數(shù)學(xué)建模——水塔流量問題

1、.實驗十四水塔流量問題【實驗?zāi)康摹?了解有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念和原理。2初步了解處理數(shù)據(jù)插值與擬合的基本方法，如樣條插值、分段插值等。3學(xué)習(xí)掌握用MATLAB命令處理數(shù)據(jù)插值與擬合問題?！緦嶒瀮?nèi)容】某居民區(qū)有一供居民用水的圓形水塔，一般可以通過測量其水位來估計水的流量。但面臨的困難是，當水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間是無法測量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時。水塔是一個高12.2米、直徑17.4米的正圓柱。按照設(shè)計，水塔水位降到約8.2米時，水泵自動啟動，水位升到約10.8米時水泵停止工作。某一天的水位

2、測量記錄如表1所示，試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量。表1水位測量啟示錄（/表示水泵啟動）時刻（h）水位（cm）09680.929481.849312.959133.878984.988815.908697.018527.938398.97822時刻（h）水位（cm）9.98/10.92/10.95108212.03105012.95102113.8899414.9896515.9094116.8391817.93892時刻（h）水位（cm）19.0486619.9684320.8482222.01/22.96/23.88105924.99103525.9

3、11018【實驗準備】在生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中，常常遇到這樣的問題：由實驗或測量得到的一批離散樣點，需要確定滿足特定要求的曲線或曲面（即變量之間的函數(shù)關(guān)系或預(yù)測樣點之外的數(shù)據(jù)）。如果要求曲線（面）通過所給的所有數(shù)據(jù)點（即確定一個初等函數(shù)通過已知各數(shù)據(jù)，一般用多項式或分段多項式），這就是數(shù)據(jù)插值。在數(shù)據(jù)較少的情況下，這樣做能夠取得好的效果。但是，如果數(shù)據(jù)較多，那么插值函數(shù)是一個次數(shù)很高的函數(shù)，比較復(fù)雜。如果不要求曲線（面）通過所有的數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，可得到更簡單實用的近似函數(shù)，這就是數(shù)據(jù)擬合。函數(shù)插值和曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者

4、在數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。1數(shù)據(jù)插值的基本方法拉格朗日插值若知道函數(shù)在互異的兩個點和處的函數(shù)值和，而想估計該函數(shù)在另一點處的函數(shù)值，最自然的想法是作過點（，）和點（，）的直線，用作為準確值的近似值，如果得到的結(jié)果誤差太大，還可增加一點的函數(shù)值，即已知在互異的三個點，和處的函數(shù)值，和，可以構(gòu)造過這三點的二次曲線，用作為準確值的近似值。一般的，若已知在互異的1個點，處的函數(shù)值，則可以考慮構(gòu)造一個過這1個點的次數(shù)不超過的多項式 （1）通過所有1個點，即滿足，0，1，（2）然后用作為準確值的近似值。這樣構(gòu)造出來的多項式稱為的次拉格朗日插值多項式或插值函數(shù)。分段插值多項式歷來都被認為是最好的逼近工具之一

5、，它插值光滑，但不具有收斂性，會隨著節(jié)點數(shù)目增多而次數(shù)升高，一般不宜采用高次多項式（如7）插值，否則逼近的效果往往是不理想的，甚至發(fā)生龍格振蕩（當節(jié)點數(shù)目不斷增大時，在區(qū)間中部趨于，但對于區(qū)間兩端的，并不趨于，也稱龍格現(xiàn)象）。在插值范圍較小，用低次插值往往就能奏效。最直觀的辦法就是將各數(shù)據(jù)點用折線連接起來，這種增加節(jié)點，用分段低次多項式插值的化整為零的處理方法稱作分段插值法，即不去尋求整個插值區(qū)間上的一個高次多項式，而是把區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間。如果 （3）那么分段線性插值公式為，0，1，（4）分段線性插值通常有較好的收斂性和穩(wěn)定性，算法簡單，克服了龍格現(xiàn)象，其缺點是不如拉格朗日插值多項式光滑

6、。樣條插值分段線性插值函數(shù)在節(jié)點的一階導(dǎo)數(shù)一般不存在，且不光滑，這就導(dǎo)致了樣條插值函數(shù)的提出。在機械制造、航海、航空工業(yè)中，經(jīng)常需要解決下列問題：已知一些數(shù)據(jù)點（，），（，），（，），如何全部通過這些數(shù)據(jù)點作一條比較光滑的曲線呢？繪圖員解決了這一問題，首先把數(shù)據(jù)描繪在平面上，再把一根富有彈性的細直條（稱為樣條）彎曲，使其一邊通過這些數(shù)據(jù)點，用壓鐵固定其形狀，沿樣條邊繪出一條光滑的曲線，往往要用幾根樣條，分段完成上述工作，同時也應(yīng)讓連接點處保持光滑。對繪圖員用樣條畫出的曲線，進行數(shù)學(xué)模擬，就導(dǎo)出了樣條函數(shù)的概念。如今已經(jīng)成為了一個應(yīng)用極為廣泛的數(shù)學(xué)分支?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)上所說的樣條，實質(zhì)上指分段多項式的

