無(wú)窮級(jí)數(shù)復(fù)習(xí)講義36289

1、 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù)考試內(nèi)容 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 收斂級(jí)數(shù)的和的概念 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級(jí)數(shù)與 級(jí)數(shù)及其收斂性 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法 交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念 冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù) 狄利克雷（Dirichlet）定理 函數(shù)在 上的傅里葉級(jí)數(shù) 函數(shù)在 上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 考試要求 1理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，

2、掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2掌握幾何級(jí)數(shù)與 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。 4掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。 5。 了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。 6了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。 8了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。 9了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。 arctanxxcos)ln(1?xxsi

3、n的麥克勞林（Maclaurin 10掌握 ，）展開(kāi)式，會(huì)用及它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。 11了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在 上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在 上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式。 一.無(wú)窮級(jí)數(shù)概論 1.無(wú)窮級(jí)數(shù)定義?.?.?a?aa?aa.為無(wú)窮級(jí)數(shù)為一個(gè)數(shù)列，稱設(shè) 321nn1n? ?a只是一種形式上的記法.只有討論了收斂性，才有意義：注記1但.nn?1 2.無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的定義 部分和、部分和數(shù)列的定義(1) 1 n?aaS?.前項(xiàng)和對(duì)任意，稱數(shù)列的部分和為級(jí)數(shù)aN?nnknkn1?1kk ?a的部分和數(shù)列.

4、為級(jí)數(shù)稱數(shù)列 Skn1k?(2)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的定義 ?aa是收斂的，并且記是收斂的，則稱級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列若級(jí)數(shù)Skknk?1k?1 ?limaS. nkn?1?k3. 無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)(1) 無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的必要條件I?aS有界若無(wú)窮級(jí)數(shù).反之不然收斂，則其部分和數(shù)列. nnn?1 ?aSSS但收斂，因此，其部分和數(shù)列由于于是，.有界收斂，事實(shí)上，nnnnn?1n?1?1)?1?(1n?S1?SS，部分和數(shù)列為有界，.例如，級(jí)數(shù)卻未必收斂 nnn21n?n?1?1?不收斂. 有界，但1n?1?不收斂. 例1. n1?n事實(shí)上， 1111S?1?.? n234n111111111111? ?1?

5、.?.? ?nn1loglognloglogn?2345678n2?122?12?1?2222?logn?1111141222?)?(n?.1?.? ?1?1nlog? ?2nlog222224822?1?S 不收斂，即.不收斂于是， nn1n? 2 (2)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的必要條件II ?a .若收斂，則 0?limann?n1?n?a，于是，部分和為事實(shí)上，假設(shè)，則收斂，記SSSlimS?nnnnn?1n? ?limS?limS?S?S?lima?lim0S?S. 1?nnnnn?1?n?n?n?n?11?不收斂.例如，雖然，但無(wú)窮級(jí)數(shù) 但反之結(jié)論不成立0?lim nn?n1?n (3)無(wú)窮級(jí)

6、數(shù)收斂的必要條件III ?a收斂，則對(duì)其任意加括號(hào)都收斂，而且級(jí)數(shù)和不變 若無(wú)窮級(jí)數(shù). nn?1 假設(shè)加括號(hào)后的級(jí)數(shù)寫為 ?aa?a.?.?a?.a?a?a.?a?a?a.?a?aii12?1ii?i1i2i?2?i1i2i?n31?12112n?21n1?n?aSS?S0i?則其部分和為收斂，于是，由于這里，收斂，于是，其.nin0nn1?n?a?a?a.?S的一樣，即級(jí)數(shù)任意子列收斂，且收斂值與Siii?1?2innnn?1?1n1n?a?a.?a?a? .收斂，且n2i?1i?inn?11n?1n?1n?(4)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件I ?aSS) 無(wú)窮級(jí)數(shù)(收斂當(dāng)且僅當(dāng)且或收斂. 0

7、?limann1n2n?2n?1?n ?a收斂當(dāng)且僅.至于充分性，我們利用了這樣一個(gè)事實(shí)：數(shù)列必要性是顯然的n?a?SS?S0?n?aalim?lima，當(dāng)而而.現(xiàn)在，收斂了，nn2?122n122nn?nn22n?n?SSSlim?limS收斂，也是同理的若也收斂故.于是，n221?n12n?nn?n? 3 (5)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件II ?aaa?.收斂收斂當(dāng)且僅當(dāng)且 無(wú)窮級(jí)數(shù)0a?limn1n22n?nn?n?1?1n ?aa?也可以.或者說(shuō) 1?2n2n1n?a?a收斂，則其部分和數(shù)列 必要性是顯然的.至于充分性，若n122n?1n? nn?SSa?a?是收斂的，但，因此，收斂.

