廣義二重積分

1、.網(wǎng)極限在我們所采用的定義1至定義4中均應(yīng)用了網(wǎng)極限的概念,因此有必要將網(wǎng)極限的一般定義及部分可能要用到的性質(zhì)略作闡述.定義0.1 設(shè)集合,稱上的二元關(guān)系為半序關(guān)系,若其滿足:非自反性: 傳遞性: ,若則:定理0.1 如此定義的半序集中沒有最大元證明:反設(shè) 另 由知: 但由知: 矛盾. 即得證.注:半序關(guān)系中并沒有要求,一定要有或,只要兩者不同時(shí)成立即可.也就是說,兩者可以在這種關(guān)系下無法比較.我們回憶在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)定義極限的情形,不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)是依靠中的良序關(guān)系來描述極限的,然而在更多的情形下,極限的基未必能滿足這樣的良序關(guān)系.為了使這樣的極限也能利用序列來進(jìn)行描述,我們引入半序關(guān)系.這樣,用能

2、序列描述的極限的范圍就被極大地?cái)U(kuò)展了.定義0.2 稱偶為半序集,若且為上的半序關(guān)系.定義0.3 稱半序集為定向集,若其滿足:共尾性: ,這個(gè)性質(zhì)對網(wǎng)極限的定義至關(guān)重要,正是共尾性保障了我們所定義極限的唯一性.定義0.4 稱映射為中的網(wǎng),若集合且為定向集,記作一般的網(wǎng)極限理論是在拓?fù)淇臻g展開的,我們在此不必涉及.我們所討論的的網(wǎng)極限中,恒令.定義0.5 對于定向集上的網(wǎng),若,對,有則稱為映射在定向集上的網(wǎng)極限,即記作定理0.1 定義5中所述的網(wǎng)極限是唯一的.證明: 假設(shè) ,有,有由上的共尾性: ,從而有: 且 ,于是由的任意性知:即證網(wǎng)極限是唯一的,說明定義5是良好的.定義0.6 設(shè)集合且中沿用

3、中的半序關(guān)系.若:, ,則稱網(wǎng)的限制為網(wǎng)的臨界子網(wǎng),稱半序集為的臨界子定向集.定理0.2 上述定義6中的為定向集證明:首先按照定義, 是半序集又 , 由半序關(guān)系的傳遞性:即為定向集.定義0.7 稱為網(wǎng)的臨界子網(wǎng),若網(wǎng)限制在的一個(gè)臨界子定向集上.在臨界子網(wǎng)上也可以定義網(wǎng)極限,為了證明廣義二重積分在不同定義下的等價(jià)性,我們有必要建立起不同網(wǎng)之間的關(guān)系.定理0.3 這個(gè)定理常用來反證網(wǎng)極限不存在,也就是說我們可以選取一個(gè)臨界子網(wǎng)使極限在此子網(wǎng)上極限不存在,從而說明網(wǎng)極限不存在.定義0.8 稱定向集與是等價(jià)的,若映射滿足:,記作定義0.9 稱網(wǎng)與網(wǎng)是等價(jià)的,若且,記作定理0.4 證明:不妨設(shè)存在且,

4、由的定義,我們有: 由為映射: 再由的保序性得: 即即存在且下面來說明我們以后證明中使用頻率最高的共同臨界子網(wǎng)的概念.定義0.10 稱與存在共同臨界子網(wǎng),若的臨界子網(wǎng)與的臨界子網(wǎng)等價(jià).至此,我們可以提出我們證明的一般思路了.如我們要證明定義1定義2:Step1.對于正函數(shù),在定義1,2下的網(wǎng)收斂臨界子網(wǎng)收斂Step2.在定義1,2下,有絕對收斂性,即收斂收斂Step3.找出定義1中的網(wǎng)與定義2中的網(wǎng)的一個(gè)公共臨界子網(wǎng)于是 其中第一個(gè)和第五個(gè)等價(jià)性是由廣義二重積分的絕對收斂性得出的，第二個(gè)和第四個(gè)等價(jià)是由正函數(shù)的廣義二重積分網(wǎng)極限與臨界子網(wǎng)極限同時(shí)存在得出，而第三個(gè)等號是由公共臨界子網(wǎng)的等價(jià)性得

