高等數(shù)學(xué)練習(xí)題附答案

1、1. 收斂的數(shù)列必有界.2. 無窮大量與有界量之積是無窮大量.3. 閉區(qū)間上的間斷函數(shù)必?zé)o界.4. 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)函數(shù).()()線.()()8.若z f(X,y)在(Xo,yo)處的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)z f(X,y)在(xo,yo)處可微.()9.微分方程的含有任意常數(shù)的解是該微分方程的通解()10.設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1 )內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (0)f (0)1,貝U f(0)為f (x)的一個極小值. 二、填空題.(每題2分，共20 分)1.設(shè) f(X1) X2，貝U f(x 1).12X 1，貝U lim .-X 02 13.設(shè)單調(diào)可微函數(shù)f (X)的反函數(shù)為

2、g(x) , f (1)3, f (1)2.若 f(x)2,f (3)6 則 g (3).專業(yè)年級學(xué)號姓名、判斷題.將或X填入相應(yīng)的括號內(nèi).(每題2分，共20 分)()()()()5. 若f(x)在Xo點可導(dǎo)，則f(X )也在Xo點可導(dǎo).6. 若連續(xù)函數(shù)yf(x)在Xo點不可導(dǎo)，則曲線y f(X)在(Xo, f(Xo)點沒有切7. 若f (X)在a,b上可積，貝U f (X)在a,b上連續(xù).4. 設(shè) U xy ,則 du .y5. 曲線X26y y3在(2 , 2)點切線的斜率為.6. 設(shè) f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，f (1) 1, F(x)f()f(x2),則 F (1).X卄 f(x)7.若0t

3、2dtx2(1x),則 f (2).8. f(x)X 2具在0,4上的最大值為.9.廣義積分0 e2xdx10.設(shè)D為圓形區(qū)域x2y21,yj1 x5dxdy .D1(n 1)22.求 y (X 1)(x 2)2(x3)3(X 10)10 在(0, + )內(nèi)的導(dǎo)數(shù).、計算題(每題5分，共40分)11. 計算 lim(=n n3. 求不定積分， dx.7x(1 x)4. 計算定積分0寸sin3 X sin5 xdx.5. 求函數(shù) f (x, y) x3 4x2 2xy y2 的極值.6.設(shè)平面區(qū)域D是由y 仮,y x圍成，計算sinidxdy.D y7.計算由曲線xy1,xy 2,y x,yV3

4、X圍成的平面圖形在第一象限的面積.y空的通解. y四、證明題(每題10分，共20分)8.求微分方程1.證明：arc ta nx arcs in ” x (2.設(shè)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且證明：方程F(x) 0在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個實根.f(x) 0,高等數(shù)學(xué)參考答案、判斷題.將或X填入相應(yīng)的括號內(nèi)(每題 2分，共20分)1. V； 2. X； 3. X； 4. X； 5. X； 6. X； 7. X； 8. X； 9. V； 10. V. 、填空題.(每題2分，共20分)1. x2 4x 4 ； ； 2； 4. (y 1/ y)dx(x x/y2)dy ；3； 7.幼36 ；

5、； 2；.三、計算題(每題5分，共40分)1. 解:因為話2 n L1(2n)2且 nim(20，lim m=0nn2由迫斂性定理知:limn2.解：先求對數(shù)3.解：原式=2In y1jrx(Anln(x1=2 Id 丘(vx)2=2 arcsin Jx4.解：原式=1(n 1)21) 2ln(x心)=02)101 n(x10)I 320 Jsin xcos xdx32 cosxsin 2 xdx03cosxsin2 xdx232 sin2 xd sin x03sin2 xdsinx2= 2sin2x舟5|si nx5 2=4/55. 解:fx3x28x 2y0 fy 2x 2y 00 時 f

6、xx(0,0)8，fyy(0,0)2，fxy(0,0)(8)2(2)20 且 A=(0,0）為極大值點且f (0,0) 022時 fxx(2,2)4，fyy(2,2)2，fxy(2,2)4 ( 2)220無法判斷6. 解：D=(x,y)O. 2y 1,y x y0沁 dxdy y sin y J0dy y2dx=1 sin y0qdy10(sin yysin y)dy=cosy010 yd cos y=1 cos1ycosy010 cos ydy=1 sin17.解：令uxy,;則1738.解：令y2知（U）2u4x由微分公式知:2dx(2dxdxc)四.證明題（每題10分，共20 分）1.

