定積分的幾何應(yīng)用（2）體積ppt課件

1、二、體積,Volumes,1. 已知平行截面面積求立體的體積,設(shè)有位于區(qū)間a, b 上的一立體,已知立體的垂直于 x 軸的截面的面積為 A(x,求立體的體積 V,用微元法求體積微元 dV,立體的體積,切片法 Section method,例 9,另解,自學(xué),2. 旋轉(zhuǎn)體的體積,由 y = f(x), y = 0, x = a, x = b 所圍成的圖形,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體,求旋轉(zhuǎn)體的體積 Vx,用切片法,x 處的切片為一圓片,半徑：y = f(x,旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體的體積,體積微元為一圓片,故此法稱為圓片法 Disk method,高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊165頁,由 x=f(y), x

2、=0, y=c, y=d 所圍成的圖形,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體,求旋轉(zhuǎn)體的體積 Vy,旋轉(zhuǎn)體的體積,體積微元為一圓片,由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體,求旋轉(zhuǎn)體的體積 Vx,旋轉(zhuǎn)體的體積 Vx,體積微元為,故此法稱為墊圈法 Washer method,形如一墊圈,高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊166頁,墊圈法Washer Method,/faculty/demos/washermethod,例 7,求橢圓所圍成的平面圖形分別繞 x 軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積,解,解,只需求第一象

3、限部分繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，再乘以 2,同理，由對稱性,當(dāng) a=bR 時，得球體體積,課內(nèi)練習(xí),求以下兩曲線所圍成的平面圖形分別繞 x 軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積,解,作圖,with(plots): quxian:=plot(x,x3,x=-2.2,y=-,thickness=4,color=red,blue): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained,with(plots): quxian:=plot(x,-x,x3,-x3,x=-1.1,y=-,thickness=4,colo

4、r=red,red,blue,blue): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained,例,圓環(huán)體的體積,Torus,p.281, 題 16,繞 x 軸,柱殼法 (Shell Method,/faculty/demos/shellmethod,p.281 19題,選學(xué),高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊167頁,換一種方法求體積微元,柱殼,柱殼半徑,柱殼的高 度,柱殼的厚 度,高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊167頁,例,求,與 x 軸所圍成的圖形分別繞 x 軸和 y 軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積,with(plots): f:=plot

5、(sin(x),x=0.Pi,thickness=3): f1:=plot(sin(x),x=0.Pi,filled=true,color=grey): display(f,f1,tickmarks=0,0,scaling=constrained,高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊167頁，例 6.2.2,with(plots): f:=plot(sin(x),x=0.Pi,thickness=3): g:=plot(-sin(x),x=0.Pi,thickness=3): f1:=plot(sin(x),x=0.Pi,filled=true,color=grey): g1:=plot(-sin(x),x=0.

6、Pi,filled=true,color=grey): display(f,f1,g,g1,tickmarks=0,0,scaling=constrained,with(plots): qumian:=plot3d(x,sin(x)*cos(t),sin(x)*sin(t),x=0.Pi,t=0.2*Pi): display(qumian,scaling=constrained,with(plots): qumian:=plot3d(y*cos(t),y*sin(t),sin(y),y=0.Pi,t=0.2*Pi): display(qumian,scaling=constrained,with(plots): f:=plot(sin(x),x=0.Pi,thickness=3): f1:=plot(sin(x),