《風(fēng)險態(tài)度已改》PPT課件.ppt

1、Decision Theory and Methods,決策理論與方法,國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息系統(tǒng)與管理學(xué)院 2012年3月6日 星期二,2,第五講：風(fēng)險態(tài)度,3,估計效用函數(shù)值的方法 離散型后果的效用設(shè)計 連續(xù)型后果的效用函數(shù)構(gòu)造 用解析函數(shù)近似效用函數(shù),1、效用函數(shù)的構(gòu)造,4,概率當(dāng)量法 確定當(dāng)量法 增益當(dāng)量法 損失當(dāng)量法 從純理論角度看，這四種方法并沒有實質(zhì)性的區(qū)別；但是實驗結(jié)果表明，使用確定當(dāng)量法時決策人對最優(yōu)后果(增益)的保守性和對損失的冒險性都比概率當(dāng)量法嚴(yán)重(Hershey，1982)；采用增益當(dāng)量法與損失當(dāng)量法時產(chǎn)生的誤差也比用概率當(dāng)量法大，因此只要有可能，應(yīng)該盡可能使用概率當(dāng)

2、量法,1.1 估計效用函數(shù)值的方法,5,1）概率當(dāng)量法 若 ， ，則存在 ，使 也就是說存在 ，使 由于確定性的后果 ，所以對確定性后果，式亦為 上式的含義是確定后果與一個隨機性后果的展望無差異，這個展望以概率獲得x1，以概率1-獲得x3. ，通過概率當(dāng)量值去設(shè)定三個后果之間的偏好關(guān)系，并因此設(shè)定效用值的做法稱為概率當(dāng)量法。因為它直接從von Neumann-Morgenstern公理導(dǎo)出，所以又稱NM法,6,面對一博弈：以概率 贏1000元，以概率1- 損失1000元，假設(shè)損失1000元的效用為-10，那么可得到怎樣的一個概率，使該博弈與確定性的0之間無差異,即 0G(, 1000; -10

3、00: 1-) 或 U(0)= U(1000)+(1- )U(-1000) 假設(shè)贏1000元概率為0.6，0的效用為0，將 U(-1000)=-10， =0.6到上式，解得,概率當(dāng)量法舉例,7,2)確定當(dāng)量法 若對于確定的x1，x3，取=0.5（或取0與1之間的其它值），則上式即為 由式確定0.5x1+0.5x3的確定當(dāng)量x2；再令u(x1)=1，u(x3)=0，則后果x2的效用等于0.5。這種方法稱為確定當(dāng)量法，又稱修正的NM法。 （3）增益當(dāng)量法 在決策中，通常將最優(yōu)后果稱為增益，將最差后果稱為損失。若已知確定后果和最差后果，可以應(yīng)用概率當(dāng)量法中的公式確定最優(yōu)結(jié)果。 （4）損失當(dāng)量法 若已

4、知確定結(jié)果和最優(yōu)結(jié)果，則可以應(yīng)用上述公式確定最差結(jié)果,兩人一組，其中一個人作為決策人，另一個作為決策分析人員，設(shè)定錢對決策人的效用，并畫出效用曲線；完成后互換角色,給定決策人的資產(chǎn)為w 分x(貨幣)軸為三個區(qū)間： (-w, -w/2); (-w/2, 0); (0, w) (0, w)區(qū)間用確定當(dāng)量法 (-w/2, 0)區(qū)間先用概率當(dāng)量法，再用確定當(dāng)量法 (-w, -w/2)同上,角色互換,9,后果為離散型隨機變量時，后果集C中元素為有限個，構(gòu)造后果集上的效用函數(shù)有兩方面的內(nèi)容: (1)確定各后果之間的優(yōu)先序; (2)確定后果之間的優(yōu)先程度。 離散型后果效用值的設(shè)定可以采用概率當(dāng)量法，簡稱NM

5、法,1.2 離散型后果的效用設(shè)計,10,第一步：c1，c2C使c2 c1，令u（c1）=0，u（c2）=1，所選擇的c1、c2應(yīng)使后果優(yōu)劣的比較易于進行。 第二步：對c2 c3 c1求a（0a1），使得c3ac2+（1-a）c1，則u（c3）=u（ac2+（1-a）c1）=au（c2）+（1-a）u（c1）。 第三步：若c1 c4 求a（0a1），使c1ac2+（1-a）c4，則u（c1）=u（ac2+（1-a）c4）=au（c2）+（1-a）u（c4），所以u（c4）=a/（a-1）。 第四步： c5 c2 ，求a（0a1），使c2ac5+（1-a）c1，則u（c2）=u（ac5+（1-a）

