組合圖形的慣性矩

1、平面圖形的幾何性質(zhì),本章提要,本章主要研究平面圖形的靜矩和慣性矩的概念及計算、組合圖形的靜矩和慣性矩,本 章 內(nèi) 容,靜矩 慣性矩和慣性半徑 組合圖形的慣性矩,靜矩,任意截面的圖形如圖8.1所示，其面積為A, Z軸和y軸為圖形平面內(nèi)的任意直角坐標軸,靜矩,圖8.1,取微面積dA， dA的坐標分別為y和z，則ydA、zdA分別稱為微面積dA對于z軸和y軸的靜矩。它們對整個平面圖形面積的定積分 分別稱為整個平面圖形對于z軸和y軸的靜矩,a,在靜力學的第章中，已經(jīng)導出平面圖形的形心坐標公式,簡單圖形靜矩的計算,8.1,將公式(8.1)代入式(a)，平面圖形的形心坐標公式可寫為 由此可得平面圖形的靜矩

2、為 Sy=zCA Sz=yCA 即平面圖形對某軸的靜矩等于其面積與形心坐標（形心至該軸的距離）的乘積,例8.1】試計算圖8.2所示矩形截面對z軸和y軸的靜矩。 【解】矩形截面的面積A=bh，其形心坐標yC=h/2,圖8.2,zC=b/2。由式（8.2）有 Sz=yCA=h/2bh=bh2/2 Sy=zCA=b/2bh=b2h/2,工程實際中，有些構(gòu)件的截面是由矩形、圓形等簡單圖形組合成，稱為組合圖形。 根據(jù)圖形靜矩的定義，組合圖形對某軸的靜矩等于各個簡單圖形對同一軸靜矩的代數(shù)和，即,組合圖形靜矩的計算,例8.2】試計算圖8.3所示截面對z軸和y軸的靜矩。已知a=30mm。 【解】圖示截面可看成

3、是由矩形減去半圓。設矩形的面積為A1，半圓的面積為A2。由于A2是要被減去的，該面積取負值。 由于y軸是對稱軸，通過截面形心，所以該截面對y軸的靜矩為零，即Sy=0 下面計算該截面對z軸的靜矩。 A1=4a2a=8a2 yC1=a,A2=-1/2a2 yC2=4a/3 由式（8.3）有 Sz=yCiAi=yC1A1+yC2A2 =8a2a+(-1/2a2) 4a/3 =1.98105mm3,圖8.3,慣性矩和慣性半徑,如圖8.4所示，在平面圖形上取一微面積dA, dA與其坐標平方的乘積y2dA、z2dA分別稱為該微面積dA對z軸和y軸的慣性矩，它們在整個圖形范圍內(nèi)的定積分 分別稱為整個平面圖形

4、對z軸和y軸的慣性矩,慣性矩定義,微面積dA與它到坐標原點的距離的平方的乘積2dA，在整個圖形范圍內(nèi)的定積分 稱為平面圖形對坐標原點的極慣性矩。由圖8.4可知 2=z2+y2 于是有,即Ip=Iy+Iz 上式表示：平面圖形對于位于圖形平面內(nèi)某點的任一對相互垂直坐標軸的慣性矩之和是一常量，恒等于它對該點的極慣性矩,圖8.4,工程實際中，常將圖形對某軸的慣性矩，表示為圖形面積與某一長度平方的乘積，即 式中iz、iy分別稱為平面圖形對z軸和y軸的慣性半徑，常用單位為米（m）或毫米（mm)。 由式（8.7）有，慣性半徑,慣性半徑,例8.3】圖8.5所示圓形截面的直徑為D，試計算它對形心軸（即直徑軸）的

5、慣性矩。 【解】取平行z軸的微面積 由于對稱，圓形截面對任一形心軸的慣性矩都等于D4/64,簡單圖形的慣性矩,例8.4】圖8.6所示的矩形截面，試計算對其形心軸的慣性矩Iz、Iy。 【解】（1） 計算慣性矩Iz 取平行于z軸的微面積dA=bdy (2) 計算慣性矩Iy 取平行于y軸的微面積dA=hdz 表8.1列出了一些常用簡單截面圖形的幾何性質(zhì),圖8.5,圖8.6,表8.1 簡單截面圖形的幾何性質(zhì),8.3 組合圖形的慣性矩,如圖8.7所示，任意平面圖形的形心為C，面積為A，zC軸和yC軸為圖形的形心軸。y軸平行于yC，兩軸間的距離為b；z軸平行于zC，兩軸間的距離為a。根據(jù)慣性矩的定義，平面

6、圖形對z軸的慣性矩為,8.3.1 慣性矩的平行移軸公式,IzC、SzC分別為圖形對形心軸zC的慣性矩和靜矩。由于圖形對形心軸的靜矩恒等于零，所以SzC=0。于是有 Iz=IzC+a2A 同理Iy=IyC+b2A 式(8.9)即為慣性矩的平行移軸公式。它表明：平面圖形對任意軸的慣性矩，等于圖形對與該軸平行的形心軸的慣性矩加上圖形的面積與兩軸距離平方的乘積,圖8.7,由慣性矩的定義可知，組合圖形對某軸的慣性矩就等于組成它的各簡單圖形對同一軸慣性矩之和。 簡單圖形對本身形心軸的慣性矩可通過積分或查表求得，再利用平行移軸公式，便可求得各簡單圖形對組合圖形的形心軸的慣性矩,組合圖形的慣性矩,例8.5】空心水泥板的截面圖形如圖8.8所示，試求它對z軸和y軸的慣性矩。 【解】此組合圖形對于z軸或y軸的慣性矩等于矩形對z軸或y軸的慣性矩減去圓形和對z軸或y軸的慣性矩。 計算慣性矩Iz Iz=I1z-I2z-I3z=I1z-2