法向量解立體幾何大題類型大題

1、1. （ 2008福建18）如圖，在四棱錐P-ABCD，則面PADL底面 ABCD側(cè)棱PA=PD=2，底面ABCD直角梯形，其中 BC/ ADA吐ADAD=2AB=2BC=2,O為 AD中點(diǎn).（I）求證：PCL平面 ABCD（H）求異面直線 PD與 CD所成角的大小;）線段AD上是否存在點(diǎn)Q使得它到平面PCD勺距離為芒？若存在，求出AQ2QD(n)解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、OD、Op的方向分別為X軸、y軸、值；若不存在，請(qǐng)說明理由（I）證明 在厶PAD中 PA=PDO為AD中點(diǎn)，所以 POL AD又側(cè)面PADL底面 ABCD平面 PAD 平面ABCDAD PO 平面PAD 所以PCL平面ABCD

2、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),b(i,-i,o),qi,0,0),(1,1,0),(1Q0,1,0),1, 1)P(0,0,1),所以異面直線PB與CD所成的角是arcco,3（川）解 假設(shè)存在點(diǎn)Q使得它到平面PCD勺距離為2cP(1,0,1),CD(1,1,0).設(shè)平面PCD勺法向量為n=(X0, yo, Zo).nlCp 0,X) z0 0,yozo,則所以即x0n|CD 0,X。yo 0,取X0=1,得平面PCD勺一個(gè)法向量為 n=(1,1,1).CQn設(shè) Q(0,y,0)( 1 y 1),cQ( 1,y,0),由一丄n1 5解y=-或y=(

3、舍去),2 2此時(shí)AQ|,QD3，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí) 如2QD2 （ 2007福建理？ 18）如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有 棱長(zhǎng)都為2, D為CC1中點(diǎn)。A（I）求證：AB1丄面A1BD;（n）求二面角 A Aid B的大?。唬ùǎ┣簏c(diǎn)C到平面AiBD的距離；（I）證明取BC中點(diǎn)0 ,連結(jié)AO .： ABC為正三角形，A0丄BC .:在正三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 ABC丄平面BCC1B ,AD _L 平面 BCCiBi.取BiCi中點(diǎn)Q，以0為原點(diǎn),OB , 0o1 , oA的方向?yàn)閤, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0) , D(-3)

4、 , BD (1,1,0)，AB1 (1,2, 忌 BDAB1 丄 BD , AB!丄 BA1 .2,1,0),2 2 0 0, AB|baA(0,2,3) , A(0,0, 3) , B1(1,2,0),BA* ( 1,2八 3).AB1丄平面A（BD .(n)解設(shè)平面A,AD的法向量為n AD (1,1, . 3) , AA1 (0,2,0). ；n 丄 aD , n 丄 ,(x,0,n0,x y 3z 0,2y 0,0,3乙y, z).1 4 3n2nv3.36224.面角A AD B的大小為arccos，43,0,1）為平面A1 AD的一個(gè)法向量.由（I）知AB1丄平面A,BD ,1A

5、B1為平面ABD的法向量.cos n ,（川）解為平面ABD法向量,由(n) , /t(2,0,0),W (1,2,.3)點(diǎn)C到平面A1BD的距離dI 2區(qū) 甩 2 22 3. （2006廣東卷）如圖所示，AF、DE分別是O O、O O1的直 徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD = 8,BC是O O的直徑，AB = AC = 6，OE/AD.（I ）求二面角BAD F的大?。唬╪ ）求直線BD與EF所成的角.解（I ）/ AD與兩圓所在的平面均垂直 , AD丄AB, AD丄AF,故/ BAD是二面角 B AD F的平面角, 依題意可知，ABCD是正方形，所以/ BAD = 45.即二面角BA

6、D F的大小為450.，則AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）O（0，0，0），A（0，3 2，0），B ( 3.2，0，0) ,D (0；2，8 ），E （ 0，0，8 ），3、2，0）所以,BD (3 2,3、2,8),FE(0, 3.2,8)cosBD, EFBD ?FE18 64設(shè)異面直線BD| BD | FE |與EF所成角為.100 828210.82則cos |cos BD,EF 11001DiF直線BD與EF所成的角為arccos 82104（ 2005江西）如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).（1）（2）中，AD=AA

7、i=1，證明：D1E丄A1D ;當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) E到面ACD1的距離;(3)AE等于何值時(shí)，二面角 D1 EC D的大小為一.4D1b/1/1 iDfA1C1ECD為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 DA，DC，立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AE=x，則A1 （1，0，1），E （1，x，0），A（ 1，0，0），C（0，DD1分別為x, y, z 軸，D1 (0，0，1 )，2，0）（n）以o為原點(diǎn)，bc、（1）證明(2)解因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，貝U E（ 1，1，0），因?yàn)镈A1, D1E (1,0,1),(1,x, 1) 0,所以DA1DE從而 DiE(1,1, 1), AC ( 1,2,0),ADi(