6、c1）所以u（c5）=1/a。 第無步：一致性檢驗 設(shè)c5 c4c3且c3、c4、c5已知，由c4ac5+（1-a）c3，可求得u（c4）。若其與已知的u（c4）不符，則反復(fù)進行第二和第四步，直到通過一致性檢驗,11,例 天氣預(yù)報說球賽時可能有雨，一個足球愛好者要決定是否去球場看球,首先作該問題的決策樹。由題意可知決策人對四種后果優(yōu)劣的排序是：c2c3c4c1,1.2 離散型后果的效用設(shè)計,12,第一步: 令u(c1)=0, u(c2)=1。 第二步: 詢問決策人，下雨在家看電視這種后果與去球場看球有多大概率下雨被淋相當(dāng)，若決策人的回答是0.3，則c30.7 c2+0.3c1，u(c3)0.7

7、u(c2) 0.7。 第三步:詢問決策人，無雨看電視這種后果與去球場看球有多大概率下雨被淋相當(dāng)，若決策人的回答是0.6，則c40.4c2+0.6c1，得u (c4)0.4c20.4。 第四步: 進行一致性校驗。c30.4c2+0.6c4，則u(c3)=0.640.7。重復(fù)二、三，若u(c3)不變，則調(diào)整u(c4)=0.5，決策人仍認(rèn)為c30.4c2+0.6c4，則通過校驗,1.2 離散型后果的效用設(shè)計,13,當(dāng)后果c為連續(xù)變量時，上述方法就不適用。 但是如果能通過分析找到u(c)的若干特征值，求特征點的效用后，再連成光滑曲線； 或u(c)是連續(xù)、光滑的，則可分段構(gòu)造u(c,1.3 連續(xù)型后果的

8、效用函數(shù)構(gòu)造,14,隨著學(xué)習(xí)時間的增加，效用值也會有所增加 但是由于進入狀態(tài)需要一定的時間，所以在t較小時，效用的增加較慢； 過了一小段時間后，效用與所化時間基本上是線性關(guān)系； 隨著學(xué)習(xí)時間的不斷增加，人會疲勞，效率會下降； 時間太長，這時的效果不如時間適度，即存在效用值最大的點tm； 再增加學(xué)習(xí)時間又會從效用最大值處下降。其中與效用最大值對應(yīng)的tm是因人而異。 由于效用函數(shù)的惟一性(即在正線性變換下惟一，見效用的公理化定義)，效用的值域可以是整個實軸，而不必限于0,1區(qū)間,每天的學(xué)習(xí)時間與效用,15,為了分析和運算方便，分析人員通常希望能夠用某種解析函數(shù)式u(x)來近似地表達效用。 常用的函

9、數(shù)有冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù),1.4 用解析函數(shù)近似效用函數(shù),某廠考慮兩種生產(chǎn)方案：產(chǎn)品A可以0.3的概率獲利5萬，以0.2的概率獲利8萬，以0.5的概率獲利9萬元；產(chǎn)品B肯定可以獲利8萬元，決策人甲的效用函數(shù)u1（x）=x；決策人乙的效用函數(shù)： 1.畫出兩個決策人的效用函數(shù)曲線，求甲、乙兩個決策人分別做出何選擇？ 2 若生產(chǎn)A、B均需另加5萬元的固定成本，甲、乙兩個決策人又該作何選擇,課堂討論,17,風(fēng)險包含有兩方面的內(nèi)容： (1)后果損失的嚴(yán)重程度； (2)出現(xiàn)損失的可能性大小。 可采用以下幾種指標(biāo)來度量風(fēng)險,2、風(fēng)險與效用,18,設(shè)方案a的后果為收益y，y的概率密度函數(shù)為f（y），期望值為y，則

