八整式的乘除講義-整章

1、 一 整式的乘除 一、同底數冪的乘法1同底數冪的乘法法則同底數冪相乘，底數不變，指數相加。即：（m，n都是正整數）。這個公式的特點是：左邊是兩個或兩個以上的同底數冪相乘，右邊是一個冪，指數相加。注意：（1）同底數冪的乘法中，首先要找出相同的底數，運算時，底數不變，直接把指數相加，所得的和作為積的指數.（2） 在進行同底數冪的乘法運算時，如果底數不同，先設法將其轉化為相同的底數，再按法則進行計算.公式拓展：= 。【典型例題】例1：計算：（1）； （2）； （3）例2：計算：（1） （2）（3） （4）總結 例3、計算： 例4：已知，用含m的代數式表示?！咀兪骄毩暋?(1) 2(-3) (2) (

2、-)23 (3) 2(-)2(-)3 (4) (-2)(-)2(-3)(-)3(5) (6)x4m x4+m(-x)(7) x6(-x)5-(-x)8 (-x)3 (8) -3(-)4(-)52 逆用同底數冪的法則逆用法則為：（m、n都是正整數）【典型例題】1（1）已知xm=3，xn=5，求xm+n。 （2）：已知xm=3，xn=5，求x2m+n；（3）：已知xm=3，x2m+n=36，求xn?！咀兪骄毩暋?、已知， ，試求的值。2、已知，則，3、若為正整數，且求的值。二冪的乘方（重點）冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如是三個相乘，讀作a的五次冪的三次方。冪的乘方法則：冪的乘方，底數不變，指數相

3、乘。即（m，n都是正整數）?！镜湫屠}】例1、填空：例2、計算： 例3、已知則例4、例5、，則，例6、將化成指數相同的冪的形式，并比較它們的大小。 若，試利用上述方法比較大小例7、已知，試求的值。例8、已知【變式練習】1、 填空： 2、 若，則3、 ，則4、 計算：5、 試比較的大小。三積的乘方（重點）1.積的乘方的意義：指底數是乘積形式的乘方。如：積的乘方法則：積的乘方，等于把積得每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。如：注：法則中的字母可以表示數，也可以表示單項式或多項式；運用該法則時，注意系數為-1時的“-”號的確定；三個或三個以上因式的乘方，也具有這一性質；該法則可逆用，即 ，逆向運用

4、可將算式靈活性變形或簡化計算。法則的推導【典型例題】例1、填空：例2、計算： 2. 逆用公式和推廣（1）公式可以逆用，（m，n是正整數），例如：（2）底數為三個或三個以上的因數時，也可以運用此法則，即（n是正整數）（3）當運用積的乘方法則計算時，若底數互為倒數，則可適當變形?！镜湫屠}】例3、已知，求的值例4、計算： 例5、已知例6、計算： 【變式練習】1：計算（1）； （2）； （3）2：已知，求的值。3：計算 （1）； （2）四單項式與單項式相乘（重點）法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式例含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。注意：1.單項式

5、與單項式相乘時，要先把各個單項式的系數相乘，作為積的系數，要注意系數的符號2.相同字母相乘時，實際上就是按照同底數冪的乘法法則進行，即底數不變，指數相加3.對于只在一個單項式里含有的字母，一定要把它連同指數寫在積中，作為積的因式，切記不要將它漏掉4.單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用5.單項式乘單項式的結果仍然是單項式【典型例題】例1：計算（1）; (2) ;(3) 【變式練習】1. 計算：（1） （2）4y（2xy2）； （3）（2m2n）2+（mn）（m3n） （4）.(-3/2ab)(-2a)(-2/3a2b2)（5）.(2105)2(4103) （6）.(-4xy)(-x2

6、y2)(1/2y3)（7） .(-1/2ab2c)2(-1/3ab3c2)3(12a3b) （8）.(-2xn+1yn)(-3xy)(-1/2x2z)（9） x2y（3xy2z）（2xy2） （10）（x3）2（3xy）（2y2）3 五.單項式與多項式相乘（重點）法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。用式子表示為（m，a，b，c都是單項式）。注意：1.法則中的每一項的含義是不重不漏的2.在運算過程中，要注意各項的符號，尤其是負號的情形3.非零單項式與多項式相乘的結果仍是一個多項式，積的項數與因式中多項式的項數相同【典型例題】例1.計算 （1） （2）（3）