5、出。注意在定義四中我們找不到簡單的公共臨界子網(wǎng)，不過我們可以轉(zhuǎn)而證有界性的等價(jià)性得出我們要的結(jié)論。定義1定理1.1 設(shè)為區(qū)域中任意可求積的子集的全體集合,賦序,則為一個(gè)定向集.證明:先說明是一個(gè)半序集:非自反性:傳遞性:且滿足共尾性:,記,取則包圍的區(qū)域滿足:可測,且,定義1.1 稱在上述定向集上的映射,為有限積分網(wǎng),記作引理1.2 當(dāng)二元函數(shù)時(shí),有證明:(1)先證:若存在,則存在且兩者相等:取,當(dāng)時(shí),即,且即有界令 當(dāng)時(shí),時(shí):對于同樣的, 當(dāng),時(shí),我們?nèi)?則, 當(dāng),時(shí)有: 且 即有,于是由的任意性,得證.(2)再證:若存在,則存在且兩者相等令, 而,我們有:即: , 當(dāng)時(shí),根據(jù)定義, 存在且

6、,即得證.定理1.3 當(dāng)二元函數(shù)時(shí),其中為的臨界子網(wǎng).證明:(1)先證明:若存在,則存在且兩者相等由引理1.2:=又得單調(diào)遞增且有上界,則其上確界存在于是由引理1.2: 存在且等于,而, ,進(jìn)而有于是于是=(2)再證明:若存在,則存在且二者相等由引理1:, ,進(jìn)而有于是有上界.又得單調(diào)遞增,故有上確界再由引理1.2: 存在且等于由(1)中證明知: =即得證.定理1.4在定義1下的廣義二重積分是絕對收斂的,即:證明:記 于是,要證明和在上可積等價(jià)只需證:我們先證明:若,則: 有界取,當(dāng)時(shí),即,且若,則:,從而有若,則:,從而有:而為某定區(qū)域,在上有界,則在上有界于是我們得到:有界,而,故綜上所述

7、,有界性得證下面再證明: :反設(shè),則 取的分劃, 其下和,即:我們將分為以下兩類:在上,在上,(此時(shí)有)將第二類取出,并記為,則記,則而這與矛盾,于是注意到:則單調(diào)遞增且有上界,于是存在由引理1.2知: 綜上所述定義2定理2.1 設(shè)為所有割下部分的全體,賦序:,則是一個(gè)定向集,并且以作為其中每個(gè)元素的參數(shù),我們稱這種定向集為可參數(shù)化的定向集.證明:先說明是一個(gè)半序集:非自反性: ,即有傳遞性:且即然后是共尾性:,由于,即有界,那么 那么可求長曲線 滿足：，即使得。定義2.2 在上述定向集上的映射稱為菲赫金哥爾茨網(wǎng)。我們先對的情況進(jìn)行分析：注意到菲赫金哥爾茨網(wǎng)是存在臨界子網(wǎng)的.比如說中心為原點(diǎn)的

8、圓圈列： 所包圍的區(qū)組成的集合記為,且是一個(gè)臨界子定向集.將限制在上即為網(wǎng)的一個(gè)臨界子網(wǎng)。另一個(gè)例子是中心為原點(diǎn)的正方形列： 所包圍的區(qū)組成的集合記為,且是一個(gè)臨界子定向集.將限制在上即為網(wǎng)的一個(gè)臨界子網(wǎng)。定理2.3若,則:。證明: 若那么由上確界的定義:, 。記取 那么,由于為可求長曲線,則,有:由的定義有: 又由知:即證:反之,只需證由存在有界即可,取臨界子網(wǎng) 由于,單調(diào)上升到記 從而有即有界 得證.定理2.3 若,則,其中為限制在上的臨界子網(wǎng).證明:先證明若存在則也存在:若存在則存在:由上確界的定義知:從而由定理2.3有存在反之若存在,則: 存在.,由于為的臨界子網(wǎng),記,那么: ,其中為

9、, 圍成的區(qū)域。由可知:存在且那么只要等式有一邊存在,則必然有兩邊同時(shí)存在且相等,即 得證.注意以下事實(shí):當(dāng)時(shí),若,那么同樣有:,即在任意臨界子網(wǎng)上引理2.1 首尾相連的曲線的相加設(shè)曲線,.,的參數(shù)表示為： 滿足 ，而且除以上各點(diǎn)外曲線互不相交，這樣我們就可以定義若爾當(dāng)曲線為以上曲線的和即：證明：我們?nèi)∵@樣的曲線如果由 知這個(gè)分段的參數(shù)表示是連續(xù)的，而此時(shí)沒有重點(diǎn)，故為若爾當(dāng)曲線，滿足：。注意如果曲線,.,是圍成一圈的，即，那么我們構(gòu)造的曲線為若爾當(dāng)閉曲線。定理2.4 在定義2.2下的廣義二重積分是絕對收斂的,即:證明:注意到，由極限的線性性,我們只需證：由于,故于是反設(shè)那么由定理2.2可知:

10、我們選取臨界子定向集,其中:為正方形的邊界曲線在其上由定理2.3有:于是我們不妨取滿足: (由知:我們可以選出一個(gè)無窮子序列使得:,不妨取作為新的即可)記首先是可求積的,而且在上是有界可求積的,那由積分關(guān)于區(qū)域的線性性是成立的,即有:又有:不妨設(shè),則由上可得:對于,將其所在的正方形區(qū)域進(jìn)行分劃取細(xì)度足夠小的分劃:使得對應(yīng)的下和滿足:我們將這些分為下面兩類:,此時(shí)有:現(xiàn)在我們通過技術(shù)性的手段來構(gòu)造出使得:且:將以上中的每一個(gè)向內(nèi)縮小成為以原中心為中心的邊長減少的正方形記產(chǎn)生的新塊為:由于這些的個(gè)數(shù)是有限的,而在內(nèi)是有界可積的,故只要足夠小(不妨設(shè)為)就能滿足:不妨設(shè)和均是分劃中的直線(若不然則將

11、這些直線加入到原分劃中,形成的新分劃依然可以得到上述結(jié)論)我們設(shè)在分劃中有:,接下來是構(gòu)造的具體步驟:我們記中心為的塊為 需要說明的是:對于某些,可能不存在,此時(shí)我們記作我們將這些的中心用螺旋狀的線段連接起來,具體的直線段為: 再將與連接起來的線段加入我們將上面構(gòu)造的線段由中心擴(kuò)展,即以每條直線段為中心線做半徑為的的長方形,這個(gè)圖形記作,其中由于這樣的長方形個(gè)數(shù)有限,那么只要足夠小,就有記 那么由的構(gòu)造知:為若干線段首尾相連而成的,而每一段均可以視作曲線,從而由引理知:這些線段在總體上來說也是曲線,而且在這個(gè)情形下是可求長的閉曲線(任取上一點(diǎn)為曲線的端點(diǎn)即可)那么,最后由在上有界可積得: 故再

12、由積分的線性可加性得:取足夠小的,使得: 由的構(gòu)造知:只要取縮小的邊長足夠小,可使:從而有:我們?nèi)∽銐蛐】墒棺詈?這樣,我們構(gòu)造的滿足:,而且由其構(gòu)造過程知:,從而有且那么在臨界子網(wǎng)下,此極限不存在.由定理2.2知:,矛盾綜上所述, 定義3與定義二的證明類似，只需將最后構(gòu)造的多角形曲線的角用圓弧替換，使其成為光滑曲線即可 定義4定義4：，其中的面積為0，而為包圍某一定點(diǎn)的連通塊。若右端的極限存在，則對應(yīng)的積分稱為收斂，記為。下面證明一個(gè)重要命題，即絕對可積判定定理:，即在上可積和絕對可積等價(jià)。在此之前我們證明一個(gè)引理：引理：若，則對，為有限區(qū)域，是連通的。有，為與和無關(guān)的固定正常數(shù)。證明：由，

13、即對，對，當(dāng)時(shí)，取包含的連通塊，有則我們?nèi)?，取為以原點(diǎn)為圓心，以對應(yīng)為半徑的圓周。則由（1），有顯然成立。我們把分為兩部分：，。則有積分的可和性，則。而。對于，我們做如下討論：顯然，記。作的網(wǎng)格分劃，記所有完全在內(nèi)部的小塊并集為。當(dāng)分劃足夠小時(shí)，有內(nèi)積分引理，我們可以證明，。下面我們對進(jìn)行討論。我們把中這些小塊都取成閉集。讓每個(gè)小方塊稍稍的向內(nèi)收縮（就像定義2、定義3證明中我們做的一樣），使它們之間互不相交，而在其并集上的積分值與上的積分值只相差任意小的。為了下面敘述方便，而下面如無特別說明，所說小塊即指內(nèi)部進(jìn)行過“收縮”處理互不相交的小塊。1. 首先，我們找出一個(gè)可以在中做一條“狹窄的走

14、道”與連接的小塊，記為（必要時(shí)我們可以把小塊的編號做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整）。這個(gè)“走道”必須保證在中且不與其他小塊相交，即。由于“走道”是足夠“窄”的，故“走道”上的積分對原積分影響很小。這是可以辦到的，因?yàn)闉檫B通區(qū)域。取任意小塊的一個(gè)邊界點(diǎn)和的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，連接。則與所有小塊中第一個(gè)相交的小塊即我們要找的小塊。（為敘述方便，我們以后把“走道”都取成閉集。）記和“走道”的并集為。再找出可以與用一條包含在中的“狹窄走道”相連的小塊，記為，記和“走道”的并集為。再找出可以與用一條包含在中的“狹窄走道”相連的小塊，記為設(shè)這樣的共、有個(gè)。我們把這些與相連的小塊稱為第1級小塊。2. 找出可以與用一條包含在中的“狹窄走

