考試課后題答案

1、.2 二 證明題2. 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為利用電荷守恒定律證明的變化率為解： (t就是方向符號)與時間無關(guān)，取的一個分量為（p上的亂碼為p上一個點，rou也是，dv后都有一小撇）考慮到積分區(qū)域的表面比電荷所在區(qū)域大得多時，表面上的電流為0。=0所以 故得 3.證明：（1） 兩種介質(zhì)的分界面上不帶自由電荷時，電力線的曲折滿足，其中和分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電力線與法線的夾角.（2） 當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有穩(wěn)恒電流時，分界面上電力線曲折滿足，其中分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。解：（1）考慮到界面上無自由電荷，故知：精品. （2）一直導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有穩(wěn)恒電流故 又知穩(wěn)恒電流的電場與

2、靜電場之邊界條件相同，故 10.設(shè)和是滿足洛倫茲規(guī)范的失勢和標(biāo)勢。引入一矢量函數(shù)（即赫芝勢），使，證明；（字母上邊的均為方向符號，其中g(shù)為稱號）證明：在洛倫茲規(guī)范 （1）下和遵從達朗貝爾方程：， （2）將 （3）代入（1）式得 （4）因為（1）式對任意點任意時刻都成立，故方程（4）對任意點任意時刻也成立，因此括號內(nèi)兩個矢量最多只相差一個無散場，令其為0，便有 （5）三 計算題1 有一內(nèi)外半徑分別為r1和r2的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止電荷，求（1） 空間各點的電場（2） 極化體電荷和極化面電荷分布解：（1）空間各點的電場由于自由電荷均勻分布在介質(zhì)球內(nèi)，電場具有球?qū)ΨQ性分布

3、，利用高斯定理可解得精品.（3） 極化體電荷和極化面電荷分布：在（范圍內(nèi)存在極化體電荷 或在r=r2 球面上的極化面電荷 (前邊是r=r2)在r=r1的球面上的極化面電荷 (前邊是r=r1)2.內(nèi)外半徑分別為r1和r2的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿向流有穩(wěn)恒自由電流jf，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為。求磁感應(yīng)強度和磁化電流。解：沿中空倒替圓柱軸向流動的均勻自由電流jf所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度具有軸對稱性，因而可應(yīng)用安培環(huán)路定律求三個不同區(qū)域的可分別算出精品.現(xiàn)在計算磁化電流：磁化電流面密度為是柱面外法線單位矢徑當(dāng)r=r2時，當(dāng)r=r1時 16. 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，

4、點電荷q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b（ba），試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據(jù)一點電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平板和一點電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。，；，；，所以精品.17.有一點電荷q位于兩個互相垂直的接地導(dǎo)體平面所 圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個平面的距離為a和b， 求空間電勢。解：用電像法，可以構(gòu)造如圖所示的三個象電荷來代替兩導(dǎo)體板的作用。 20. 有一塊磁矩為m的小永磁體，位于一塊磁導(dǎo)率非常大的實物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力。解：根據(jù)題意，因為無窮大平面的很大，則在平面上所有的h均和平面垂直，類比于靜電場，構(gòu)造磁矩m關(guān)于平面

5、的鏡像,則外場為：而 m受力為：21.一平面電磁波以45從真空入射到的介質(zhì)，電場強度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。解：設(shè) n 為界面法向單位矢量，、分別為入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，則反射系數(shù)r 和折射系數(shù)t 定義為：， 又根據(jù)電場強度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得， 根據(jù)折射定律可得：，代入上式，得， 22.有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個波沿x方向偏振，另一個沿y方向偏振，但相位比前者超前，求合成波的偏振。（反之，一個圓偏振可以分解為怎樣的兩個線偏振？）解：偏振方向在 x 軸上的波可記為在 y 軸上的波可記為精品.合成得軌跡方程為：所以，合成的振

6、動是一個圓頻率為的沿 z 軸方向傳播的右旋圓偏振。反之一個圓偏振可以分解為兩個偏振方向垂直，同振幅，同頻率，相位差為的線偏振的合成。(另一問)。23. 已知海水的，sm-1，試計算頻率為50，106和109hz的三種電磁波在海水中的透入深度。解：取電磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度為：由于 ，所以，1） 當(dāng)hz時, m2） 當(dāng)hz時, m3） 當(dāng)hz時, mm26. 一對無限大的平行理想導(dǎo)體板，相距為b，電磁波沿平行于板面的z方向傳播，設(shè)波在x方向是均勻的，求可能傳播的波模和每種波模的截止頻率。解：在導(dǎo)體板之間傳播的電磁波滿足亥姆霍茲方程： 令是e的任意一個直角分量， 由于e在 x 方

7、向上是均勻的，所以 在 y 方向由于有金屬板作為邊界，所以取駐波解；在 z 方向是無界空間，取行波解。所以通解為： 由邊界條件：和定解，得到；且 ，（）又由得：a1 獨立，與a2，a3 無關(guān)，令kz =0 得截止頻率：30.設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度均為,它們以相同速率v相對于某一參考系運動,但運動方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上測量另一根尺的長度。解：根據(jù)相對論速度交換公式可得系相對于的速度大小是精品. （1）在系中測量系中靜長為0 l的尺子的長度為 （2）將（1）代入（2）即得： （3）此即是在系中觀測到的相對于靜止的尺子的長度。31.靜止長度為l0的車廂，以速

8、度v相對于地面s運行，車廂的后壁以速度u0向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運動時間。解：根據(jù)題意取地面為參考系s，車廂為參考系s，于是相對于地面參考系s，車長為， （1）車速為v，球速為 （2）所以在地面參考系s中觀察小球由車后壁到車前壁所以 （3）將（1）（2）代入（3）得： 32 一輛以速度v運動的列車上的觀察者，在經(jīng)過某一高大建筑物時，看見其避雷針上跳起一脈沖電火花，電光迅速傳播，先后照亮了鐵路沿線上的兩鐵塔。求列車上觀察者看到的兩鐵塔被電光照亮的時刻差。設(shè)建筑物及兩鐵塔都在一直線上，與列車前進方向一致。鐵塔到建筑物的地面距離都是l0。解：取地面為靜止的參考系，列車為運動的參 考系。取 x 軸與 x軸平行同向，與列車車速方向一致，令t=0時刻為列車經(jīng)過建筑物時，并令此處為系與的原點，如圖。在系中光經(jīng)過的時間后同時照亮左右兩塔,但在系中觀察兩塔的位置坐標(biāo)為精品.即：,時間差為33.在坐標(biāo)系中，有兩個物體都以速度u沿x軸運動，在系看來，它們一直保持距離l不變，今有一觀察者以速度v沿x軸運動，他看到這兩個物體的距離是多少？解：根據(jù)題意，取固著于觀察者上的參考系為系,又取固著于a b兩物體的參考系為系.在中,a b以速度 u 沿 x 軸運動,相距為l；在系中,a b靜止相距為l 0，有： 又系相對于以速度v 沿 x 軸運動，系相對于系以速度u