，并對總體的分布

6、函數(shù)作出假設判斷。將數(shù)據(jù)的取值范圍劃分為若干個小區(qū)間，然后統(tǒng)計這組數(shù)據(jù)在每個區(qū)間中出現(xiàn)的次數(shù)，稱為頻數(shù)，由此得到一個頻數(shù)表。以數(shù)據(jù)的取舍為橫坐標，頻數(shù)為縱坐標，畫出一個階梯形的圖，稱為直方圖（頻數(shù)分布圖）。是否符合該假設的分布規(guī)律，我們通過對分布密度的參數(shù)估計的基礎上用假充檢驗來加以驗證。2統(tǒng)計推斷方法在統(tǒng)計推斷中，總體概率分布的某些參數(shù)未知，需要根據(jù)樣本，估計的值，稱為參數(shù)估計。參數(shù)估計分為兩類：點估計和區(qū)間估計。點估計就是直接給出的估計值，如“大約等于某個數(shù)”，點估計缺乏對估計精度的說明。區(qū)間估計給出的估計值區(qū)間，并附加一個概率，如“的95%置信區(qū)間是5.2，6.3”，含意是：在5.2，6

7、.3內(nèi)的概率為0.95。設有總體，其中參數(shù)未知，現(xiàn)有來自的一個樣本，要估計的值。如有區(qū)間，使得（）（2）稱為的100（1）%置信區(qū)間。設為正態(tài)總體，未知，為樣本，那么，的點估計分別為，（3）它們的100（1）%的置信區(qū)間分別為 （4） （5）許多統(tǒng)計推斷常涉及對假設、估計的正確性作出“是”與否的判決，例如產(chǎn)品是否合格，某數(shù)學模型是否與現(xiàn)實相符等等。對于總體分布函數(shù)中的參數(shù)作出某種假設或估計，根據(jù)抽取的樣本觀察值，運用數(shù)理統(tǒng)計的分析方法，檢驗這種假設或估計是否正確，從而決定接受假設或拒絕假設，這就是假設檢驗。假設檢驗依問題的性質(zhì)常分為兩大類型：參數(shù)檢驗：如果觀測的分布函數(shù)類型已知，這時構(gòu)造出的統(tǒng)

8、計量依賴于總體的分布函數(shù)，這種檢驗稱為參數(shù)檢驗，其目的往往是對總體的參數(shù)及有關(guān)性質(zhì)作出明確的判斷。非參數(shù)檢驗：如果所檢驗的假設并非是對某個參數(shù)作出明確的判斷，因而必須要求構(gòu)造出的檢驗統(tǒng)計量的分布函數(shù)不依賴觀測值的分布函數(shù)類型，這種檢驗叫做非參數(shù)檢驗。如果要判斷總體分布類型的檢驗就是非參數(shù)檢驗。假設檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)實際問題提出原假設與備擇假設，即說明需要檢驗的假設的具體內(nèi)容；（2）選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量，并在原假設成立的條件下確定該統(tǒng)計量的分布；（3）按問題的具體要求，選取適當?shù)娘@著水平，并根據(jù)統(tǒng)計量的分布查表，確定對應于的臨界值，一般取0.05，0.01，0.10。（4）根據(jù)樣本觀測值計算

9、統(tǒng)計量的觀測值，并與臨界值進行比較，從而在檢驗水平條件下對拒絕或接受原假設作出判斷。3MATLAB統(tǒng)計分析工具箱MATLAB統(tǒng)計工具箱中有20多種概率分布，常見的幾種分布的命令為：正態(tài)分布：norm分布：beta分布：F指數(shù)分布：exp分布：chi2分布：t泊松分布：poiss威布爾分布：weib工具箱對于每一種分布提供了五類函數(shù)，其命令字符分別為：概率密度：pdf概率分布：cdf逆概率分布：inv均值與方差：stat隨機數(shù)生成：rnd當需要一種分布的某一類函數(shù)時，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符連接起來，并輸入自變量（可以是標量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可。給出數(shù)組data的頻數(shù)表的命令為

10、： n , X = hist( data , k )；此命令將區(qū)間 min (data) , max (data) 分為k個小區(qū)間（缺省為10），返回數(shù)組data落在每一個小區(qū)間的頻數(shù)N和每一個小區(qū)間的中點X。參數(shù)估計采用下面命令形式： muhat , sigmahat , muci , sigmaci = normfit( X , alpha )在顯著性水平alpha下，求正態(tài)分布的數(shù)據(jù)X的點估計及其區(qū)間估計，返回值muhat是X均值的點估計，sigmahat是標準差的點估計，muci是均值的區(qū)間估計，sigmaci是標準差的區(qū)間估計； muhat, muci = expfit( x , a

11、lpha )在顯著性水平alpha下，求指數(shù)分布的數(shù)據(jù)X的均值的點估計及其區(qū)間估計； lambdahat , lambdaci = poissfit( X , alpha ) 在顯著性水平alpha下，求泊松分布的數(shù)據(jù)X的參數(shù)的點估計及其區(qū)間估計； phat , pci = betafit( x , alpha ) 在顯著性水平alpha下，求分布的數(shù)據(jù)X的參數(shù)和的點估計及其區(qū)間估計； phat , pci = weibfit( x , alpha ) 在顯著性水平alpha下，求weib分布的數(shù)據(jù)X的參數(shù)和的點估計及其區(qū)間估計；有關(guān)上述命令的詳細內(nèi)容可以查閱MATLAB幫助。在總體服從正態(tài)分