15、道”相連的小塊，記為。記和那條“走道”的并集為。再找出可以與用一條包含在中的“狹窄走道”相連的小塊，記為設(shè)這樣的共有個(gè)。3. 找出可以與用一條包含在中的“狹窄走道”相連的小塊，記為，記和那條“走道”的并集為。再找出可以與用一條包含在中的“狹窄走道”相連的小塊，記為設(shè)這樣的共有個(gè)。我們把上述與第1級小塊塊直接相連的小塊稱為第2級小塊。特別聲明，我們?nèi)绻f小塊與直接相連，那么當(dāng)且僅當(dāng)與有共同的聚點(diǎn)。4. 反復(fù)進(jìn)行上述過程，可以把都連起來。否則，假設(shè)不能被連起來，由于的連通性，可以把的一個(gè)邊界點(diǎn)和的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)用一條在內(nèi)的曲線連接起來，則曲線必與的邊界相交。上述連線與的邊界的第一個(gè)交點(diǎn)（這里我們視點(diǎn)為曲

16、線的起始點(diǎn)）屬于。而如果是的邊界點(diǎn)，則能按我們所給的連接方式與相連在一起。如果是的邊界點(diǎn)，則可以從點(diǎn)沿著做一條“走道”相連即可。這就與假設(shè)矛盾。若第一個(gè)交點(diǎn)屬于是一樣的?，F(xiàn)在我們來討論一下這種連接方式的性質(zhì)：我們把這些與直接相連的小塊稱為一級塊，而把2、3步中與第1級塊以“走道”直接相連的小塊稱為第2級塊。以此類推，我們把與第級塊以“走道”直接相連的小塊稱為第級塊。特別地，我們把稱為第0級塊，為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。讀者可以發(fā)現(xiàn)我們的提供的連接方式有如下特點(diǎn)：a) 同級小塊之間不直接相連。b) 若兩小塊級數(shù)差大于等于二，則他們不可能直接相連。c) 各小塊必與一個(gè)且僅一個(gè)第一級小塊直接相連，

17、而可能與多個(gè)高一級小塊直接相連。d) 每小塊對應(yīng)的“走道”必連接它和一個(gè)比它高一級的小塊。e) “走道”之間不能相交?，F(xiàn)在要證明是一條簡單曲線所圍成區(qū)域與相交部分的一塊包圍點(diǎn)的連通塊。由于由“走道”和小塊的部分邊界組成，故必為可求長曲線。故我們需要證明的邊界是一條簡單曲線。假設(shè)中存在一個(gè)“圈”，即，且，。由于“走道”之間不相交，小塊與小塊之間也不相交，且每個(gè)小塊上必然至少有一條“走道”，每條“走道”必然連接兩個(gè)小塊。所以，必然是若干“走道”部分邊界和小塊部分邊界的相間排列，即“走道”部分邊界，小塊部分邊界，“走道”部分邊界這樣依次相連。那么，這也就對應(yīng)小塊和“走道”依次相連，構(gòu)成一個(gè)環(huán)狀，如下

18、圖：走道3走道2走道n走道1取上述相連中的任意小塊為小塊1，則圈中與它直接相連的小塊只有兩塊。根據(jù)前面討論的性質(zhì)，這兩塊中必有一塊比小塊1高一級，有一塊比小塊1第一級。取高一級的小塊記為小塊2，那么與小塊2 直接相連的另一小塊為小塊3。由性質(zhì)知其必比小塊2高一級。以此類推，小塊n則比小塊1高n-1級，按照相連規(guī)律，它們是不能相連的。這也就證明的“圈”是不存在的。的邊界是一條簡單曲線。由此，我們?nèi)∵吔鐬樗业闹本€，則是所圍成區(qū)域與相交部分的一塊包圍點(diǎn)的連通塊。故由（2）式，而。聯(lián)立（3）、（4）、（5）式，命題得證。 #在得到引理后，我們可以用課堂上完全相同的方法證明絕對可積判定定理，這里不再