7、 例2.化簡 例3.已知：，求代數式的值. 例4.已知：，求m. 【變式練習】1.(1)(3a5b-4a2b3-6ab4)； (2) ；（3）(3x2myn-3-5xmy2n+1)(-4xm-2y5)；2化簡求值：-ab（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。6；多項式乘多項式（1）多項式乘以多項式的法則是由單項式乘以多項式的法則求出，因此兩個多項式相乘只要把其中一個多項式看作單項式即可。例如(a+b)(c+d)可以將(a+b)看成單項式轉化為單項式乘以多項式法則去計算。如： =(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd。（2）為避免丟項，也可以用第一個多項式的每一項依次去乘第二個

8、多項式的每一項，在沒有合并同類項之前，積的項數等于這兩個多項式項數之積。如： =ac+bc+ad+bd。項數為22=4項。（3）對于型如(x+a)(x+b)的積要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 這就是說，含有一個相同字母的兩個一次二項式相乘，得到的積是同一個字母的二次三項式。注意：1.必須做到不重不漏，計算時按一定的順序2.應確定積中每一項的符號3.多項式與多項式相乘時，如有同類項要合并【典型例題】例1 計算：( a- b)( a+ b)例2化簡求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17) ，其中 x=5

9、 .例3當(x2+mx+8)(x2-3x+n)展開后，如果不含x2和x3的項，求出(-m)3n的值。 例4計算：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)【變式練習】1.計算：(1) ； (2)；(3)； (4) ； (5)； (6) .2先化簡，再求值：，其中3.某同學在計算一個多項式乘以-3x2時，因抄錯符號，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-0.5x+1，那么正確的計算結果是多少？4.已知：，且 異號，是絕對值最小的負整數，求3AB-AC的值.5若（x2+mx+8）（x2-3x+n）的展開式中不含x3和x2項，求m和n的值二、乘法公式1平方差公式（重點）平方差公式：即兩個數的和與這兩個

10、數的差的積，等于這兩個數的平方差。這個公式叫做平方差公式。歸納小結公式的變式，準確靈活運用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+(z+m)xy-(z+m) 增項變化，(x-y+z)(x-y-z) =(xy)2-(z+m)2 =(x-y)2-z2 =x2y2-(z+m)(z+m) =(x-y)(x-y)-z2 =x2y2-(z2+zm+zm+m2) =x2-xy-xy+y2-z2 =x2y2-z2

11、-2zm-m2 =x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2) 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x2-y2)(x2+y2) = (x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =x4-y4 =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz一、：平方差公式及其逆用【典型例題】1：求解下列各式.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） 6(7+1)(7+1)(7+1)(7+1)+1 （8）（9）例題2：1949-1950+1951-1952+1999-2000【變式練習】1 計算: (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)

12、 ； (6) ；7） （8） ； (9) ； (10) 79.980.1.2.如果，且，則= 2完全平方公式（重點）完全平方公式即兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積得2倍。這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式1：完全平方公式其逆用【典型例題】例題1：求解下列各式.（1）位置變化： （2）符號變化：（3）數字變化： （4）方向變化：（5）項數變化： （6）公式變化2完全平方公式的運用例題4：已知：，求：；例題5例題6已知=0， 求的值； 求的值.例題7若，則 .【變式練習】1234563逆用1、若，則.2、若是關于的完全平方式，則.3、多項式x2+kx+25是另一個多項式

13、的平方，則k= .4、已知， 求的值.5、已知，求的值4配方法例題1：已知：x+y+4x-2y+5=0，求x+y的值.【變式練習】1.已知x+y-6x-2y+10=0，求的值.2.已知x+y+6x+8y+25=0，求x-y的值.3.已知：x+y+z-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z的值.4.已知：x+y+=2x+y,求：的值. 5解方程 6如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.7已知：，求：的值.考點連接題型一：乘法公式在解方程和不等式組中的應用解方程：題型二：應用完全平方公式求值設m+n=10，mn=24，求的值。題型三：巧用乘法公式簡算計算：（1）； （2

14、）題型四：利用乘法公式證明對任意整數n，整式是不是10的倍數？為什么？題型五：乘法公式在幾何中的應用已知ABC的三邊長a，b，c滿足，試判斷ABC的形狀。整式的除法1.同底數冪的除法法則: 同底數冪相除,底數 ,指數 . 即 (a0,m,n都是正整數,并且mn) 零指數冪: 任何不等于0的數的0次冪都等于 . 即 ，其中要求a不能為 ?！窘浀淅}】（1）. . . . 若，則x= .（2）. （3）. （4）. （5）. （6）2.若，求。2單項式除以單項式，把系數、同底數冪分別相除，作為商式的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式注：系數先相除，所得的結果作為商的系