7、解:設(shè) f (x)arcta nx arcs inf(x) 112x1 x2x2TTT,X =01 x20 f (0)0 0c 0即:原式成立。2. 解:且 F(a)又 F（X）F(x)在a,b上連續(xù)a 1bdt 0 b f (t) I 丿 a 丿故方程F(x) 0在(a,b)上至少有一個實根.1f(x)亍 f(x) 0f (x)即F(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增F（x）在區(qū)間（a,b）上有且僅有一個實根.高等數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)號姓名、判斷題（對的打2,錯的打X；每題 2分，共10 分）1. f(x)在點Xo處有定義是f(X)在點Xo處連續(xù)的必要條件.2. 若y f(x)在點Xo不可導(dǎo)，則曲線y f(x

8、)在(Xo, f(Xo)處一定沒有切線.3.若f(x)在a,b上可積, 積.g(x)在a, b上不可積，則f (X) g(X)在a, b上必不可4.方程 xyz 0 和 X2 y2z20在空間直角坐標(biāo)系中分別表示三個坐標(biāo)軸和一個5.設(shè)y*是一階線性非齊次微分方程的一個特解，y是其所對應(yīng)的齊次方程的通解，則y y y*為一階線性微分方程的通解.、填空題(每題2分，共20分)1.設(shè) f(3x)J2x 1 , f (a)5,則 a .2.設(shè) f (X)3.設(shè) f(x)ln(1 2x)，當(dāng) f(0)arcs in3xlim x(11)2xt，則 f時，f(x)在點X 0連續(xù).(X).4.已知f (x)

9、在X a處可導(dǎo)，且f (a) A，則 lim f(a 2h) f(a 3h)h 05. 若 2f (X) cosx f (X)2，并且 f(0)1，貝U f (X).dx6. 若 f (x), g(x)在點 b 左連續(xù)，且 f (b)g(b), f (x) g (x) (a x b)，則f (x)與g(x)大小比較為f (x)g(x).7. 若 y sin X2，貝Udy2;.d(x )dxX18. 設(shè) f (X) x2lntdt，貝U f (?) .9.設(shè) zex2y，則 dz (1,1)10.累次積分三、計算題(前sin X(1. 0 1. limX 0XRVr2 X2dx0 06題每題5

10、分，后兩題每題6分，共42分)1t)tdt廠e2廠Ldt ；2.設(shè) y ln Je2x 1 sin tf (X2y2) dy化為極坐標(biāo)下的累次積分為卜 C sinx cosx ,，求y;3. Tsinordx；2FEd設(shè)乜,求:Z6.求由方程 2y x (x y) ln(xy)所確定的函數(shù)7.設(shè)平面區(qū)域D是由yJX，y x圍成，計算y y(x)的微分dy . sindxdy.y8. 求方程 yin ydx (x In y)dy0在初始條件yx1 e下的特解.四、(7分)已知 f (x)x3 ax2 bx 在 x1處有極值 2，試確定系數(shù)a、b，并求出所有的極大值與極小值.五、應(yīng)用題(每題7分，

11、共14分)1. 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比 .已知當(dāng)速度為10(km/h) 時，燃料費為每小時6元，而其它與速度無關(guān)的費用為每小時 96元.問輪船的速度為 多少時,每航行1 km所消耗的費用最??？2. 過點(1,0)向曲線y Jx 2作切線，求：(1)切線與曲線所圍成圖形的面積;(2)圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.六、證明題(7分) 設(shè)函數(shù)f (x)在0g(x)里在 0 xxx a上的二階導(dǎo)數(shù)存在，且f (0)0, f(X)0.證明a上單調(diào)增加.高等數(shù)學(xué)參考答案X； 3. V; 4. X； 5. V .、判斷題1. V; 2.、填空題2 2x;2. ; 3. 4(1 x

12、)e ; 4. 5A; 5. 1 sinx; 6.32 27. cosx , 2xcosx ; 8. ln2 ; 9. 2dx dy ; 10.02dR0 f(r cos2 )rdr .三、計算題11.原式 lim(1 sinx)SncosxX 0xsin x2. y1J2x2e2x (e2x 1) e2x 2e2x(e2x 1)23.4.原式=sinx cosx2dx (sin x cosx)設(shè) x 2 si nt 則 dx 2costdt原式=j4sint 2 cost 2costdt5._2y2尸2x2y2y(x2xy3y2P6.即 2dy dx in(x y)dx 故 dy 2 ln(