12、布的情況下，可以用以下命令進行假設檢驗： h , sig , ci,zval = ztest( x , m , sigma , alpha , tail )總體方差sigma2已知用z-檢驗； h , sig , ci = ttest( x , m , alpha , tail )總體方差sigma2未知t-檢驗； h , sig , ci = ttest2( x , y , alpha , tail )檢驗抽樣數(shù)據(jù)x，y的關(guān)于均值的某一假設是否成立以上兩個命令均是檢驗數(shù)據(jù)x的關(guān)于均值的某一假設是否成立，其中sigma為已知方差，alpha為顯著性水平，究竟檢驗什么取決于tail的取值；tai

13、l0，檢驗假設“x的均值等于m”；tail1，檢驗假設“x的均值大于m”；tail1，檢驗假設“x的均值小于m”；tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05；返回值h為一個布爾值，h1表示可以拒絕假設，h0表示不可以拒絕假設，sig為假設成立的概率，ci為均值的1alpha置信區(qū)間；查閱MATLAB幫助可以獲得上述命令更詳細的內(nèi)容。對于非參數(shù)檢驗，即對總體分布類型的判斷，MATLAB工具箱提供了兩個檢驗命令：h = normplot( x )此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的正態(tài)概率圖，如果數(shù)據(jù)是來自于正態(tài)分布，則圖形顯示出直線性形態(tài)，而其它概率分布函數(shù)顯示出曲線形態(tài)；h = weibplot(

14、x )此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的Weibull概率圖，如果數(shù)據(jù)是來自于Weibull分布，則圖形顯示出直線性形態(tài)，而其它概率分布函數(shù)顯示出曲線形態(tài)；有關(guān)上述命令的詳細內(nèi)容可以查閱MATLAB幫助。【實驗方法與步驟】1引例問題的分析求解由問題提供的100次刀具故障記錄，我們通過作直方圖來近似判斷刀具壽命所服從的概率分布，首先在MATLAB命令框中錄入數(shù)據(jù)： x1=459 362 624 542 509584433748815505; x2=612 452 434 982 640742565706593680; x3=926 653 164 487 7346084281153 593844; x4=5

15、27 552 513 781 474388824538862659; x5=775 859 755 49 697 515 628 954 771 609; x6=402 960 885 610 292837473677358638; x7=699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120; x8=447 654 564 339 280246687539790581; x9=621 724 531 512 577496468499544645; x10=764 558 378 765 666 763 217715310851; x=x1 x2 x3 x4 x5 x6

16、 x7 x8 x9 x10;接著用以上輸入數(shù)據(jù)作刀具壽命的頻數(shù)直方圖： hist(x,10)從圖12.1中我們可以看到，該刀具使用壽命近似服從正態(tài)分布（有關(guān)各類概率分布密度、函數(shù)的圖形大家可以查閱概率統(tǒng)計類書籍，這里不一一給出）圖12.1刀具壽命頻數(shù)直方圖對于近似推斷刀具總體壽命的概率分布形式，我們用MATLAB非參數(shù)檢驗命令來加以驗證其總體分布類型，以提供初步結(jié)論成立的更加可靠的依據(jù)： normplot(x)得到圖12.2，從圖12.2可以看到數(shù)據(jù)基本分布在一條直線上，由normplot命令的定義可初步確定刀具壽命為正態(tài)分布。圖12.2正態(tài)概率圖在基本確定所給刀具壽命數(shù)據(jù)的分布后，就可以估計

17、該分布的某些參數(shù)了： muhat,sigmahat,muci,sigmaci = normfit(x)muhat = 594，sigmahat = 204.130，muci =553.496，634.504，sigmaci =179.228，237.133估計出該刀具壽命的均值為594，方差204，均值0.95的置信區(qū)間為553.496，634.504，方差的0.95的置信區(qū)間為179.228，237.133。【結(jié)果分析】由上述過程我們可以推斷刀具壽命服從正態(tài)分布，在總體分布形式已知而方差未知的情形下，我們來檢驗前面所估計的參數(shù)是否可信： h,sig,ci = ttest(x,594)h =

18、0，sig = 1，ci =553.4962，634.5038；檢驗結(jié)果：布爾變量h = 0，表示不拒絕接受假設，說明提出的假設壽命均值為594是合理的；95%的置信區(qū)間為553.4962，634.5038，它完全包括594，且精度很高；sig = 1，遠遠超過0.5，不能拒絕假設。所以，可以確定刀具平均壽命為594?！揪毩暸c思考】1某外商聲稱，他提供給工廠的某種零件至少有95%是符合規(guī)范的?，F(xiàn)測試了300臺這種設備，發(fā)現(xiàn)有24臺是不符合規(guī)范規(guī)范的。在顯著性水平0.05，能否相信該外商的聲稱是真實的？2某廠生產(chǎn)的某種型號的電池，其壽命長期以來服從方差5000（小時）的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來年，壽命的波動性有所改變。現(xiàn)隨機抽取26只電池，測出其壽命的樣本方差9200（小時2），問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化（取0.02）？又若分別取0.05及0.