8、1,0,1),設(shè)平面ACD1的法向量為(a,b,c),A則門fc-nAC0,D1 /B1/l/jC1D1fr J L-. r 仁 io#f /C )E也即AD10,2b00得2b，從而nc(2,1,2)，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為n l |n| D1E(3)解設(shè)平面D1EC 的法向量 n (a,b,c),二 CE (1,x 2,0), D1C (0,2, 1), DD1(0,0,1),n 由-nD1C0,2b c a b(xCE0,Ir n(2x,1,2).| nDD1 |依題意cos AE=2. 3時(shí)，二面角 D1 EC D的大小為一.45.(陜西省西安鐵一中 2009屆高三12月月考)

9、如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊厶PCD所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面，BC = 2、2 ,M為BC的中點(diǎn)(I )證明：AM丄PM ;(II)求二面角P AM D的大小；(川)求點(diǎn)D到平面AMP的距離。(I )證明 以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線DA、DC為x軸、y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz ,依題意，可得D(0,0,0),P(0,1, 3),C(0,2,0), A(2 2,0,0), M ( 22,0)4|n|DD1 | x123 (不合，舍去)0令 b=1, c=2,a=2 x,2) 0.旦 2 返2 (x 2)252,X22 3 .BxpM (J2,2,0) (0,1,、3) (

10、、.2,1,、3)aM 2, 2,0) (2、2,0,0) ( .2,2,0) pM aM G- 2,1, ,3) ( . 2, 2,0) 0-, AM 丄 PM .(x, y,z)，且n 平面PAM，則（n）解設(shè)n00即(x,山(x, y,z)G.2,1, ,3)02,2,0) 03z 0y2x 2y 0z . 3yx ,2y取 y 1，得 n 山2,1,、3）取p （0,0,1），顯然p 平面ABCD , cos n, p二乜二|n| |T| 6 T結(jié)合圖形可知，二面角 P AM D為45;（川）設(shè)點(diǎn)D到平面PAM的距離為d，由（n）可知n （當(dāng)21,、3）與平面pam垂直，則|(2、2,

11、0,0) ( 2,1, 3)|d |n|u-2)2 12 G3)2即點(diǎn)D到平面FAM的距離為2、. 636.（廈門市第二外國(guó)語學(xué)校2008 2009學(xué)年高三數(shù)學(xué)第四次月考）已知點(diǎn) H在正方體ABCD ABCD的對(duì)角線BD上，/HDA = 600 .（I）求 DH 與 CC（n）求dh與平面所成角的大??；AAD D所成角的大小.解：以D為原點(diǎn),DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系D xyz .設(shè) H (m, m,1)(m則DA設(shè) dH (m, m,1)(m0)，由已知0)(1,0,0), cC(0,0,1).連結(jié) BD , BD .dH,DA 60；,由可得2m 2m21 .解得m 2 ,2所以DH,

12、1 . (I)因?yàn)?cos2P 220 0 11 o22丄21 .22所以45 .即DH與CC所成的角為45 .(n)平面 AA D D的一個(gè)法向量是 DC因?yàn)閏osdH ,dC子0藝110丄，所以1 、. 2dH ,dC可得DH與平面AAD D所成的角為30：.7.(廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考)如圖, 在四面體ABCD中，0、E分別是BD、BC的中點(diǎn),CACB CDBD2 , AB AD 、2.(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.證明連結(jié)OC；BO DO, AB AD,AOBD.；BO DO, BC CD ,COBD .在AOC中，由已知可得AO1,CO .3.平面求證：AO求

13、異面直線(1)(2)AC2,而 AC 2,AO2 CO2BCD ；AB與CD所成角的余弦值;AOC 90o,即 AO OC.BD p0C O, AO 平面 BCD .解以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則 B(1,0,0), D( 1,0,0),c),心冃冷為(1,0,1),CD ( 1, .3,0).cosBCB4CD異面直線AB與CD所成角的余弦值為解設(shè)平面ACDadn AC(x, y, z)(x, y, z)的法向量為n (x,y, z),則(1,0, 1)(0,3 1)x z 3y，令y 1,得n0(営31八3)是平面acd的一個(gè)法向量.又eC (-1,0), 點(diǎn) E到平面ACD的距

14、離h23/213 T8.(廣東省高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考)如圖, 已知AB 平面ACD , DE 平面ACD, ACD為等邊三角形，AD DE 2AB , F為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF /平面BCE ；求證：平面BCE平面CDE ；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值ECBf設(shè) AD DE 2ABA 0,0,0 , C 2a,0,0xyz，則,B 0,0, a , D a,、.3a,0 , E a,、.3a,2a .2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系 A/ F為CD的中點(diǎn)，3-.3-F a, a,0 .2 2(1)證明3a,a,0 ,BE2 2Za,a ,BC2a,0, AF 1

