1996年考研數(shù)學三真題及全面解析

1、.1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè)方程確定是的函數(shù),則_. (2) 設(shè),則_.(3) 設(shè)是拋物線上的一點,若在該點的切線過原點,則系數(shù)應滿足的關(guān)系是_. (4) 設(shè),其中.則線性方程組的解是_.(5) 設(shè)由來自正態(tài)總體容量為9的簡單隨機樣本,得樣本均值,則未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 累次積分可以寫成 ( )(A) (B) (C) (D) (2)

2、下述各選項正確的是 ( )(A) 若和都收斂,則收斂(B) 收斂,則與都收斂(C) 若正項級數(shù)發(fā)散,則(D) 若級數(shù)收斂,且,則級數(shù)也收斂(3) 設(shè)階矩陣非奇異(),是矩陣的伴隨矩陣,則 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 設(shè)有任意兩個維向量組和,若存在兩組不全為零的數(shù) 和,使,則( )(A) 和都線性相關(guān)(B) 和都線性無關(guān)(C) 線性無關(guān)(D) 線性相關(guān)(5) 已知且,則下列選項成立的是( )(A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分6分)設(shè)其中有二階連續(xù)導數(shù),且.(1)求；(2)討論在上的連續(xù)性.四、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù),方程確定是的函數(shù),其中可微；,連續(xù),且.求.五、(

3、本題滿分6分)計算.六、(本題滿分5分)設(shè)在區(qū)間上可微,且滿足條件.試證:存在使七、(本題滿分6分)設(shè)某種商品的單價為時,售出的商品數(shù)量可以表示成,其中均為正數(shù),且.(1) 求在何范圍變化時,使相應銷售額增加或減少.(2) 要使銷售額最大,商品單價應取何值?最大銷售額是多少?八、(本題滿分6分)求微分方程的通解.九、(本題滿分8分)設(shè)矩陣.(1) 已知的一個特征值為3,試求；(2) 求矩陣,使為對角矩陣.十、(本題滿分8分)設(shè)向量是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,向量不是方程組的解,即.試證明:向量組線性無關(guān).十一、(本題滿分7分)假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停

4、止工作,若一周5個工作日里無故障,可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲得利潤5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元.求一周內(nèi)期望利潤是多少?十二、(本題滿分6分)考慮一元二次方程,其中分別是將一枚色子(骰子)接連擲兩次先后出現(xiàn)的點數(shù).求該方程有實根的概率和有重根的概率.十三、(本題滿分6分)假設(shè)是來自總體X的簡單隨機樣本；已知.證明：當充分大時,隨機變量近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù).1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)【答案】【解析】方法1：方程兩邊取對數(shù)得,再兩

5、邊求微分,.方法2：把變形得,然后兩邊求微分得,由此可得 (2)【答案】【解析】由,兩邊求導數(shù)有,于是有 .(3)【答案】(或),任意【解析】對兩邊求導得所以過的切線方程為即又題設(shè)知切線過原點,把代入上式,得即由于系數(shù),所以,系數(shù)應滿足的關(guān)系為(或),任意.(4)【答案】【解析】因為是范德蒙行列式,由知.根據(jù)解與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系,所以方程組有唯一解.根據(jù)克萊姆法則,對于,易見 所以的解為,即.【相關(guān)知識點】克萊姆法則：若線性非齊次方程組或簡記為 其系數(shù)行列式,則方程組有唯一解其中是用常數(shù)項替換中第列所成的行列式,即.(5)【答案】【解析】可以用兩種方法求解：(1)已知方差,對正態(tài)總體的數(shù)學期望

6、進行估計,可根據(jù)因,設(shè)有個樣本,樣本均值,有,將其標準化,由公式得：由正態(tài)分布分為點的定義可確定臨界值,進而確定相應的置信區(qū)間.(2)本題是在單個正態(tài)總體方差已知條件下,求期望值的置信區(qū)間問題.由教材上已經(jīng)求出的置信區(qū)間,其中,可以直接得出答案.方法1：由題設(shè),可見查標準正態(tài)分布表知分位點本題, , 因此,根據(jù) ,有,即 ,故的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .方法2：由題設(shè),查得, 代入得置信區(qū)間.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)【答案】(D)【解析】方法1：由題設(shè)知,積分區(qū)域在極坐標系中

7、是1即是由與軸在第一象限所圍成的平面圖形,如右圖.由于的最左邊點的橫坐標是,最右點的橫坐標是1,下邊界方程是上邊界的方程是,從而的直角坐標表示是故(D)正確.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重積分的積分區(qū)域的極坐標表示為而(B)中的積分區(qū)域是單位圓在第一象限的部分,(C)中的積分區(qū)域是正方形所以,他們都是不正確的.故應選(D).(2)【答案】(A)【解析】由于級數(shù)和都收斂,可見級數(shù)收斂.由不等式及比較判別法知級數(shù)收斂,從而收斂.又因為即級數(shù)收斂,故應選(A).設(shè),可知(B)不正確.設(shè),可知(C)不正確.設(shè),可知(D)不正確.注：在本題中命題(D)“若級數(shù)收斂,且,則級數(shù)也收斂.”不正確,

