歷屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽真題

1、高數(shù)競賽預(yù)賽試題（非數(shù)學(xué)類）2009年 第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、填空題（每小題5分，共20分）1計算_，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足, 則_.3曲面平行平面的切平面方程是_.4設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則_.二、（5分）求極限，其中是給定的正整數(shù).三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.五、（10分）已知，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.六、（10分）設(shè)拋物線過原點.當(dāng)時,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使

2、此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.七、（15分）已知滿足, 且, 求函數(shù)項級數(shù)之和.八、（10分）求時, 與等價的無窮大量.2010年 第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、（25分，每小題5分）（1）設(shè)其中求（2）求。（3）設(shè)，求。（4）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。（5）求直線與直線的距離。二、（15分）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且且存在一點，使得。三、（15分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線與在出相切，求函數(shù)。四、（15分）設(shè)證明：（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)且時，級數(shù)發(fā)散。五、（15分）設(shè)是過原點、方向為，（其中的直線，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉(zhuǎn)。（1）求其轉(zhuǎn)

3、動慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。六、(15分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線上，曲線積分的值為常數(shù)。（1）設(shè)為正向閉曲線證明（2）求函數(shù)；（3）設(shè)是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求。2011年 第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一 計算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求；（2）.求；（3）已知，求。二（本題10分）求方程的通解。三（本題15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實數(shù)，使得。四（本題17分）設(shè)，其中，為與的交線，求橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。五（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分（）取上側(cè)，是S在點處的切平面，是原點到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計算：（1）；（2）六（本題12分）設(shè)f(x)是在內(nèi)的可微函數(shù)，且，其中，任取實數(shù)