無窮級數(shù)復(fù)習(xí)講義36289

1、 第七章 無窮級數(shù)考試內(nèi)容 常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級數(shù)與 級數(shù)及其收斂性 正項級數(shù)收斂性的判別法 交錯級數(shù)與萊布尼茨定理 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念 冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域 冪級數(shù)的和函數(shù) 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級數(shù) 狄利克雷（Dirichlet）定理 函數(shù)在 上的傅里葉級數(shù) 函數(shù)在 上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 考試要求 1理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，

2、掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2掌握幾何級數(shù)與 級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。 4掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。 5。 了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系。 6了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。 8了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。 9了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。 arctanxxcos)ln(1?xxsi

3、n的麥克勞林（Maclaurin 10掌握 ，）展開式，會用及它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。 11了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在 上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在 上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式。 一.無窮級數(shù)概論 1.無窮級數(shù)定義?.?.?a?aa?aa.為無窮級數(shù)為一個數(shù)列，稱設(shè) 321nn1n? ?a只是一種形式上的記法.只有討論了收斂性，才有意義：注記1但.nn?1 2.無窮級數(shù)收斂的定義 部分和、部分和數(shù)列的定義(1) 1 n?aaS?.前項和對任意，稱數(shù)列的部分和為級數(shù)aN?nnknkn1?1kk ?a的部分和數(shù)列.

4、為級數(shù)稱數(shù)列 Skn1k?(2)無窮級數(shù)收斂的定義 ?aa是收斂的，并且記是收斂的，則稱級數(shù)的部分和數(shù)列若級數(shù)Skknk?1k?1 ?limaS. nkn?1?k3. 無窮級數(shù)收斂的性質(zhì)(1) 無窮級數(shù)收斂的必要條件I?aS有界若無窮級數(shù).反之不然收斂，則其部分和數(shù)列. nnn?1 ?aSSS但收斂，因此，其部分和數(shù)列由于于是，.有界收斂，事實上，nnnnn?1n?1?1)?1?(1n?S1?SS，部分和數(shù)列為有界，.例如，級數(shù)卻未必收斂 nnn21n?n?1?1?不收斂. 有界，但1n?1?不收斂. 例1. n1?n事實上， 1111S?1?.? n234n111111111111? ?1?

5、.?.? ?nn1loglognloglogn?2345678n2?122?12?1?2222?logn?1111141222?)?(n?.1?.? ?1?1nlog? ?2nlog222224822?1?S 不收斂，即.不收斂于是， nn1n? 2 (2)無窮級數(shù)收斂的必要條件II ?a .若收斂，則 0?limann?n1?n?a，于是，部分和為事實上，假設(shè)，則收斂，記SSSlimS?nnnnn?1n? ?limS?limS?S?S?lima?lim0S?S. 1?nnnnn?1?n?n?n?n?11?不收斂.例如，雖然，但無窮級數(shù) 但反之結(jié)論不成立0?lim nn?n1?n (3)無窮級

6、數(shù)收斂的必要條件III ?a收斂，則對其任意加括號都收斂，而且級數(shù)和不變 若無窮級數(shù). nn?1 假設(shè)加括號后的級數(shù)寫為 ?aa?a.?.?a?.a?a?a.?a?a?a.?a?aii12?1ii?i1i2i?2?i1i2i?n31?12112n?21n1?n?aSS?S0i?則其部分和為收斂，于是，由于這里，收斂，于是，其.nin0nn1?n?a?a?a.?S的一樣，即級數(shù)任意子列收斂，且收斂值與Siii?1?2innnn?1?1n1n?a?a.?a?a? .收斂，且n2i?1i?inn?11n?1n?1n?(4)無窮級數(shù)收斂的充分必要條件I ?aSS) 無窮級數(shù)(收斂當(dāng)且僅當(dāng)且或收斂. 0

7、?limann1n2n?2n?1?n ?a收斂當(dāng)且僅.至于充分性，我們利用了這樣一個事實：數(shù)列必要性是顯然的n?a?SS?S0?n?aalim?lima，當(dāng)而而.現(xiàn)在，收斂了，nn2?122n122nn?nn22n?n?SSSlim?limS收斂，也是同理的若也收斂故.于是，n221?n12n?nn?n? 3 (5)無窮級數(shù)收斂的充分必要條件II ?aaa?.收斂收斂當(dāng)且僅當(dāng)且 無窮級數(shù)0a?limn1n22n?nn?n?1?1n ?aa?也可以.或者說 1?2n2n1n?a?a收斂，則其部分和數(shù)列 必要性是顯然的.至于充分性，若n122n?1n? nn?SSa?a?是收斂的，但，因此，收斂.