8、這表明：比較判別法適用于正項級數(shù)收斂(或級數(shù)絕對收斂)的判別,但對任意項級數(shù)一般是不適用的.這是任意項級數(shù)與正項級數(shù)收斂性判別中的一個根本區(qū)別.(3)【答案】(C)【解析】伴隨矩陣的基本關(guān)系式為,現(xiàn)將視為關(guān)系式中的矩陣,則有.方法一：由及,可得故應選(C).方法二：由,左乘得,即.故應選(C).(4)【答案】(D)【解析】本題考查對向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解.若向量組線性無關(guān),即若,必有.既然與不全為零,由此推不出某向量組線性無關(guān),故應排除(B)、(C). 一般情況下,對于不能保證必有及故(A)不正確.由已知條件,有,又與不全為零,故線性相關(guān).故選(D).(5)【答案】(B)【解析】依

9、題意因,故有.因此應選(B).注：有些考生錯誤地選擇(D).他們認為(D)是全概率公式,對任何事件都成立,但是忽略了全概率公式中要求作為條件的事件應滿足,且是對立事件.【相關(guān)知識點】條件概率公式：.三、(本題滿分6分)【解析】(1) 由于有二階連續(xù)導數(shù),故當時,也具有二階連續(xù)導數(shù),此時,可直接計算,且連續(xù)；當時,需用導數(shù)的定義求.當時, 當時,由導數(shù)定義及洛必達法則,有.所以 (2) 在點的連續(xù)性要用定義來判定.因為在處,有.而在處是連續(xù)函數(shù),所以在上為連續(xù)函數(shù).四、(本題滿分6分)【解析】由可得.在方程兩邊分別對求偏導數(shù),得所以 .于是 .五、(本題滿分6分)【分析】題的被積函數(shù)是冪函數(shù)與指

10、數(shù)函數(shù)兩類不同的函數(shù)相乘,應該用分部積分法.【解析】方法1:因為 所以 而 ,故原式.方法2: 六、(本題滿分5分)【分析】由結(jié)論可知,若令,則.因此,只需證明在內(nèi)某一區(qū)間上滿足羅爾定理的條件.【解析】令,由積分中值定理可知,存在,使,由已知條件,有于是且在上可導,故由羅爾定理可知,存在使得即【相關(guān)知識點】1.積分中值定理：如果函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù),則在上至少存在一個點,使下式成立：.這個公式叫做積分中值公式.2.羅爾定理：如果函數(shù)滿足(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導；(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即,那么在內(nèi)至少有一點(),使得.七、(本題滿分6分)【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的判定

11、,如果在的某個區(qū)間上導函數(shù),則函數(shù)單調(diào)遞增,反之遞減.【解析】(1)設(shè)售出商品的銷售額為,則令得 .當時,所以隨單價的增加,相應銷售額也將增加.當時,有,所以隨單價的增加,相應銷售額將減少.(2)由(1)可知,當時,銷售額取得最大值,最大銷售額為.八、(本題滿分6分)【解析】令,則.當時,原方程化為,即,其通解為 或 .代回原變量,得通解.當時,原方程的解與時相同,理由如下:令,于是,而且.從而有通解,即.綜合得,方程的通解為.注：由于未給定自變量的取值范圍,因而在本題求解過程中,引入新未知函數(shù)后得,從而,應當分別對和求解,在類似的問題中,這一點應當牢記.九、(本題滿分8分)【分析】本題的(1

12、)是考查特征值的基本概念,而(2)是把實對稱矩陣合同于對角矩陣的問題轉(zhuǎn)化成二次型求標準形的問題,用二次型的理論與方法來處理矩陣中的問題.【解析】(1)因為是的特征值,故所以.(2)由于,要,而是對稱矩陣,故可構(gòu)造二次型,將其化為標準形.即有與合同.亦即.方法一：配方法.由于 那么,令即經(jīng)坐標變換有 .所以,取 ,有 .方法二：正交變換法.二次型對應的矩陣為,其特征多項式.的特征值.由,即,和,即,分別求得對應的線性無關(guān)特征向量,和的特征向量.對用施密特正交化方法得,再將單位化為,其中：.取正交矩陣,則 ,即 .十、(本題滿分8分)【解析】證法1： (定義法)若有一組數(shù)使得 (1)則因是的解,知

13、,用左乘上式的兩邊,有. (2)由于,故. 對(1)重新分組為. (3) 把(2)代入(3)得 .由于是基礎(chǔ)解系,它們線性無關(guān),故必有.代入(2)式得:.因此向量組線性無關(guān).證法2： (用秩)經(jīng)初等變換向量組的秩不變.把第一列的-1倍分別加至其余各列,有因此 由于是基礎(chǔ)解系,它們是線性無關(guān)的,秩,又必不能由線性表出(否則),故.所以 即向量組線性無關(guān).十一、(本題滿分7分)【解析】設(shè)一周5個工作日內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)為,則服從二項分布即.由二項分布的概率計算公式,有設(shè)一周內(nèi)所獲利潤(萬元),則是的函數(shù),且由離散型隨機變量數(shù)學期望計算公式,(萬元).【相關(guān)知識點】1.二項分布的概率計算公式：若,則, .2.離散型隨機變量數(shù)學期望計算公式：.十二、(本題滿分6分)【解析】一枚色子(骰子)接連擲兩次,其樣本空間中樣本點總數(shù)為36.設(shè)事件“方程有實根”,“方程有重根”,則.用列舉法求有利于的樣本點個數(shù)(),具體做法見下表:有利于的意思就是使不等式盡可能的成立,則需要越大越好,越小越好.當取遍1,2,3,4,5,6時,統(tǒng)計可能出現(xiàn)的點數(shù)有多少種.B1 2 3 4 5 6有利于的樣本點數(shù)0 1 2 4 6 6有利于的樣本點數(shù)0 1 0 1 0 0由古典