吉林大學(xué)2006年考研數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)

1、吉林大學(xué)2006年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題數(shù)學(xué)分析卷一、（共30分）判斷題1、若函數(shù)在上可積，則在也可積；2、若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；3、任何單調(diào)數(shù)列必有極限；4、數(shù)列的上、下極限都存在；5、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能達(dá)到最小值；6、在整個實(shí)軸上是一致連續(xù)的；7、若函數(shù)沿著任何過原點(diǎn)的直線連續(xù)，則在連續(xù)；8、若函數(shù)在點(diǎn)取極小值，則；9、若，則在點(diǎn)取極大值；10、向量場是無源場。二、（共20分）填空題1、設(shè)，則grad；2、設(shè)，則div；3、設(shè),則rot；4、設(shè)s表示單位球面，則第一型曲面積分；5、數(shù)列的下極限為；三、（共20分）計算下列極限1、；2、；3、；4、。四、（共20分）判斷下列級數(shù)

2、的斂散性1、；2、，其中五、（10分）設(shè)函數(shù)在兩次連續(xù)可微，滿足且。證明：存在使得。六、（10分）計算第二型曲線積分其中為單位圓周，方向?yàn)轫槙r針方向。七、（10分）證明，對任意，都有八、（10分）設(shè)均為常數(shù)，且對任意都有證明：九、（10分）證明，不存在上的正的可微函數(shù)，滿足十、（10分）試構(gòu)造區(qū)間上的函數(shù)序列，具有如下性質(zhì)：（1）對每個n，是上的正的連續(xù)函數(shù)；（2）對每個固定的，；（3）高等代數(shù)與空間解析幾何卷一、（共32分）填空1、平面上的四個點(diǎn)在同一個圓上的充要條件為。（要求用含有的等式表示）；2、設(shè)方陣只與自己相似，則必為；3、設(shè)為可逆矩陣，則直線與直線的位置關(guān)系為。（要求填寫相交、平行

3、、重合、異面四者之一）；4、設(shè)為四階正方矩陣，其中均為四維列向量；，且線性無關(guān)。求線性方程組的通解；二、（16分）求二次曲面的主方向；三、（17分）設(shè)為n維歐式空間，與為中向量，線性無關(guān)，且對任意的均有。證明，必有上的正交變換，使得四、（17分）設(shè)為數(shù)域上的n維向量空間，均為上的線性變換，且滿足。證明：五、（17分）設(shè)為實(shí)對稱矩陣，證明，必有實(shí)對稱矩陣，使得為正定矩陣。六、（17分）設(shè)為數(shù)域上的2n維向量空間，為上的線性變換，且。證明，存在的一個適當(dāng)基底及形矩陣，使得在該基底下恰好對應(yīng)矩陣。七、（17分）設(shè)為實(shí)數(shù)域上的全體n階方陣在通常的運(yùn)算下所構(gòu)成的向量空間，為上的線性變換，且對任意的，。1、求的特征值；2、對于每一個特征值，求其特征子空間；3、證明恰為的所有特征子空間的直接和。