10、方差 在用方差度量風(fēng)險時，方差越大風(fēng)險也越大,2.1 風(fēng)險的度量指標(biāo),19,2）自方差 當(dāng)注意力集中在可能的損失時，可以用自方差s2度量風(fēng)險 式中，c為決策人設(shè)定的臨界值，即決策人把效益小于c的部分看做風(fēng)險，用自方差具有集中研究風(fēng)險的優(yōu)點，但是并不可靠,2.1 風(fēng)險的度量指標(biāo),20,臨街概率的定義為 它是臨界c以下的概率密度函數(shù)的面積，所描述的是企業(yè)破產(chǎn)、倒閉等狀況的概率，可以直接解釋風(fēng)險的含義，這種定義容易被企業(yè)負(fù)責(zé)人理解并接受。但是這種描述仍然比較粗略,2.1 風(fēng)險的度量指標(biāo),21,Fishburn(1977)提出把風(fēng)險的自方差定義和臨界概率定義結(jié)合起來，用下式作為風(fēng)險的定義： 當(dāng)a=2時

11、上式就是自方差；a=0時上式為臨界概率,2.1 風(fēng)險的度量指標(biāo),22,如果效用函數(shù)是嚴(yán)格向下凹，則是風(fēng)險喜好者。 UE(W)EU(W,2.2 對風(fēng)險的態(tài)度,23,如果效用函數(shù)是線性的，則是風(fēng)險中性者。 UE(W)=EU(W,2.2 對風(fēng)險的態(tài)度,24,如果效用函數(shù)是嚴(yán)格向上凸的，則是風(fēng)險厭惡者。 UE(W)EU(W,2.2 對風(fēng)險的態(tài)度,25,互動游戲,26,為避免一個博弈，此人愿意放棄的財富的最大數(shù)值，被稱為風(fēng)險酬金(risk premium,2.3 風(fēng)險酬金,1 把一副撲克牌的4張A取出，牌面向下洗勻后排在桌面上。你可以從下列兩種玩法中人選一個： （1）先任意翻開一張再決定；（a）付出35

12、元，叫停；或者（b）繼續(xù)翻第二張，若第二張為紅，你可以收入100元，第二張為黑則付出100。 （2）任意翻開一張，若次牌為紅可以收入100元，為黑則付出100元。 畫出此問題的決策樹。 設(shè)某決策人的效用函數(shù)為u=ln(1+0.005x)，他應(yīng)該選擇哪種玩法,課堂討論,對數(shù)效用函數(shù)：U(W)=Ln(W) 博弈G(5, 0.8; 30, 0.2) 博弈的期望財富是： E(G)=0.8($5)+0.2($30)=$10 期望財富的效用值：UE(G)=2.3,財富效用的期望值： EU(G)=0.8U($5)+0.2U($30)=1.97 UE(G) EU(G)，風(fēng)險回避者。 $7.17為G的確定等量財

13、富數(shù)額,為了避免博弈，愿意放棄： E(W)-W*=10-7.17元=2.83元,32,設(shè)某人現(xiàn)有積蓄為0，增加1000元對此人的作用(價值)與有了1000元后再加1500元相等,則此人的財富的價值函數(shù)是凹函數(shù),2.4 對后果的偏好強度,33,若詢問貨幣后果對這個決策人的實際價值即效用時，決策人認(rèn)為 1000元(0.5,0; 0.5,2500) 則與其說此人是風(fēng)險厭惡不如說他是相對風(fēng)險中立。為此有必要對確定性后果的偏好強度加以量化，這就是可測價值函數(shù),2.4 對后果的偏好強度,34,定義3.3 與弱序一致的序數(shù)價值函數(shù)： 設(shè)方案集A=a1,a2an，P是定義在A上的決策人的弱序，若A上的實值函數(shù)

14、v滿足： 則稱v為與弱序P一致的序數(shù)價值函數(shù)。 定理3.3 對有限方案集A=a1,a2,an和弱序P，總可以構(gòu)造一個與該弱序一致的序數(shù)價值函數(shù)v,2.5 可測價值函數(shù),35,定義3.4 可測價值函數(shù)： 在后果空間X上的實值函數(shù)v，對w，x，y，zX，有 且V對正線性變換是唯一確定的。則稱v為可測價值函數(shù)。如下圖所示,2.5 可測價值函數(shù),36,決策人的真實的風(fēng)險態(tài)度被稱作相對風(fēng)險態(tài)度(relative risk attitude)。設(shè)效用函數(shù)u和可測價值函數(shù)v在X上都是單調(diào)遞增，且連續(xù)二次可微。 1效用函數(shù)反映的風(fēng)險的局部測度 0 u在x 處凹, 風(fēng)險厭惡 r(x)=-u”(x)/u(x) =

