球柱系中亥姆霍茲方程分離變量

1、二、球柱系中亥姆霍茲方程分離變量,其中,1）若穩(wěn)定問(wèn)題 =0，則結(jié)果不變,變型貝塞爾方程,討論,2) 若穩(wěn)定問(wèn)題，且u=u (r,) =0,歐拉型方程,2.球系中的變量分離,歐拉型方程,2) 穩(wěn)定問(wèn)題且,討論,1）穩(wěn)定問(wèn)題：=0,解題思路：步驟與直角坐標(biāo)系中大同小異,分幾大步,步一：寫出定解問(wèn)題 步二：分離變量（如果定解問(wèn)題確為可直接分離變量 的形式） 步三：解本征值問(wèn)題 解不構(gòu)成本征值問(wèn)題的變量的常微分方程 步四：迭加特解得通解 定解,解題過(guò)程由曲線坐標(biāo)系自身的特點(diǎn)帶來(lái)的與直角坐 標(biāo)系中解題的不同點(diǎn),步一：方程：空間變量的拉氏算子的表達(dá)式較復(fù)雜； 邊條件：物理邊界比數(shù)學(xué)自變量端點(diǎn)少，在定 解

2、問(wèn)題中只提真實(shí)物理邊界的條件,步二：非穩(wěn)問(wèn)題：先將時(shí)間變量分離出去，剩下的 空間變量全部都能構(gòu)成本征值問(wèn)題。 穩(wěn)定問(wèn)題：選擇合適的空間變量構(gòu)成本征值 問(wèn)題（空間變量不再平權(quán),步三：本征值問(wèn)題中的邊界條件不再只是一、二類 邊條件，可能會(huì)由周期條件、有界構(gòu)成； 歐拉型微分方程的求解,步四：基本同直角坐標(biāo)系,2圓內(nèi)狄氏問(wèn)題,例1】半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形均勻?qū)w，體內(nèi)無(wú)熱 源，柱面溫度u(a, )=f() 求穩(wěn)定時(shí)導(dǎo)體內(nèi)穩(wěn) 定的溫度分布,解,對(duì)于，需要補(bǔ)充自然邊界條件,由物理場(chǎng)的單值性可得,為簡(jiǎn)單,將u=R代入周期條件,顯然,不是本征值,解：i) 0時(shí),ii) =0,=0是本征值，對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)為,代

3、入,比較A、B的系數(shù),iii) 0,綜合ii、iii得本征值問(wèn)題的解為,解方程,設(shè)r=et，d r=e td t，代入中得,R的通解,原點(diǎn)處的 溫度為一有限值，即 |u(0,),()有限,為保證所得的解滿足有界條件,的解為,的通解為,代入r=a處邊條件定解,討論,1.自然邊條件,什么條件下提自然邊條件,自變數(shù)端點(diǎn)個(gè)數(shù)幾何邊界個(gè)數(shù),ii) 圓內(nèi)狄氏問(wèn)題u=u (r,i) 直角系中討論穩(wěn)定問(wèn)題：u=u (x ,y,iii) 若遇球系 u = u (r , ,自變量端點(diǎn)值4個(gè)幾何邊界（4條邊） 這時(shí)不用提邊條件,ii)圓內(nèi)狄氏問(wèn)題u=u (r,需要在另外三個(gè)端點(diǎn)處補(bǔ)自然邊條件,i)直角系中討論穩(wěn)定問(wèn)

4、題：u=u (x ,y) 0 xa , 0yb,2.簡(jiǎn)并,解得,當(dāng)m0時(shí),A m , B m是兩個(gè)獨(dú)立的待定系數(shù),m0,Sinm和cosm 是對(duì)應(yīng)同一個(gè)本征值m2下的兩個(gè) 線性無(wú)關(guān)的本征函數(shù),一個(gè)本征值兩個(gè)本征函數(shù)，稱 是二度簡(jiǎn)并的,但 m=0時(shí)，只對(duì)應(yīng)0A0一個(gè)本征函數(shù)， m=0是非簡(jiǎn)并的,二階常微分方程的本征值問(wèn)題最多只能是二度簡(jiǎn)并,3.常微分方程的本征值問(wèn)題,i)非穩(wěn)問(wèn)題,空間變量構(gòu)成本征值問(wèn)題， T (t) 不能構(gòu)成本征值問(wèn)題,ii)穩(wěn)定問(wèn)題,一個(gè)空間變量不構(gòu)成本征值問(wèn)題 其它均要構(gòu)成本征值問(wèn)題,u (x ,y ,z) X，Y，Z平權(quán),u (r ,) 構(gòu)成本征值問(wèn)題,u (r , ,) 、構(gòu)成本征值問(wèn)題,例2】無(wú)限長(zhǎng)空心圓柱導(dǎo)體半徑為a分成兩半，互相 絕緣，一半電位為u0，另一半電位為-u0，求 柱內(nèi)電位分布,解,定解問(wèn)題,解得,通解,解得,定解,問(wèn)題：若所討論