導數(shù)的概念、導數(shù)公式與應用

1、導數(shù)的概念及運算知識點一：函數(shù)的平均變化率（1）概念： 函數(shù)中，如果自變量在處有增量，那么函數(shù)值y也相應的有增量y=f(x0+x)-f(x0)，其比值叫做函數(shù)從到+x的平均變化率，即。若，則平均變化率可表示為，稱為函數(shù)從到的平均變化率。注意：事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，當取值越小，越能準確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。是自變量在處的改變量，；而是函數(shù)值的改變量，可以是0。函數(shù)的平均變化率是0，并不一定說明函數(shù)沒有變化，應取更小考慮。（2）平均變化率的幾何意義函數(shù)的平均變化率的幾何意義是表示連接函數(shù)圖像上兩

2、點割線的斜率。如圖所示，函數(shù)的平均變化率的幾何意義是：直線AB的斜率。事實上，。作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關曲線割線的斜率。知識點二：導數(shù)的概念： 1導數(shù)的定義： 對函數(shù)，在點處給自變量x以增量，函數(shù)y相應有增量。若極限存在，則此極限稱為在點處的導數(shù)，記作或，此時也稱在點處可導。即：（或）注意：增量可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)；導數(shù)的本質就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率。2導函數(shù)： 如果函數(shù)在開區(qū)間內的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數(shù)，從而構成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內的導函數(shù)，簡稱導數(shù)。注意：函數(shù)的導數(shù)與在點處的導數(shù)不是同一概

3、念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3導數(shù)幾何意義： （1）曲線的切線曲線上一點P(x0，y0)及其附近一點Q(x0+x,y0+y)，經(jīng)過點P、Q作曲線的割線PQ，其傾斜角為當點Q(x0+x,y0+y)沿曲線無限接近于點P(x0，y0)，即x0時，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點P處的切線。若切線的傾斜角為，則當x0時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。即：。(2)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點x0的導數(shù)是曲線上點（）處的切線的斜率。注意：若曲線在點處的導數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直。，切線與軸正向夾角為銳角；，切線與軸正向夾角為鈍角；,切線與軸平行。(3)曲線的

4、切線方程如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為：。4瞬時速度： 物體運動的速度等于位移與時間的比，而非勻速直線運動中這個比值是變化的，如何了解非勻速直線運動中每一時刻的運動快慢程度，我們采用瞬時速度這一概念。如果物體的運動規(guī)律滿足s=s(t)(位移公式)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體t到t+t這段時間內，當t0時平均速度的極限，即。如果把函數(shù)看作是物體的位移公式），導數(shù)表示運動物體在時刻的瞬時速度。規(guī)律方法指導1如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：作差：求出和作商：對所求得的差作商，即。注意：（1），式子中、的值可正、可負，但的值不能為零，的值可以為零。若函

5、數(shù)為常數(shù)函數(shù)時，。（2）在式子中，與是相對應的“增量”，即在時，。（3）在式子中，當取定值，取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率不同；當取定值，取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率也不一樣。2如何求函數(shù)在一點處的導數(shù)（1）利用導數(shù)定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)，通常用“三步法”。 計算函數(shù)的增量：； 求平均變化率：； 取極限得導數(shù)：。（2）利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求初等函數(shù)的導數(shù)。3導數(shù)的幾何意義設函數(shù)在點的導數(shù)是，則表示曲線在點（）處的切線的斜率。設是位移關于時間的函數(shù)，則表示物體在時刻的瞬時速度；設是速度關于時間的函數(shù)，則表示物體在時刻的加速度；4利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟求出在處的導數(shù)

6、；利用直線方程的點斜式得切線方程為。類型一：求函數(shù)的平均變化率1、求在到之間的平均變化率，并求，時平均變化率的值. 思路點撥：求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式進行操作.舉一反三：【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2，2+內的平均變化率。【變式2】已知函數(shù)，分別計算在下列區(qū)間上的平均變化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 【變式3】自由落體運動的運動方程為，計算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段內的平均速度（位移s的單位為m）。【變式4】過曲線上兩點和作曲線的割線，求出當時割線的斜率.類型二：利用定義求導數(shù)2、用導數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處

7、的導數(shù)。舉一反三：【變式1】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在x=4處的導數(shù).（2）求曲線上一點處的切線方程。【變式2】利用導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）。3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程. 思路點撥：從函數(shù)在一點處的導數(shù)定義可求得函數(shù)y=x3+2x在x=1處的導數(shù)值，再由導數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率，將x=1代入函數(shù)可得切點坐標，從而建立切線方程.舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點的切線：（1）平行于直線y=4x5；（2）垂直于直線2x6y+5=0；（3）與x軸成135的傾斜角。知識點三：常見基本函數(shù)的導數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），

8、（3），（4），（5），（6），（7），（8），知識點四：函數(shù)四則運算求導法則設，均可導（1）和差的導數(shù)：（2）積的導數(shù)：（3）商的導數(shù)：（）知識點五：復合函數(shù)的求導法則或即復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)。注意：選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導，不遺漏。求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數(shù)。規(guī)律方法指導1求復合函數(shù)的導數(shù)的一般步驟適當選定中間變量，正確分解復合關系；分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）；把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。整個過程可簡記為分解求導回代，熟練以后，可以省略中間

9、過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。類型一：利用公式及運算法則求導數(shù)1、求下列函數(shù)的導數(shù)： （1）； （2） （3）； （4）y=2x33x2+5x4 舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2） （3）y=6x34x2+9x6 2、求下列各函數(shù)的導函數(shù)（1）； （2）y=x2sinx; （3）y=； （4）y=舉一反三：【變式1】函數(shù)在處的導數(shù)等于( )A1 B2 C3 D4【變式2】下列函數(shù)的導數(shù)（1）； （2）【變式3】求下列函數(shù)的導數(shù).（1）； （2）； （3）.類型四：復合函數(shù)的求導3、求下列函數(shù)導數(shù). （1）； （2）；（3）； （4）.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2）（3）y=ln（x）； （4） 類型五：求曲線的切線方程4、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.舉一反三：【變式1】求曲線在點處的切線的斜率，并寫出切線方程.【變式2】已知，是曲線上的兩點，則與直線平行的曲線的切線方程是_.【變式3】已知曲線.（1）求曲線上橫坐標為1的點處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點？【變式4】如果曲線的某一