7、光滑連接。設(shè)有區(qū)間，的一個劃分如（3）式，稱分段函數(shù)為次樣條函數(shù)，若它有：（1）在每個小區(qū)間上的次數(shù)不超過多項式；（2）（3）在區(qū)間，上有1階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；用樣條函數(shù)作出的插值稱為樣條插值，工程上廣泛采用三次樣條插值。2曲線擬合的基本方法曲線擬合問題是指：已知平面上個點（，），0，1，互不相同，尋求函數(shù)，使在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。線性最小二乘法是解決曲線擬合最常用的方法，其基本思路是，令（5）其中是事先選定的一組函數(shù)，系數(shù)（0，1，, t=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95

8、13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91; h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018; c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);%用3次多項式擬合第1時段的水位 a1=polyder(c1);%對擬合的多項式求導(dǎo)數(shù)得到第1時段流量 tp1=0:0.1:9;%對第1時段的時刻進行劃分 x1=abs(polyval(a1,tp

9、1);%計算第1時段各時刻的流量類似地，可計算第2時段各時刻的流量。 c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3); a2=polyder(c2); tp2=11:0.1:20.8; x2=abs(polyval(a2,tp2);在第1供水時段（t911）之前（即第1時段）和之后（即第2時段）各取幾點，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合水泵第1供水時段的流量。為使流量函數(shù)在t9和t11連續(xù)，我們簡單地只取4個點，擬合3次多項式（即曲線必過這4個點），實現(xiàn)如下： xx1=abs(polyval(a1,8 9); xx2=abs(polyval(a2,11 12); xx12=xx1,x

10、x2; c12=polyfit(8 9 11 12,xx12,3);%擬合水泵供水時段的流量函數(shù) tp12=9:0.1:11; x12=polyval(c12,tp12); %計算第1供水時段各時刻的流量在第2供水時段之前取t20，20.8兩點的流水量，第3時段僅有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量： dt3=diff(t(22:24);%最后3個時刻的兩兩之差 dh3=diff(h(22:24);%最后3個水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3;%用差分計算t（22）和t（23）的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23);%取第2時段20

11、，20.8兩點和第3時段23.88，24.99兩點 xx3=abs(polyval(a2,t3(1:2),dht3;取第2時段20，20.8兩點和第3時段23.88，24.99兩點的流量 c3=polyfit(t3,xx3,3)%擬合出第2水泵供水時段的流量函數(shù) tp3=20.8:0.1:24; x3=polyval(c3,tp3);%輸出第2供水時段（外推到t24）各時刻的流量求第1、2時段和第1、2供水時段流量的積分之和，就是一天總用水量。雖然諸時段的流量已表示為多項式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍可用數(shù)值積分計算： y1=0.1*trapz(x1)%第1時段用水量，0.1為積分步長y1

12、 = 146.1815 y2=0.1*trapz(x2) %第2時段用水量y2 = 258.0441 y12=0.1*trapz(x12) %第1水泵供水時段用水量y12 = 50.3990 y3=0.1*trapz(x3) %第2水泵供水時段用水量y3 = 74.9138 y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01%總用水量為水位差乘以水塔截面積，0.01是因為流量單位為厘米y = 1.2592e+003【結(jié)果分析】計算出來的各時段用水量可以用測量記錄來檢驗，y1可用第1時段水位測量下降高度為968822146來檢驗，類似地，y2用1082822260來檢驗。供水時段流量的一種檢

13、驗方法如下：供水時段用水量加上水位上升值260是該時段泵入的水量，除以時間長度得到水泵的功率（單位時間泵入水量），而兩個供水時段的功率應(yīng)大致相等。第1、2時段水泵的功率計算如下： p1=(y12+260)/2p1 = 155.1995 tp2=20.8:0.1:23; xp2=polyval(c3,tp2); p2=(0.1*trapz(x3)+260)/2.2p2 =152.2335可以看到，兩次水泵泵水的功率差別不大。下面是水塔一天的流量曲線圖：圖14.1當取三次多項式擬合的流量曲線圖由圖14.1我們可以看到，流量曲線與原始記錄基本上相吻合，但在第1時段和第1泵水時段的交接處曲線不太光滑，

14、這說明我們采用3次曲線通過4點的做法不夠好，應(yīng)該多取幾點進行擬合。0點到10點很流量很低，10點到下午3點即中午時間段是用水高峰期?！揪毩?xí)與思考】1假定某天的氣溫變化見下表，試找出這一天的氣溫變化規(guī)律：時刻（h）0123456789101112溫度（t）15141414141516182022232528時刻（h）131415161718192021222324溫度（t）3132312927252422201817162在化工生產(chǎn)中常常需要知道丙烷在各種溫度和壓力下的導(dǎo)熱系數(shù)。下面是實驗得到的一組數(shù)據(jù)：（）68688787106106140140（103）9.798113.3249.007813.3559.791814.2779.656312.4630.08480.08970.07620.08070.06960.07530.06110.0651試求99（）和10.3（103）下的導(dǎo)