8、又lim?0aa?a?n2k?1k22nn2k22k?1n?1?k1k?a?aa收斂，若則其部分和數(shù)列收斂.因此，由(4)的結(jié)論，無窮級數(shù)1n2nn?2n?1n?1 n1?n2n?Sa?a?S?a?aa，因此，也收斂.又也a?a?112k?1n2k?12k1?2n1?22kk?1k?k?11?k?a收斂. 又由于，因此，由(4)，無窮級數(shù)收斂.0lima?nn?n1?n4.無窮級數(shù)的運算性質(zhì) ?baa?b 也收斂，且和收斂，則(1)若無窮級數(shù)nnnn1?1n?n1?n?baa?b? .nnnn11nn?1?n?ba?abBA部分和為的部分和為的部分和為， ，事實上，假設(shè)nnnnnn1?n1?n

9、1n?aBA?CC?limAlimBlimC于是，由于.，存在收斂，因此，則顯然有.nnnnnnnnn?n?n?1?n?baba?abB?ClimAlimlim.且且即收斂，存在，nnnnnnnnn?n?n?n1?1n?n?1n1n? ?acaaca?ca.收斂，且若則，(2)設(shè)常數(shù)收斂性與則相同，0?cnnnnnn?1n?1n?1n?1n?1 4 二.正項級數(shù) 1.正項級數(shù)的定義 每一項都非負(fù)的級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的基本定理 正項級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)其部分和數(shù)列有界.?a有界，這是容易知道收斂，則其部分和事實上，若收斂，因此，SSnnn1?n?有極限，S有界，則是一個單調(diào)不減的數(shù)列

10、，如果S的。另一方面，Snnn?a 即是收斂的。n1n? 3.比較判別法及其極限形式 (1)比較判別法 ?ab都是正項級數(shù).假設(shè)存在一個正常數(shù)，以及正整數(shù)，使得設(shè)cNnnn?1n?1?ab 收斂，則收斂，總有當(dāng).若.cba?N?nnnnn1?n1n?abBA，則對任意，的部分和為事實上，我們假設(shè)，的部分和為Nn?nnnnn?1n?1 NnNnNNNNNn?cBcbcb?a?cb?aa?cb?cbA?a?a?nkknkkkkkkkk?1?111k?k?1kk111k?k?N?1k?k?N?1k?k?N?aABb收斂.若有界。于是，有界，于是，收斂，則nnnnn?11n? (2)比較判別法的極限形

11、式 ?a?nllim?aabb收斂，則.和當(dāng)為正項級數(shù) 設(shè).如果，若 0l? nnnnb?nn?1n?1n?1n?1n?aab收斂，則.，則當(dāng)收斂.當(dāng)與，若的斂散性相同?l?0l?nnnn?1n?11n? 5 ?收斂. bn1n?an?1a?b.由比較判別事實上，若，存在一個，當(dāng)，即，有NnN?0l?0? nnbn?a收斂.若，則存在一個法，若，使得當(dāng)收斂，則，bNn?00?l?Nnnn?11n?a1313?nl?l?收斂.收斂，由比較判別法，若.，即若由ablba?lb? nnnnn2b222n?1n?1n?b?n0?limaa收斂，.則由收斂，由比較判別法，收斂.若，則b?l? nnna?

12、n11n?n?1n?n?b收斂. n1n? 4.比值判別法及其極限形式?a?1n?r?a為正項級數(shù).若存在一個和，使得當(dāng)，有(1)假設(shè)N?1nN?0?0?r nan?1n?a?1n?r?aa收斂.若存在一個和則，使得當(dāng)發(fā)散.則，有N?0nN?1r? nnan?1n?1n 事實上，若，當(dāng)，有 1?n?0?r?1N?3kn?22N?1ar?ra.?r?a.?a?rarrra?r?ar?aNn?k1?3?n2n3nnn?1?n2 ?1Nn?ar.是收斂的.由比較判別法，級數(shù)由于，因此，級數(shù)收斂1?0?rn1n?1?n ?1?n?N1?Nnara?r，因此，級數(shù)，當(dāng)若.由于，類似地，有1N?n?1?1