15、 BE BC , AF 平面 BCE , AF/ 平面 BCE .7a2!/ Af AF Cd 0,Af EDa八3a,0 ,ED0,. Af Cd,AF ED . AF 平面CDE，又AF/平面BCE ,平面BCE 平面CDE .(2)證明0,0, 2a ,解設(shè)平面BCE的法向量為nx , 3y z 0,2x zx, y,z，由0，取 n 1, 3,2 .00可得:a, a2，設(shè)BF和平面BCE所成的角為 ，則2a 2.242a、2直線BF和平面BCE所成角的正弦值為9.(安徽省皖南八校2008屆咼三第一次聯(lián)考)已知斜三棱柱ABC A1B1C1 , BCA 90 , AC BC 2,A在底面

16、ABC上的射影恰為 AC的中點(diǎn)D ,又知 BA1 AC1。(I)求證：AC1 平面ABC ；(II )求 CCi到平面AAB的距離;(III )求二面角A AB C的大小。(I)證明 如圖，取 AB的中點(diǎn)E,貝U DE/BC，因?yàn)樗訢E AC ,又AD 平面ABC ,以DE , DC , DA1為x, y,z軸建立空間坐標(biāo)系,則 A 0, 1,0 , C 0,1,0 ,B 2,1,0 ,A 0,0,t , CiBC0,2,t ,0,3,t ,2,1,t0,由AC1ICb 2,0,0 ,知 A,C CB ,又 BA, AC1，從而 AC1平面ABC ;(II) 解 由3t2設(shè)平面AAB的法向量

17、為0，得 t 3。x,y,z , AA10,1,、3,AB 2,2,0 ,所以nAn Ay 3z2x 2y設(shè)z 1，則n 鹿，3,1所以點(diǎn)Ci到平面A AB的距離d2、21。7(III )解再設(shè)平面A1BC的法向量為m m CaJm CB 2x 0x,y,z ,0, 1,.3 , CB2,0,0 ,所以0，設(shè) z 1 ,03,i ,可知二面角A故 cos m, n根據(jù)法向量的方向,AB C的大小為V7 arccos 7四棱錐 P-ABCD 中，PA丄平面 ABCD , PA = AB= BCEFGH，分別與另外三條側(cè)棱相交于點(diǎn)F、AD / BC, AB丄 AD，/ BCD=135 求異面直線A

18、F與BG所成的角的大小；2008 一診)如圖,10.(四川省成都市=2, E為PA的中點(diǎn)，過 E作平行于底面的平面G、H.已知底面ABCD為直角梯形，(1)(2) 求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小解 由題意可知：AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz由平面幾何知識(shí)知：AD = 4, D (0, 4, 0), B (2,0,0 ),C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1)(1)Af = (1,0,1),BG= (1,1,1)AF bG = 0, AF與BG所成角為n .可證明A

19、D丄平面APB,平面APB的法向量為n = (0,1,0)設(shè)平面CPD的法向量為 m = (1, y, z)m由mPD 0y= 1z= 2故 m = (1,1,2)/ cos = m16|m| |n|6平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小為arcco時(shí)11.（安徽省淮南市2008屆高三第一次模擬考試）如圖，正三棱柱 ABC Ai B1C1的底面邊長(zhǎng)是2, D是側(cè)棱CCi的中點(diǎn)，直線（1 ）求二面角A-BD-C的大?。唬?）求點(diǎn)C到平面ABD的距離.解 （1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系o xy乙則 A(0,0, /3), B(0, 1,0),C(0,1,0), D( .2,1,0).I設(shè) n

20、1(x, y,z)為平面ABD的法向量.丄 n1 AB 0,yV3zn2 AD 0、2x y . 3z 0取 nf ( 6,.3,1).又平面BCD的一個(gè)法向量n2(0,0,1).n1 n2(庇,3,1) (0,0,1)v10C0S 茁1 f屈廠(亦廠12石結(jié)合圖形可知，二面角ABD C 的大小為 arccos-10 .10（川）由（n）知 n1(6,(0,1八3)CA n1n1點(diǎn)C到平面ABD的距離d(0, 1, .3) ( .6, .3,1).(6)2(3)2122 301011.(北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)如圖，在四棱錐 P ABCD中,平面PAB丄平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形, PAB等邊三角形.(1 )求二面角 B ACP的大?。?2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.解 (1)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O xyz,則 A (- 1, 0, 0), B (1, 0, 0),則 P ( 0, 0, J3 ), C (