15、 0 u在x 處線性, 風(fēng)險中立 0 在x處有遞減的邊緣價值 m(x)=-v”(x)/v(x) =0 在x處有不變的邊緣價值 m(x) ，稱為在x 處相對風(fēng)險厭惡 r(x)m (x)，稱為在x 處相對風(fēng)險中立 r(x)m(x) ，稱為在x 處相對風(fēng)險追求,2.6 相對風(fēng)險態(tài)度,37,貨幣效用的基本性質(zhì)： (1)單調(diào)遞增且有界； (2)錢數(shù)較少時，u(x)近乎線性； (3)x0時， u(x)通常是凹的； (4)x0與x0處的形狀不同； (5)錢對決策人的效用函數(shù)通常是隨諸多因素的改變而變化的,2.7 貨幣的基本效用,38,給定決策人的資產(chǎn)為w 分x(貨幣)軸為三個區(qū)間： (-w, -w/2);

16、(-w/2, 0); (0, w) (0, w)區(qū)間用確定當(dāng)量法 (-w/2, 0)區(qū)間先用概率當(dāng)量法，再用確定當(dāng)量法 (-w, -w/2)同上,2.7 貨幣的效用函數(shù)的構(gòu)造,39,1）（0，1000）區(qū)間的效用函數(shù)值的設(shè)定 設(shè)定（0，1000）區(qū)間效用函數(shù)可以用確定當(dāng)量法。 取x3=0，x1=1000，并令u（0）=0，u（1000）=1，就可以用式（3.11）確定效用值等于0.5的x2： X2（0.5，0；0.5，1000） 比如說，x2=300，它與0，1000機會各半相當(dāng)，因此u（300）=0.5。 根據(jù)同樣的思路，可以設(shè)定（0，1000）區(qū)間內(nèi)與其他效用值對應(yīng)的后果值。假設(shè)他接著決定

17、： 1000.5（0）+0.5（300）即100（0.5，0；0.5，300） 則u（100）=0.5u（0）+0.5（300）=0.5*0.5=0.25.。 5000.5（300）+0.5（1000），即500（0.5，300；0.5，1000） 則u（500）=0.5u（300）+0.5u（1000）=0.5*0.5+0.5*1=0.75,2.7 貨幣的效用函數(shù)的構(gòu)造,40,2）（-500，0）區(qū)間 在（-500，0）區(qū)間可以先用NM法即式（3.11）：x2ax1+（1-a）x3求-500的效用值。令x1=500，x2=0，x3=-500；由決策人確定當(dāng)a取什么值時上式成立。假設(shè)決策人認(rèn)為

18、：0（0.4，-500；0.6，500）則u（0）=0.4u（-500）+0.6u（500）因此u（0）=0，則可知u（500）-1.06.在用修正的NM法：x2（0.5，-500；0.5，0）確定x2=-200，則u（-200） -0.53. （3）（-1000，-500）區(qū)間 用NM法，令x2ax1+（1-a）x3中x2=-500，x1=0，x3=-1000；由決策人認(rèn)為： -500（0.35，-1000；0.65，0） 則u（-1000 -3.03。 如果有必要還可以設(shè)定（-1000，-500）區(qū)間中其他后果的效用值。 根據(jù)（2），（3）中的結(jié)果可以得到效用函數(shù)的左半部分,2.7 貨幣的效用函數(shù)的構(gòu)造,41,2.7 貨幣的效用函數(shù)的構(gòu)造,1 把一副撲克牌的4張A取出，牌面向下洗勻后排在桌面上。你可以從下列兩種玩法中人選一個： （1）先任意翻開一張再決定；（a）付出35元，叫停；或者（b）繼續(xù)翻第二張，若第二張為紅，你可以收入100元，第二張為黑則付出100。 （2）任意翻開一張，若次牌為紅可以收入100元，為黑則付出100元。 畫出此問題的決策樹。 設(shè)某決策人的效用函數(shù)為u=ln(1+0.005x)，他