13、x y)dx3 ln(X y)(本題求出導(dǎo)數(shù)后，用-7 sin y7.dxdyD y兩邊同時微分得:ln(x y)dydy1dy0 ，(dxdy)8.原方程可化為dxdyydx解出結(jié)果也可)y sin y2y y1xyin ydxdy 1yin y 丄 dyyCyx1e代入通解得C 1故所求特解為:2(ln y) 2xln y四、解：f (x)3x2 2ax b因為f (x)在x 故 f (1)3 2a又 f (1)1解得：aa0,1處有極值2，bbb于是f (x)x33x2f (x)3( x所以x 1必為駐點1)由 f(X)f (1)f ( 1)0得x6 0，60，在 x1，從而在x 1處有

14、極小值f(1)21處有極大值f( 1)2五、1.解：設(shè)船速為x(km/h)，依題意每航行1km的耗費為又X 10時，k 1036故得k 0.006，所以有13-(0.006X96)，X (0,)X8000)0，得駐點 x 20令0.012(3令 y 一 (xX由極值第一充分條件檢驗得X 20是極小值點.由于在(0,)上該函數(shù)處處可導(dǎo)，且只有唯一的極值點，當(dāng)它為極小值點時必為最小值點，所以求得船速為20(km/h)時，每航行1km的耗費最少，其值為ymin 0.006 2027.2 (元)202.解:又因為y(1)設(shè)切線與拋物線交點為(X0,y0)，則切線的斜率為土x。1X 2上的切線斜率滿足2

15、y y 1，在(X0,y0)上即有2畑 1所以2y0X01,即 2y0 X011又因為(X0，y0)滿足2y。X02，解方程組2y0x0 1 得y0 X02X0y。如則所圍成圖形的面積為：(2)圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：六、證：f(XhXf(X)f(X) Xf(X)f(X)f(0)所以切線方程為1) 2XX在0, X上，對f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理,代入上式得3xf(x)2f()XX由假設(shè)f (x)0知f (x)為增函數(shù)，又X于是f(X)f ( ) 0,從而他0,故X2X則存在一點(0,x)，使得，則 f (X) f (),在(0,a)內(nèi)單調(diào)增加.X高等數(shù)學(xué)試卷專業(yè)學(xué)號姓名、填空題(

16、每小題1分，共10 分)1 .函數(shù)y arcsin C 啟的定義域為f(X02h) f(X03h)2.函數(shù)y X ex上點（0，1）處的切線方程是3. 設(shè)f（X）在xo可導(dǎo)且f（X） A，則limh 04. 設(shè)曲線過（0,1），且其上任意點（x,y）的切線斜率為2x，則該曲線的方程是LX5.4 dx _1 X16. lim xsin =。XX7.設(shè) f (x, y) sin xy，則 fX(x,8.累次積分dx R X f (x20 0.3cj29.微分方程d y 3(d y)2 0 dx3 X dx210.設(shè)級數(shù)an發(fā)散，則級數(shù)n 1y)=的階數(shù)為y2 ）dy化為極坐標(biāo)下的累次積分為ann

17、1ooo若f （x）在XXo連續(xù)，貝U f （x）在X Xo可導(dǎo)若f（x）在XXo不可導(dǎo),f (x)在 XXo不連續(xù)若f（x）在XXo不可微,f (x)在 XXo極限不存在若f （x）在XXo不連續(xù),f (x)在 XXo不可導(dǎo)4.若在（a,b）內(nèi)恒有f（X）o, f（X） o，則在（a,b）內(nèi)曲線弧y f （x）為（）.、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的（）內(nèi)，（110每小題1分，1117每小題2分，共24 分）11 設(shè)函數(shù) f (x)- , g(x) 1 X，貝U f (g(x)=()X1 1 11丄1 2. X o 時，xsin - 1 是()X無

18、窮大量無窮小量有界變量無界變量3. 下列說法正確的是（）XXX 1 X上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧下降的凹弧5設(shè) F(x) G(x)，貝U() F(x)G(x)為常數(shù)F(x) G(x)為常數(shù) F(x)6.xdx =()7. 方程2x 3y 1在空間表示的圖形是()平行于xOy面的平面平行于Oz軸的平面過Oz軸的平面直線&設(shè) f(x,y) X3 y3 x2y，貝U f (tx,ty)()1a 1tf (X, y)t2f(x,y)t3f (x,y)pr f (x, y)9.設(shè) a.0，且m = p，貝U級數(shù) a.()an在P 1時收斂，P 1時發(fā)散在P 1時收斂，P 1時發(fā)散在P 1時收斂，P

