四年級奧數(shù)——高斯求和

1、第3講 高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：123499100？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：110029939849525051。1100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）10025050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等

2、差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項+末項）項數(shù)2。項數(shù)=（末項-首項）公差+1。末項=首項+公差（項數(shù)-1）。對于任意一個項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列來說，中間一項的值等于所有項的平均數(shù)，也等于首項和末項和的一半；或者換句話說，各項和等于中間項乘以項數(shù)。即為中項定理【例題講解及思維拓展訓(xùn)練

3、】例1 1231999？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（11999）19992。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。【思維拓展訓(xùn)練一】 1、11121331？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11121（項）。原式=（11+31）212=441。2、371199？分析與解：3，7，11，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（993）4125，原式=（399）2521275。例2 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前4

4、0項的和。解：末項=253（40-1）142，和=（25142）4023340。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題?！舅季S拓展訓(xùn)練二】1、 求首項是34，公差是5的等差數(shù)列的前50項的和。例3 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（13515）12（115）8212768（厘

5、米2）。 （2）火柴棍的數(shù)目為369+24（324）82=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成?！舅季S拓展訓(xùn)練三】1、盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了22只球第十次多了210只球。因此拿了十次后，多了21222102（1210）255110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球11

6、03113（只）。綜合列式為：（3-1）（1210）32（110）1023113（只）。例題4 建筑工地有一批磚，碼成如下圖的形狀，最上層2塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚，依次每層都比它上面一層多4塊磚，已知最下一層2106塊磚，問中間一層有多少塊磚？這堆磚共有多少塊？【思維拓展訓(xùn)練三】1、 求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。2、 連續(xù)九個自然數(shù)的和為54，則以這九個自然數(shù)的末項作為首相的連續(xù)九個自然數(shù)的和是多少？【課堂鞏固訓(xùn)練題】1.計算下列各題：（1）246200；（2）17192139；（3）58111450；（4）3101724101。2. 求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3. 求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4. 時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？5. 求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？7、100個連續(xù)自然數(shù)（從小到大排列）的和是8450，取出其中第1個，第3個，第99個數(shù)，再把剩下的50個數(shù)相加，和是多少？8、 把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一