8、又lim?0aa?a?n2k?1k22nn2k22k?1n?1?k1k?a?aa收斂，若則其部分和數(shù)列收斂.因此，由(4)的結(jié)論，無(wú)窮級(jí)數(shù)1n2nn?2n?1n?1 n1?n2n?Sa?a?S?a?aa，因此，也收斂.又也a?a?112k?1n2k?12k1?2n1?22kk?1k?k?11?k?a收斂. 又由于，因此，由(4)，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂.0lima?nn?n1?n4.無(wú)窮級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) ?baa?b 也收斂，且和收斂，則(1)若無(wú)窮級(jí)數(shù)nnnn1?1n?n1?n?baa?b? .nnnn11nn?1?n?ba?abBA部分和為的部分和為的部分和為， ，事實(shí)上，假設(shè)nnnnnn1?n1?n

9、1n?aBA?CC?limAlimBlimC于是，由于.，存在收斂，因此，則顯然有.nnnnnnnnn?n?n?1?n?baba?abB?ClimAlimlim.且且即收斂，存在，nnnnnnnnn?n?n?n1?1n?n?1n1n? ?acaaca?ca.收斂，且若則，(2)設(shè)常數(shù)收斂性與則相同，0?cnnnnnn?1n?1n?1n?1n?1 4 二.正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義 每一項(xiàng)都非負(fù)的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)其部分和數(shù)列有界.?a有界，這是容易知道收斂，則其部分和事實(shí)上，若收斂，因此，SSnnn1?n?有極限，S有界，則是一個(gè)單調(diào)不減的數(shù)列

10、，如果S的。另一方面，Snnn?a 即是收斂的。n1n? 3.比較判別法及其極限形式 (1)比較判別法 ?ab都是正項(xiàng)級(jí)數(shù).假設(shè)存在一個(gè)正常數(shù)，以及正整數(shù)，使得設(shè)cNnnn?1n?1?ab 收斂，則收斂，總有當(dāng).若.cba?N?nnnnn1?n1n?abBA，則對(duì)任意，的部分和為事實(shí)上，我們假設(shè)，的部分和為Nn?nnnnn?1n?1 NnNnNNNNNn?cBcbcb?a?cb?aa?cb?cbA?a?a?nkknkkkkkkkk?1?111k?k?1kk111k?k?N?1k?k?N?1k?k?N?aABb收斂.若有界。于是，有界，于是，收斂，則nnnnn?11n? (2)比較判別法的極限形

11、式 ?a?nllim?aabb收斂，則.和當(dāng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 設(shè).如果，若 0l? nnnnb?nn?1n?1n?1n?1n?aab收斂，則.，則當(dāng)收斂.當(dāng)與，若的斂散性相同?l?0l?nnnn?1n?11n? 5 ?收斂. bn1n?an?1a?b.由比較判別事實(shí)上，若，存在一個(gè)，當(dāng)，即，有NnN?0l?0? nnbn?a收斂.若，則存在一個(gè)法，若，使得當(dāng)收斂，則，bNn?00?l?Nnnn?11n?a1313?nl?l?收斂.收斂，由比較判別法，若.，即若由ablba?lb? nnnnn2b222n?1n?1n?b?n0?limaa收斂，.則由收斂，由比較判別法，收斂.若，則b?l? nnna?

12、n11n?n?1n?n?b收斂. n1n? 4.比值判別法及其極限形式?a?1n?r?a為正項(xiàng)級(jí)數(shù).若存在一個(gè)和，使得當(dāng)，有(1)假設(shè)N?1nN?0?0?r nan?1n?a?1n?r?aa收斂.若存在一個(gè)和則，使得當(dāng)發(fā)散.則，有N?0nN?1r? nnan?1n?1n 事實(shí)上，若，當(dāng)，有 1?n?0?r?1N?3kn?22N?1ar?ra.?r?a.?a?rarrra?r?ar?aNn?k1?3?n2n3nnn?1?n2 ?1Nn?ar.是收斂的.由比較判別法，級(jí)數(shù)由于，因此，級(jí)數(shù)收斂1?0?rn1n?1?n ?1?n?N1?Nnara?r，因此，級(jí)數(shù)，當(dāng)若.由于，類似地，有1N?n?1?1