19、1時發(fā)散在P 1時收斂，P 1時發(fā)散10.方程 y 3xy 6x2y 是()一階線性非齊次微分方程齊次微分方程可分離變量的微分方程二階微分方程11.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是() y ex y x3 1 y x3 cosx y ln x12.設(shè) f (X)在(a,b)可導(dǎo)，aX1 X2 b，則至少有一點(a,b)使() f(b) f (a) f ( )(b a) f(b) f(a) f ( )(X2 xj f(X2)f(X1)f ( )(b a) f(X2)f(X1) f ( )(x2 X1)13. 設(shè)f(x)在X X0的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是f(x)在X X0可導(dǎo)的()充分必要的條件必要非充分的條

20、件rl-IG(x) 0一 F(x)dx 一 G(x)dx x dxdx必要且充分的條件既非必要又非充分的條件pl14. 設(shè) 2f(x)cosx f(x)2，貝U f(0)1，貝U f(x)()dxCOSX2 cosx 1 sinx 1 sinx15.過點(1,2 )且切線斜率為4X3的曲線方程為y=() X4 X4+C X 4+1 4X316.設(shè)幕級數(shù)anxn在x0 ( x0 0 )n 0收斂，則anXn 在IX 1x0 ()0絕對收斂條件收斂發(fā)散收斂性與an有關(guān)17.設(shè)D域由y X , y x2所圍成，則()1sinx , Q 1 .#sinx , dx dy ; dy dx ;0 x X0

21、 y X局，1我si nx廠八1庶si nx dx dy : dy dx.0 X X0 X X三、計算題(13每小題5分,49每小題6分,共 51 分)1 .設(shè)y求y.o 七sin(9x216)2 .求 lim X 43 3x 4、丄皆dx-計算 .(1 ex)2. 設(shè) X0(cosu)arctanudu ,yt(sin u)arctanudu，求 魚dx.求過點A(2,1B(1,1,2 )的直線方程.設(shè) u eUysinz，求du .X asi n.計算rsin drd0 08. 求微分方程dy (-)2dx的通解.X 19. 將f(X)3展成的幕級數(shù).(1 x)(2 X)四、應(yīng)用和證明題(

22、共15分)1.（8分）設(shè)一質(zhì)量為m的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度（比例常數(shù)為k 0）求速度與時間的關(guān)系。2. （7分）借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng) x1時，2丘高等數(shù)學(xué)參考答案、填空題（每小題1分，共10 分）2+1l)2.2x y+l = 03.5A4.y = x1 25 . arcta nx c 6.17.ycos(xy)28. jd 0 f(r2)rdr 9 .三階10 .發(fā)散、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題 干的（）內(nèi)，110每小題1分，1117每小題2分，共24分）1. 2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15

23、.16.17.三、計算題（13每小題5分，49每小題6分，共51分）.解:1解：Iny -ln(x 1) ln x ln(x 3)店-18x cos(9x2 16) 原式=linjx /3.解:.解:.解:44 218(-)cos(9(-)2 16)=33=83原式=0 e Qdx(1 e )= dx _d(1 ex)z, X.f AX2(1 e )(1 e )_(1 ex ex)dx 1=nx rv_ x ln(1 ex) +1 e 因為 dx (cost)arctgtdt, dy 所求直線的方向數(shù)為1，(sin t)arctgtdt0，34所求直線方程為g丄三二103.解:du e 再 s

24、inzd(xsi nz).解:原積分二0sinasinrdr-a2 sin3 d2 0.解:兩邊積分得9.解:=a2 2 sin30兩邊同除以(y2 -a31)2 得-dy(1y)2dx(1 x)2dydx2 2 (1 y) (1 x)亦即所求通解為1 c1分解，得f(x)11n 0四、應(yīng)用和證明題(共1xnn 0(1)n5分)x-2n11 n1 .解：設(shè)速度為u,則u滿足m1解方程得u -(mgkn冷(x1且x2n21)1)n屯 mg kudtce kt)由 u| t=0 =0定出 c，得 u mg(1 e kt)k2 .證：令 f(x)而且當(dāng)x 1時,因此f (x)在從而當(dāng)x2/x丄3則f

