對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導數(shù)

1、1,對數(shù)函數(shù) 與指數(shù)函數(shù) 的導數(shù),一、復習與引入,1. 函數(shù)的導數(shù)的定義與幾何意義,2.常見函數(shù)的導數(shù)公式,3.導數(shù)的四則運算法則,4.復合函數(shù)的導數(shù)公式,5.由前面幾節(jié)課的知識,我們已經(jīng)掌握了初等函數(shù)中的 冪函數(shù)、三角函數(shù)的導數(shù),但還缺少指數(shù)函數(shù)、對數(shù) 函數(shù)的導數(shù),而這就是我們今天要新學的內容,有了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù),也就解決了初等函數(shù)的可導性.結合前一章節(jié)的知識,我們可知,初等函數(shù)在其定義域內都是連續(xù)而且可導,二、新課指、對函數(shù)的導數(shù),1.對數(shù)函數(shù)的導數(shù),下面給出公式的證明,中間用到重要極限,證,證:利用對數(shù)的換底公式即得,2.指數(shù)函數(shù)的導數(shù),由于以上兩個公式的證明,需要用到反函數(shù)的

2、求 導法則,這已經(jīng)超出了目前我們的學習范圍,因此在這里我們不加以證明,直接拿來使用,三、例題選講,例1:求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg (3)y=e2xcos3x (4)y=a5x,解:(1,2)法1,2)法2,3,4,例2:求下列函數(shù)的導數(shù),解,解:設y=au,u=cosv,v=1/x,則,解,解:函數(shù)的定義域為,例3:已知f(x)為可導函數(shù),試求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=f(lnx); (2)y=f( ); (3)y=f(ex),解:(1,2,3,解此類題應注意: (1)分清是由哪些函數(shù)復合而成的. (2)用逐步的方法來進行求導,練習1:求下列函數(shù)

3、的導數(shù),答案,例4:設一質點的運動規(guī)律為 為 常數(shù),試求t=1/2時質點運動的速度v0,解,故當t=1/2時,質點運動速度v0為,例5:求曲線y=xlnx的平行于直線x-y+1=0的切線方程,解:設該切線與曲線相切的切點為(x0,x0lnx0,故曲線在點(x0,x0lnx0)處的切線斜率為lnx0+1,由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切點為(1,0,所以所求切線方程為y-0=x-1,即x-y-1=0,答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0,練習2:分別求曲線y=logxe; 在點(e,1)處 的切線方程,延伸:設點P是曲線y=ex上任意一點,求點P到直線y=x的 最

4、小距離,答案,四、小結,對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導數(shù)是常用的導數(shù)公式中較 難的兩類函數(shù)的導數(shù),要熟記公式,會用公式,用活公式,2)解決指、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)問題,應充分重視指數(shù)、對 數(shù)的運算性質的準確使用,以保證變換過程的等價性,3)在求指、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)過程中,要遵循先化簡,再 求導的原則;要結合導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù) 的求導法則進行求導,例6:求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x,解:(1)兩邊取對數(shù),得lny=xlnx,由于y是x的函數(shù),由復合函數(shù)的求導法則對上式兩邊對x求導,可得,2)兩邊取對數(shù),得lny=g(x)lnf(x),兩邊對x求導,可得,說明:(1)解法可能對lny求導不易理解,事實上,若u=lny, y=f(x),則,2)本題用的求導方法習慣上稱為對數(shù)求導法,即先兩 邊取對數(shù),再對x求導.一般適用于下列兩類函數(shù),形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函數(shù),取對數(shù)后,可 將積轉化為和的形式,或 ,取對 數(shù)后,可轉化為代數(shù)和的形式,無理函數(shù)或形如y=f(x)g(x)這類冪指函數(shù),3)對數(shù)求導法的優(yōu)點:一是可使問題簡單化(積、商 變和、差,冪、根變積式),二是可使較復雜函數(shù)求 導變?yōu)榭赡?無求導公式變?yōu)橛星髮Ч?例如我們利用上面例題中的(2)可知 中的n的范圍可以擴大到全體實數(shù),又如下面一題我們就有兩種不同的解法,