高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程1.2橢圓的簡單性質(zhì)（一）學案北師大版選修1-1

1、1.2橢圓的簡單性質(zhì)(一)學習目標1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形知識點一橢圓的簡單性質(zhì)已知兩橢圓C1、C2的標準方程：C1：1，C2：1.思考1怎樣求C1、C2與兩坐標軸的交點？交點坐標是什么？思考2橢圓具有對稱性嗎？思考3橢圓方程中x，y的取值范圍分別是什么？梳理標準方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)焦點焦距|F1F2|2c(c)|F1F2|2c(c)范圍對稱性關于_對稱頂點軸長軸長_，短軸長_知識點二橢圓的離心率思考觀察不同的橢圓可見它們的扁平程度不一樣，哪些量影響其扁平程度？怎樣刻畫？梳理(1

2、)定義：橢圓的焦距與長軸長度的比叫作橢圓的_，用e表示(2)性質(zhì)：離心率e的取值范圍是_，當e越接近1，橢圓越_，當e越接近_，橢圓就越接近圓類型一橢圓的簡單性質(zhì)引申探究已知橢圓方程為4x29y236，求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率例1求橢圓9x216y2144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標反思與感悟解決此類問題的方法是將所給方程先化為標準形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上，再利用a，b，c之間的關系和定義，求橢圓的基本量跟蹤訓練1設橢圓方程mx24y24m(m0)的離心率為，試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點坐標及頂點坐標類型二求橢圓的離心率命題角度1

3、與焦點三角形有關的離心率問題例2設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1 (ab0)的左，右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|3|BF1|.(1)若|AB|4，ABF2的周長為16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求橢圓E的離心率反思與感悟涉及到焦點三角形注意利用橢圓的定義找到a與c的關系或利用e 求解跟蹤訓練2橢圓1(ab0)的兩焦點為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_命題角度2利用a，c的齊次式，求橢圓的離心率(或其取值范圍)例3(1)設橢圓C：1(ab0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩

4、點，F(xiàn)1B與y軸相交于點D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_(2)若橢圓1(ab0)上存在一點M，使得F1MF290(F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點)，則橢圓的離心率e的取值范圍是_反思與感悟若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍跟蹤訓練3若一個橢圓的長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是_類型三利用橢圓的簡單性質(zhì)求方程例4求滿足下列各條件的橢圓的標準方程(1)已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，且與y軸的一個交點為(0

5、，)，該點與最近的焦點的距離為；(2)已知橢圓的離心率為e，短軸長為8.反思與感悟在求橢圓方程時，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點所在的坐標軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點所在的坐標軸，則應進行討論，然后列方程(組)確定a，b，這就是我們常用的待定系數(shù)法跟蹤訓練4橢圓過點(3,0)，離心率e，求橢圓的標準方程1橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是(10,0)，則焦點坐標為()A(13,0) B(0，10)C(0，13) D(0，)2.如圖，已知直線l：x2y20過橢圓的左焦點F1和一個頂點B，則橢圓的離心率為()A. B.C. D.3與橢圓9x24y236有相同焦點，

6、且短軸長為2的橢圓標準方程是()A.1 Bx21C.y21 D.14已知點(m，n)在橢圓8x23y224上，則2m4的取值范圍是_5. 求滿足下列各條件的橢圓的標準方程(1)已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，若其離心率為，焦距為8；(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為.1已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標準形式，應先化成標準形式2根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)，可以求橢圓的標準方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系數(shù)法在橢圓的基本量中，能確定類型的量有焦點、頂點，而不能確定類型的量有長軸長、短軸長、離心率e、焦距3求橢圓的離心率要注意函數(shù)與方程的思想、

7、數(shù)形結(jié)合思想的應用答案精析問題導學知識點一思考1對于方程C1：令x0，得y4，即橢圓與y軸的交點為(0,4)與(0，4)；令y0，得x5，即橢圓與x軸的交點為(5,0)與(5,0)同理得C2與y軸的交點為(0,5)與(0，5)，與x軸的交點為(4,0)與(4,0)思考2有問題中兩橢圓都是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，也是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形思考3C1：5x5，4y4；C2：4x4，5y5.梳理F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)|x|a，|y|b|x|b，|y|ax軸、y軸和原點(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)2a2b知識點二思考如圖所示，在R

8、tBF2O中，cosBF2O，記e，則0e1，e越大，BF2O越小，橢圓越扁；e越小，BF2O越大，橢圓越圓梳理(1)離心率(2)(0,1)扁0題型探究例1解已知方程化成標準方程為1，于是a4，b3，c，橢圓的長軸長和短軸長分別是2a8和2b6，離心率e.又知焦點在x軸上，兩個焦點坐標分別是F1(，0)和F2(，0)，四個頂點坐標分別是A1(4,0)，A2(4,0)，B1(0，3)和B2(0,3)引申探究解把橢圓的方程化為標準方程1，可知此橢圓的焦點在x軸上，且長半軸長a3，短半軸長b2.又得半焦距c.所以橢圓的長軸長2a6，短軸長2b4；兩個焦點的坐標分別是(，0)，(，0)四個頂點的坐標分

9、別是(3，0)，(3,0)，(0，2)，(0,2)離心率e.跟蹤訓練1解橢圓方程化為標準形式為1，且e.(1)當0m4時，長軸長和短軸長分別為，4，焦點坐標為F1(0，)，F(xiàn)2(0，)，頂點坐標為A1(0，)，A2(0，)，B1(2,0)，B2(2,0)例2解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因為ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)設|F1B|k，則k0，且|AF1|3k，|AB|4k.由橢圓定義可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2

10、|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化簡可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2為等腰直角三角形從而ca，所以橢圓E的離心率e.跟蹤訓練21例3(1)解析直線AB：xc，代入1，得y，A(c，)，B(c，)kBF1，直線BF1：y0(xc)，令x0，則y，D(0，)，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e0，e.(2)，1)解析

11、橢圓1(ab0)，byb.由題意知，以F1F2為直徑的圓至少與橢圓有一個公共點，則cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0e1，所以e的取值范圍是，1)跟蹤訓練3解析由題意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)例4解(1)由題意知a，ac，則c.所以b2a2c25，所以所求橢圓的方程為1.(2)由e，得ca，又2b8，a2b2c2，所以a2144，b280，所以橢圓的標準方程為1或1.跟蹤訓練4解橢圓過點(3,0)，點(3,0)為橢圓的一個頂點當橢圓的焦點在x軸上時，(3,0)為右頂點，則a3，e，ca3，b2a2c232()2963，橢圓的標準