13、r?r1nN?1?n?a是發(fā)散的. 是發(fā)散的.由比較判別法，級(jí)數(shù)n1n?(2)比較判別法的極限形式 ?a?1n?lim?laaa假設(shè).則，若.則，收斂.若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)設(shè)1?l1l nnna?nn?1n?1n?1n 6 ，此法失效.散.若1?l1l?，則存在一個(gè)事實(shí)上，若，任取，當(dāng)(例如)?N?1nl?0?1?Nl? 2?a?1?n有(任取.由于例如，由比值判別法，收斂.若?a1l1l1?0? na1n?n?a1l?1?n1?有，有，則存在一個(gè)，當(dāng).由比值判別法，)a?Nn?N?0 na21?nn?a11?1n?，則若，取，但級(jí)數(shù)發(fā)散.又取，則發(fā)散.lim1?a?aa?1l? nnn2ann?n

14、?1?nna111111111n?lim1?，而發(fā)散.但1n? 22an?1)n1nn(n?nn(n?1)n?1n?nn n?1111?1?1?.，因此，是收斂的.這說(shuō)明當(dāng)，此法失效了1l? 2nkk?1n?2k?1?k .這不難從證明過(guò)程中看出備注：比較判別法及其極限形式也適用于任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 這時(shí)候，表述應(yīng)該相應(yīng)敘述如下：a?1?nlim?laa).它還絕對(duì)收斂收斂滿足(則事實(shí)上，.若 假設(shè)數(shù)列1?lnna?n1n?n ?a ，此法失效若，則.若發(fā)散.1?l1l?n1?na?1n? lim?l?1a事實(shí)上，若，按照正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，級(jí)數(shù)是收斂的，na?n1?nnaa?a?aaaa?a?nn

15、nnnnnn ?,0a于是，收斂由于與，因此，級(jí)數(shù).n22221?1nn? ?a?aa?a?nnnn?a? 收斂.?n22?1?1nna?1?n?這樣，當(dāng)，對(duì)任意若，總有常數(shù)，使得當(dāng)，有.NN?0?l?11?l?nan1?2Nn? ?.aaa?a.，有這樣，于是，0?aN?n11nn?nN?2n 7 ?a 級(jí)數(shù)是發(fā)散的.n1?n若，道理同上. 1l? 型7。1 判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性n111?n?(?1)(lim?1?)0u?，則級(jí)數(shù)，且（02,3）設(shè)1 。 nuuu?n?n?n1n (A)發(fā)散； (B)絕對(duì)收斂； 收斂性不能判定 (D)(C)條件收斂； ?a為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 （0

16、4,4）設(shè)2。n1?n?analim收斂。 若=0，則級(jí)數(shù) (A) nn?n?1n?a?limna發(fā)散。（B） 若存在非零常數(shù)，則級(jí)數(shù)，使得nn?n1?n ?20a?limna 收斂，則若級(jí)數(shù) 。 (C) nn?n1?n?a收斂，則級(jí)數(shù)（06,4）若級(jí)數(shù) 3。n1n?n a?(a1)收斂。B（A） ） （收斂。 nn1nn?1? ?a?a?1?nnaa收斂。）收斂。 ）（ D（C 1n?n2n?11?n ?b,alima?0，則 。（09,4）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若4nnn?n?baabbb發(fā)）當(dāng)發(fā)散時(shí)， 收斂。 （）當(dāng)（AB收斂時(shí)，nnnnnn1n?n1?1?1n?n 散。 ?2222 bbaab

17、b發(fā)散。發(fā)散時(shí)， 收斂時(shí)， (C)當(dāng)收斂。 (D)當(dāng)nnnnnn1n?1?n1?nn?1 8 題型7。2 證明數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 5。 3 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及收斂域題型7。?n?2x?a4?0x?x?數(shù)則冪級(jí)在處發(fā)散處收6。（08,4）已知冪級(jí)數(shù)斂，在，n0n?n?3xa?。 的收斂域?yàn)閚 0n? 題型7。4 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)3n?x?x?)y(x?x?yy?e?y；滿足微分方程（） （02,7）驗(yàn)證函數(shù)7。 (3n)!0n? 3n?x?)(xy的和函數(shù) 求冪級(jí)數(shù) )!n(30?n?1?21nn?x(?1)1?)的收斂區(qū)間與和函數(shù)）求冪級(jí)數(shù)05,12f(x)8。（ n(2n?1)1?n ?nxa(?,?)內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(在x9。（07,10）設(shè)冪級(jí)數(shù))滿足 n0n?(0)?1.?0,y4y?0,yy2?xy(0)? 2a,n?a?1,2,; 證明：(I) n2n?1n?(II)求y(x)的表達(dá)式。 n?1?1)?(?n2x）求冪級(jí)數(shù)10,10。（的收斂域及和函數(shù)。 10 2n?11n?題型7。5 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 ?1?nn,2,.?x1ny?ax?y所圍成區(qū)域的面積，記為曲線911。（09，）設(shè)與n ?a,S?S?aSS 與的值。，求122n1n?121n?n?1 題型7。6 求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式2?