15、數，特別注意系數包括前面的性質符號被除式里單獨有的字母及其指數，作為商的一個因式，不要遺漏要注意運算的順序，有乘方先算乘方，有括號先算括號里特別是同級運算一定要從左至右，【經典例題】(1)14a32a （2)-8ab32ab2 (3)-16a3c4a3 (4)-2a2b2c 3（-3ab）2 (5)（6106) （2104） (6)【變式練習】(1) (2)(-0.5a2bx2) 3(-ax2) 2； (3)(4109)(-2103) (4)3.多項式除以單項式 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。 注：多項式除以單項式所得商的項數與這個多項式的項數相同

16、用多項式的每一項除以單項式時，商中的每一項的符號由多項式中的每項的符號與單項 式的符號共同確定【經典例題】（1） (2) （3）（2xy）8x2x【變式練習】(1)(8a3b-16a2b2)4ab； (2) (y3-7xy2+y5)y2 (3) (25x2+15x3y-20x4)(-5x2)； （4） 因式分解一、提公因式法.知識點1：分解因式的定義 1分解因式：把一個多項式化成幾個_整式的乘的積，這種變形叫做分解因式，它與整式的 乘法互為逆運算。分解因式需知； （1）只有多項式才能夠分解因式，單項式不能分解因式 （2）結果必須是整式，不能有分式出現 （3）結果必須是積的形式 【經典例題】 判

17、斷下列從左邊到右邊的變形是否為分解因式： （ ） （ ） （ ） （ ）知識點2：公因式公因式： 定義：我們把多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式。 公因式的確定： （1）符號: 若第一項是負號則先把負號提出來（提出負號后括號里每一項都要變號） （2）系數：取系數的最大公約數； （3）字母：取字母（或多項式）的指數最低的； （4）所有這些因式的乘積即為公因式； 【經典例題】：1_2多項式分解因式時，應提取的公因式是（ ） ABCD 3. 的公因式是_知識點3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化

18、成幾個因式的乘積，這種分解因式的方法叫做提公因式法。1可以直接提公因式的類型： （1）=_；（2） =_（3） （3）=_ （4）不解方程組，求代數式的值2.式子的第一項為負號的類型：（1） =_ =_（2）若被分解的因式只有兩項且第一項為負，則直接交換他們的位置再分解（特別是用到平方差公式時）如： 【變式練習】1多項式:的一個因式是,那么另一個因式是( ) C D.2.分解因式5(yx)310y(yx)33. 公因式只相差符號的類型：公因式相差符號的，要先確定取哪個因式為公因式，然后把另外的只相差符號的因式的負號提出來，使其統一于之前確定的那個公因式。（若同時含奇數次和偶數次則一般直接調換偶

19、數次里面的字母的位置，如 【經典例題】 ( 1)（ba）2+a（ab）+b（ba）( 2)（a+bc）（ab+c）+（ba+c）（bac）（3）【變式練習】：1.將下列各式分解因式 （1）2x24x （2）8m2n+2mn （3）a2x2yaxy2 （4）3x33x29x （5）24x2y12xy2+28y3 （6）4a3b3+6a2b2ab （7） (8) （9） (10) （11） (12) （13） (14) 2.利用因式分解進行計算 （1）1210.13+12.10.9121.21 （2）2.3413.2+0.6613.226.4二，公式法分解因式 公式法分解因式：如果把乘法公式反過來

20、，那么就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法 平方差公式：兩個數的平方差，等于這兩個的和與這兩個數的差的積。即a2-b2=(a+b)(a-b)特點：a.是一個二項式，每項都可以化成整式的平方. b.兩項的符號相反.例如：1、判斷能否用平方差公式的類型（1）下列多項式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2（2）下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）A B C D2、直接用平方差的類型（1） （2） （3） 3、整體的類型：（1） （2）4、提公因式法和平方差公

21、式結合運用的類型(1)m34m= (2) 【變式練習】（1） (2)100x281y2；(3)9(ab)2(xy)2；（4） （5） （6） （7）二、完全平方式分解因式法完全平方公式：兩個數的平方和，加上（或減去）這兩數的乘積的2倍，等于這兩個數的和（或差）的平方。即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ; a2-2ab+b2=(a-b)2特點：（1）多項式是三項式；（2）其中有兩項同號，且此兩項能寫成兩數或兩式的平方和的形式；（3）另一項是這兩數或兩式乘積的2倍.1、判斷一個多項式是否可用完全平方公式進行因式分解【例題】：下列多項式能分解因式的是（ ）A B C D2、關于求式子中的未知數的問題【例題】：1若多項式是完全平方式，則k的值為（ ） A4 B4 C8 D4 2若是關于x的完全平方式，則k= 3.若是關于x的完全平方式則m=_ 3、直接用完全平方公