25、(x)在區(qū)間1,+xf (x) iL 1,+71 時，f (x)即當(dāng)x 1時，2仮1-20 (x 1)x單調(diào)增加f(1) =0-x高等數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)號姓名、判斷正誤(每題2分，1. 兩個無窮大量之和必定是無窮大量.2. 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必定為連續(xù)函數(shù)共 20 分)3. y f X在點xo連續(xù)，貝U y f x在點xo必定可導(dǎo).4. 若X點為y f X的極值點，則必有f x。0.5. 初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)必定存在原函數(shù)6.方程X1 21表示一個圓.7.若 z fx,y在點Mq X0, y可微，則z f X, y在點M 0 X0, y連續(xù).8. y 22xex是二階微分方程.d X9.dX1s

26、intdtsin X sin1.10.若 y f XX為連續(xù)函數(shù)，則f tdt必定可導(dǎo).a、填空題（每題4分，共20 分）1. 亠 .1 sin X2. lim 沁 .X X3. 設(shè) f X 1，且 f 01，貝U f xdx24. z xy，貝U dz.d b 25. sin Xdx a三、計算題與證明題（共計 60分）1. 1 limn（5 分）；（5 分）。2.求函數(shù)sin xcosxcosx snx 的導(dǎo)數(shù)。（10 分）3.若在0, f 00.證明：F Xf X在區(qū)間 0和0, 上X單調(diào)增加.（10分）4.對物體長度進(jìn)行了n次測量，得到n個數(shù)X1，X2,Xn?，F(xiàn)在要確定一個量x，使之與

27、測得的數(shù)值之差的平方和最小.X應(yīng)該是多少？（10 分）5. 計算 xs in x2dx. (5 分)6. 由曲線y lnx與兩直線y e 1 x , y 0所圍成的平面圖形的面積是多少.（5分）7. 求微分方程X巴 x y滿足條件yx匹0的特解。（5分）dx、8. 計算二重積分 x2dxdy, D是由圓x2 y2 1及x2 y2 4圍成的區(qū)域.（5 分）D高等數(shù)學(xué)參考答案、判斷正誤（每題2分，共20分）1-5. x,x,x,x,v .6-10.、填空題（每題4分，共20分）1 1 2 c ; 2.0 ; 3.-x c ;2（共計1.ta n X cosx三、計算題與證明題。60分)1.1 li

28、m n nn=limnx,v,4.y2dxn 1? 3nx,x,v .2xydy ; 5.0.limn=e3nn 12 lim -X 0 xx/e1xx e-=lim1x 0x / e 1x2x1 lix= limx 02xl2.令y1sin x同理2cosxxcosxf x3. Fy2cosxln sin x esin X 1 1-2In cosx tan xxf xf x xf x f x2xxf x 0則當(dāng)x0 時 g(x) gF x 0當(dāng) x 0時,F x為單調(diào)遞增當(dāng)x 0時g(x)0 F x 0當(dāng) x 0時，F(xiàn)x為單調(diào)遞增故命題成立。4.令 f XXi2X22X Xn則令f X 0X

29、oXi空為駐點nu 2 .1 cos 2x1c .5. xsinx dx= Xdx=- x xcos2x dx21 -cos2x c81 2=X421xsin 2x416. S e0eydy1 1 21y0 - y0 e21 y1 30 27.方程變形為1?e1dxX dx初始條件：yr,1 r 2,0高等數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)號姓名、判斷(每小題2分，共20 分)(X)在點Xo處有定義是f(x)在點Xo處連續(xù)的必要條件.()2. 無窮小量與有界變量之積為無窮小量.()=f(x)在Xo處可導(dǎo),則y=|f(x)| 在Xo處也可導(dǎo).()4. 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必連續(xù).()5. 可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點一定是

30、f(x)的駐點.()6. 對任意常數(shù) k,有 kf(x)dx=k f(x)dx.()7. 若f(x)在a,b上可積,則f(x)在a,b上有界.()8. 若f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)且區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,則當(dāng)f(x,y)為關(guān)于x的奇函數(shù)時，f (X, y)dxdy=0.()D9. (y )2 =-2x-e x的通解中含有兩個獨立任意常數(shù).()10. 若z=f(x,y)在Po的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在,則z=f(x,y)在Po連續(xù).()、填空(每空2分，共20分)11 2 x1. lim xsin +sinx+()x=.Xx xx2.函數(shù) f(x)=x J3x在0,3上滿足羅爾定理的條件,定理中的數(shù)值3.設(shè) f(x)=exx 0當(dāng)a=時,f(x)在x=0處連續(xù).x 024.設(shè) z=ex2y,則 dz|(0,0)=.5.函數(shù)f（x）=e x-x-1在內(nèi)單調(diào)增加；在內(nèi)單調(diào)減