13、r?r1nN?1?n?a是發(fā)散的. 是發(fā)散的.由比較判別法，級數(shù)n1n?(2)比較判別法的極限形式 ?a?1n?lim?laaa假設(shè).則，若.則，收斂.若為正項級數(shù)發(fā)設(shè)1?l1l nnna?nn?1n?1n?1n 6 ，此法失效.散.若1?l1l?，則存在一個事實上，若，任取，當(dāng)(例如)?N?1nl?0?1?Nl? 2?a?1?n有(任取.由于例如，由比值判別法，收斂.若?a1l1l1?0? na1n?n?a1l?1?n1?有，有，則存在一個，當(dāng).由比值判別法，)a?Nn?N?0 na21?nn?a11?1n?，則若，取，但級數(shù)發(fā)散.又取，則發(fā)散.lim1?a?aa?1l? nnn2ann?n

14、?1?nna111111111n?lim1?，而發(fā)散.但1n? 22an?1)n1nn(n?nn(n?1)n?1n?nn n?1111?1?1?.，因此，是收斂的.這說明當(dāng)，此法失效了1l? 2nkk?1n?2k?1?k .這不難從證明過程中看出備注：比較判別法及其極限形式也適用于任意項級數(shù) 這時候，表述應(yīng)該相應(yīng)敘述如下：a?1?nlim?laa).它還絕對收斂收斂滿足(則事實上，.若 假設(shè)數(shù)列1?lnna?n1n?n ?a ，此法失效若，則.若發(fā)散.1?l1l?n1?na?1n? lim?l?1a事實上，若，按照正項級數(shù)的比較判別法，級數(shù)是收斂的，na?n1?nnaa?a?aaaa?a?nn

15、nnnnnn ?,0a于是，收斂由于與，因此，級數(shù).n22221?1nn? ?a?aa?a?nnnn?a? 收斂.?n22?1?1nna?1?n?這樣，當(dāng)，對任意若，總有常數(shù)，使得當(dāng)，有.NN?0?l?11?l?nan1?2Nn? ?.aaa?a.，有這樣，于是，0?aN?n11nn?nN?2n 7 ?a 級數(shù)是發(fā)散的.n1?n若，道理同上. 1l? 型7。1 判定數(shù)項級數(shù)的斂散性n111?n?(?1)(lim?1?)0u?，則級數(shù)，且（02,3）設(shè)1 。 nuuu?n?n?n1n (A)發(fā)散； (B)絕對收斂； 收斂性不能判定 (D)(C)條件收斂； ?a為正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 （0

16、4,4）設(shè)2。n1?n?analim收斂。 若=0，則級數(shù) (A) nn?n?1n?a?limna發(fā)散。（B） 若存在非零常數(shù)，則級數(shù)，使得nn?n1?n ?20a?limna 收斂，則若級數(shù) 。 (C) nn?n1?n?a收斂，則級數(shù)（06,4）若級數(shù) 3。n1n?n a?(a1)收斂。B（A） ） （收斂。 nn1nn?1? ?a?a?1?nnaa收斂。）收斂。 ）（ D（C 1n?n2n?11?n ?b,alima?0，則 。（09,4）設(shè)有兩個數(shù)列，若4nnn?n?baabbb發(fā)）當(dāng)發(fā)散時， 收斂。 （）當(dāng)（AB收斂時，nnnnnn1n?n1?1?1n?n 散。 ?2222 bbaab

17、b發(fā)散。發(fā)散時， 收斂時， (C)當(dāng)收斂。 (D)當(dāng)nnnnnn1n?1?n1?nn?1 8 題型7。2 證明數(shù)項級數(shù)的斂散性 5。 3 求冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及收斂域題型7。?n?2x?a4?0x?x?數(shù)則冪級在處發(fā)散處收6。（08,4）已知冪級數(shù)斂，在，n0n?n?3xa?。 的收斂域為n 0n? 題型7。4 求冪級數(shù)的和函數(shù)3n?x?x?)y(x?x?yy?e?y；滿足微分方程（） （02,7）驗證函數(shù)7。 (3n)!0n? 3n?x?)(xy的和函數(shù) 求冪級數(shù) )!n(30?n?1?21nn?x(?1)1?)的收斂區(qū)間與和函數(shù)）求冪級數(shù)05,12f(x)8。（ n(2n?1)1?n ?nxa(?,?)內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(在x9。（07,10）設(shè)冪級數(shù))滿足 n0n?(0)?1.?0,y4y?0,yy2?xy(0)? 2a,n?a?1,2,; 證明：(I) n2n?1n?(II)求y(x)的表達(dá)式。 n?1?1)?(?n2x）求冪級數(shù)10,10。（的收斂域及和函數(shù)。 10 2n?11n?題型7。5 求數(shù)項級數(shù)的和 ?1?nn,2,.?x1ny?ax?y所圍成區(qū)域的面積，記為曲線911。（09，）設(shè)與n ?a,S?S?aSS 與的值。，求122n1n?121n?n?1 題型7。6 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式2?