構(gòu)造組合模型巧證組合恒等式 論文

1、構(gòu)造組合模型巧證組合恒等式 論文證明組合恒等式，一般是利用組合數(shù)的性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理等，通過一些適當(dāng)?shù)挠?jì)算或化簡來完成但是，很多組合恒等式，也可直接利用組合數(shù)的意義來證明即構(gòu)造一個(gè)組合問題的模型，把等式兩邊看成同一組問題的兩種計(jì)算方法，由解的唯一性，即可證明組合恒等式例證明分析：原式左端為個(gè)元素中取個(gè)的組合數(shù)原式右端可看成是同一問題的另一種算法：把滿足條件的組合分為兩類，一類為不取某個(gè)元素，有種取法一類為必取有種取法由加法原理可知原式成立例證明分析：原式左端可看成一個(gè)班有個(gè)人，從中選出個(gè)人打掃衛(wèi)生，在選出的個(gè)人中，人打掃教室，余下的人打掃環(huán)境衛(wèi)生的選法數(shù)原式右端可看成直接在人中選出人

2、打掃教室，在余下的人中再選出人打掃環(huán)境衛(wèi)生顯然，兩種算法計(jì)算的是同一個(gè)問題，結(jié)果當(dāng)然是一致的以上兩例雖然簡單，但它揭示了用組合數(shù)的意義證明組合恒等式的一般思路：先由恒等式中意義比較明顯的一邊構(gòu)造一個(gè)組合問題的模型，再根據(jù)加法原理或乘法原理對另一邊進(jìn)行分析若是幾個(gè)數(shù)（組合數(shù)）相加的形式，可以把構(gòu)造的組合問題進(jìn)行適當(dāng)分類，如例，若是幾個(gè)數(shù)（組合數(shù)）相乘的形式，則應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆植接?jì)算，如例，當(dāng)然，很多情況下是兩者結(jié)合使用的例證明，其中當(dāng)時(shí)證明：原式左邊為個(gè)元素中選個(gè)元素的組合數(shù)今將這個(gè)元素分成兩組，第一組為個(gè)元素，剩下的個(gè)元素為第二組，把取出的個(gè)元素，按在第一組取出的元素個(gè)數(shù)（，）進(jìn)行分類，這一類的

3、取法數(shù)為于是，在個(gè)元素中取個(gè)元素的取法數(shù)又可寫成故原式成立例證明證明：原式右邊為個(gè)元素中取個(gè)，元素的組合數(shù)，不失一般性，可以認(rèn)為是在，共個(gè)數(shù)中取個(gè)數(shù)將取出的個(gè)數(shù)，由小到大排列，即設(shè)，按取出的最大數(shù)分類，顯然，當(dāng)時(shí)（，），這一類取法數(shù)為，所以取法總數(shù)又等于原式成立對于某些組合恒等式，有時(shí)其左右兩邊所表示的意義都不易看出，但是如果根據(jù)組合數(shù)的特點(diǎn)仔細(xì)分析，或?qū)υ竭M(jìn)行一些適當(dāng)?shù)淖冃危梢郧擅畹貥?gòu)造一個(gè)組合問題做為模型，證明就可化難為易例證明分析：注意，原式左端等價(jià)于，這里可表示先在個(gè)元素里選個(gè)，再在這個(gè)元素里選一個(gè)的組合數(shù)，可設(shè)一個(gè)班有個(gè)同學(xué)，選出若干人（至少人）組成一個(gè)代表團(tuán)，并指定一人為團(tuán)

4、長把這種選法按取到的人數(shù)分類（，），則選法總數(shù)即為原式左端今換一種選法，先選團(tuán)長，有種選法，再決定剩下的人是否參加，每人都有兩種可能，所以團(tuán)員的選法有種即選法總數(shù)為種顯然兩種選法是一致的這里應(yīng)注意的意義，并能用組合意義證明例證明（）分析：本題左邊與例左邊類似，不同的是例左邊為，而本題為只要在例構(gòu)造的模型中加上同時(shí)還要選一個(gè)干事，并且干事和團(tuán)長可以是同一個(gè)人，即可符合原式左邊對原式右邊我們可分為團(tuán)長和干事是否是同一個(gè)人兩類情況若團(tuán)長和干事是同一個(gè)人，則有種選法；若團(tuán)長和干事不是同一個(gè)人，則有（）種選法所以，共有（）（）種選法例證明（）（）（）（）分析：注意到（），可設(shè)一個(gè)班有個(gè)男生與個(gè)女生，在這

5、個(gè)學(xué)生中選個(gè)同學(xué)（至少有名男生）組成一個(gè)代表團(tuán)，并指定其中一名男生為團(tuán)長，按選出的男生人數(shù)（，）分類，這一類有（）種選法，總的選法有（）種原式右邊的組合意義是明顯的，即直接在個(gè)男生中選一名團(tuán)長，有種選法，再從剩下的人中選出人為團(tuán)員，共有種選法掌握了用組合意義證明組合恒等式這種方法后，還可通過構(gòu)造一個(gè)組合問題的模型，編擬組合恒等式習(xí)題如在例中除了要選一名團(tuán)長外，還要選一名干事和一名聯(lián)絡(luò)員（可以兼職）便可得（）具體證法可參照例與例又如，在例中除了在個(gè)同學(xué)中選出個(gè)團(tuán)員及指定一名男生為團(tuán)長外，還要有一名男生擔(dān)任聯(lián)絡(luò)員（可以兼職），則可得組合恒等式：（）（）若在例中要求，留下的女生中再選一名負(fù)責(zé)人，則有組合恒等式（）具體證明讀者可自己完成實(shí)際上習(xí)題的編擬過程就是用組合意義證明恒等式的過程若把恒等式中較簡單的一邊去掉，變?yōu)榛喗M合式，用此法同樣能完成化簡，讀者可自己體會用組合數(shù)的意義證明組合恒等式，除了對提高學(xué)生的智力及觀察分析問題的能力有幫助外，還有它獨(dú)到的好處，那就是把抽象的組合數(shù)還原為實(shí)際問題，能提