19、贅述。定義5定義5 序列,其中可求積,且,稱為的一個(gè)窮竭,若對于任意的窮竭,極限存在.證明:與窮竭的選擇無關(guān).定義,若右端的極限對于任意窮竭存在,則對應(yīng)的積分稱為收斂,記作在這個(gè)定義下,我們將發(fā)展廣義二重積分的理論,那么,我們先將定義闡述得更明確引理5.1 任意窮竭均可視為的臨界子定向集證明：(1) 設(shè)按照窮竭列的定義,中元素的序是依照下標(biāo)的良序關(guān)系給定的.那么在恒同映射下良序集與是保序的.(2)若 , 那么由,我們有: 而這與矛盾從而, 進(jìn)一步說明是的臨界子定向集.引理5.2 任意窮竭列的任一無窮子序列也是一個(gè)窮竭列證明:設(shè)為的一個(gè)無窮子序列，其中由嚴(yán)格單調(diào)遞增的映射,來決定那么由又因?yàn)槭菃?/p>

20、調(diào)的,則:(否則由鴿巢原理知不嚴(yán)格單調(diào)), 又由上可知: 于是有:,即根據(jù)窮竭列的定義可知也是一個(gè)窮竭列.引理5.3 為窮竭列的一個(gè)無窮子序列,若存在,則: 存在且證明: 由引理5.2中的證明: ,則,有 即 注:其實(shí)對于每一個(gè)和,它們都是實(shí)數(shù), 又因?yàn)槭堑囊粋€(gè)無窮子序列可推出是的一個(gè)無窮子序列,于是由數(shù)列的性質(zhì)我們可以直接得出所需結(jié)論,甚至不必關(guān)注是否還是窮竭列.作了上面的準(zhǔn)備工作,我們就可以說明定義5是良好的.定理5.1 若對任意窮竭,極限存在,則與窮竭的選擇無關(guān).從而說明定義5是良好的.證明:記任意兩個(gè)窮竭列分別為和,令,下面我們來構(gòu)造一個(gè)新的窮竭列:在中 有,取 記在中 記在中 記 根

21、據(jù)引理5.1,這樣的取法是做得到的.這樣構(gòu)造出的新數(shù)列滿足:而其中奇數(shù)項(xiàng)組成了的一個(gè)無窮子序列,于是由引理2得: 即的確實(shí)窮竭列由定義知:再因?yàn)榈钠鏀?shù)項(xiàng)組成了的一個(gè)無窮子序列, 偶數(shù)項(xiàng)組成了的一個(gè)無窮子序列,再由引理5.2知:,至此由引理5.3得: 為了證明絕對收斂性,有必要對的情況進(jìn)行一些說明定理5.2 若,則,其中為任一給定的窮竭列.證明:對給定的窮竭列,設(shè)存在(1) 先證明,由上確界的定義有:, 而由,且知: 有 即存在且(2) 對于任意的一個(gè)窮竭列,由于可以看作的臨界子定向集.那么,一個(gè)無窮子序列 且 ,于是有:由上可知,存在那么由(1),(2)可知存在,由(1)和定理1知:反過來,假

22、設(shè)存在,則由于存在,而隨單調(diào)遞增,則,即有上界.于是存在且有定理5.3 在定義5下的廣義二重積分是絕對收斂的,即:證明:注意到,由極限的線性性,我們只需證明: 可積,不難發(fā)現(xiàn),于是取一窮竭列,由定理5.2知:存在但由定理5.2知:最后得 反設(shè)則由定理5.2知:我們不妨假定滿足:(由 知可以選出一個(gè)無窮子序列使得,我們不妨取作為新的即可)設(shè) 首先是可求積的,而且在上是有界可積的,那么積分關(guān)于區(qū)域的線性性是成立的,即我們有:我們又有不妨設(shè)右端兩積分中則:對于,將其代以分化足夠細(xì)的Darboux下和使下面的不等式成立:我們將這些分為兩個(gè)部分:, 即有取,即第一類的并更有 (1)記 ,則可積且在上有界可積又 (2)積分線性性成立,(1)式與(2)式相加得:最后,我們來說明是一個(gè)窮竭列:由 即的確是一個(gè)窮竭列而,這與矛盾定義1與定義5的等價(jià)性證明:(1):存在,則對任意窮竭,記集合記加上自然數(shù)的序關(guān)系構(gòu)成的定向集為而極限是映射:在定向集下的網(wǎng)極限.由知:(取恒同映射,它是保序的)而,從而有,那么存在,而由的任意性,得證(2)反設(shè),則于是對任意窮竭列,從而,再由絕對收斂性得:,矛盾.定義1與定義2，3的等價(jià)性定義一和定義二的等價(jià)性證明與定義一與定義三的等價(jià)性證明是可以一起完成的，那是因?yàn)橛晌覀冊诰W(wǎng)極限中給出的綱領(lǐng)，在我們已經(jīng)證明step1和st