重慶市南開中學人教版高中數(shù)學必修四3.2三角恒等變換素材

1、三角恒等變換一、高考風向標主要考查三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的符號，同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導公式，兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性、和最值性對于三角函數(shù)，高考都是送分為主，因此要求同學們對公式要熟記，對圖像和性質(zhì)方法要理解掌握好！對每次考試存在的三角問題要懂得反思。同時對如下的高考題盡量理解掌握。二、知識框圖：應用弧長與扇形同 角 三 角 函 數(shù)誘導應用計算與化簡面積公式的基本關(guān)系式公式證明恒等式應用角度制與任意角的三角函數(shù)的已 知 三 角 函任意角的概念應用圖像和性質(zhì)數(shù)值求角弧度制三角函數(shù)和角公式應用倍角公式應用差角公式應用三

2、、知識點整理函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖像定義域值域第 1頁單調(diào)性最值奇偶性對稱性對稱中心：對稱中心：對稱中心：對稱軸：對稱軸：對稱軸：周期如果求y=Asin( x+ )、y=Acos( x+ )、y=Atan( x+ )的單調(diào)性、 對稱性、 最值等采取整體思想解題。四、解三角函數(shù)性質(zhì)問題的技巧及注意事項1。求三角函數(shù)的定義域事實上就是解最簡單的三角不等式（組）。通?？捎萌呛瘮?shù)的圖像來求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用。2。三角函數(shù)的值域問題，實質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復合函數(shù)的值域問題。如求 y=(sinx-2) 2 -3 的最值。常用的方法有：化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于sinx

3、( 或 cosx)的二次函數(shù)式，再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值域。3。若利用到公式 asin +bcos ,若 a0,確記！5。比較三角函數(shù)值的大小，往往是利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較。6。研究函數(shù)y=Asin( x+ ) 的奇偶性時， 在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，當 =k時，函數(shù)為奇函數(shù)；當 =k+/2 時，函數(shù)為偶函數(shù)。其余為非奇非偶函數(shù)。一同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導公式總結(jié)提高1. 對于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中“同角”的含義，只要是“同一個角”，那么基本關(guān)系式就第 2頁成立，如： sin 2( 2) cos2 ( 2

4、) 1 是恒成立的 .2. 誘導公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負為正，化復雜為簡單.二 兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)總結(jié)提高1. 兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.(1) 它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡題，證明題；(2) 對公式會“正用”、“逆用”、“變形使用”；(3) 掌握角的演變規(guī)律，如“ 2 ( ) ( ) ”等 .2. 通過運用公式，實現(xiàn)對函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達到求解的目的，在運用公式時，注意公式成立的條件.三 三角恒等變換總結(jié)提高三角恒等式的證

5、明，一般考慮三個“統(tǒng)一”：統(tǒng)一角度，即化為同一個角的三角函數(shù)；統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù)；統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.四三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)總結(jié)提高1.求三角函數(shù)的定義域和值域應注意利用三角函數(shù)圖象.2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設中所給的區(qū)間.3. 求三角函數(shù)的最小正周期時，要盡可能化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對值、定義域?qū)χ芷诘挠绊?.4. 判斷三角函數(shù)的奇偶性，應先判定函數(shù)定義域的對稱性.五 函數(shù) yAsin ( x ) 的圖象和性質(zhì)總結(jié)提高1. 用“五點法”作y sin( ) 的圖象， 關(guān)鍵是五個點的選取，3一般令 0， ，2，Axx22即可得到作圖所需的五個點的

6、坐標，同時，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時，應適當調(diào)整x 的取值，以便列表時能使x 在給定的區(qū)間內(nèi)取值 .2. 在圖象變換時，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長度單位是不同的，這是因為變換總是對字母 x 本身而言的， 無論沿 x 軸平移還是伸縮， 變化的總是 x.3. 在解決 y Asin( x ) 的有關(guān)性質(zhì)時，應將x 視為一個整體x 后再與基本函數(shù)ysinx 的性質(zhì)對應求解.第 3頁一、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：例 1.下列各式中，值為1 的是（）2A 、 sin15 cos15B、 cos2sin2C 、tan 22.5D 、 1 cos30121

7、21tan 2 22.52例 2.命題 P： tan( AB )0 ，命題 Q： tan Atan B0 ，則 P 是 Q 的（）A 、充要條件B、充分不必要條件C 、必要不充分條件D 、既不充分也不必要條件例 3.已知 sin()coscos()sin3 ，那么 cos 2的值為 _5例 4.13sin10的值是 _sin 80例 5.已知 tan1100a ，求 tan 500 的值（用 a 表示）甲求得的結(jié)果是a3 ，乙求得的結(jié)果是1 a2，13a2a對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是_答案： C C74甲、乙都對25二、 三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路一角二名三結(jié)構(gòu)即

8、首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點。基本的技巧有:1. 巧變角 （已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換 .如()()， 2()() ， 2() () ，2，22等）22例 1. 已知 tan()2 ，tan()1 ，那么 tan(4) 的值是 _ ；544第 4頁例 2. 已知 0，且 cos()1 ， sin(2)2 ，求 cos() 的值2293例 3. 已知 ,為銳角， sinx,cosy ， cos()3 ，則 y 與 x 的函數(shù)關(guān)

9、系為 _52. 三角函數(shù)名互化 ( 切化弦 )例 1.求值 sin 50 (13 tan10 )例 2. 已知 sincos1,tan()2 ，求 tan(2) 的值1cos231183.公式變形使用（ tantantan1tantan。例 1.已知 A 、B 為銳角，且滿足 tan A tan Btan Atan B 1，則 cos( AB) _ ；例 2.設 ABC 中， tan Atan B33，則此三角形是 _ 三角3 tan Atan B ， sin Acos A4形2等邊24. 三角函數(shù)次數(shù)的降升( 降冪公式： cos21cos2， sin21 cos2與升冪公式：221 cos2

10、2cos2， 1cos22sin 2) 。例 1.若( , 3) ，化簡1111 cos2為 _；22222例 2.函數(shù) f ( x )5 sin xcos x 53 cos2x53( xR) 的單調(diào)遞增區(qū)間為_25. 式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化 ( 對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同) 。例 1. tan (cossin )sintancotcsc第 5頁例 2. 求證：1sin1tan2 ；12sin 21tan222cos4 x2cos2 x1例 3.化簡：22 tan(x)sin 2 (4x)41. sin3.1 cos2x26. 常值變換主要指“ 1”的變換（2222等），1 sin xcos xsec

11、 xtan x tan x cot x tan 4sin2例 1. 已知 tan2 ，求 sin 2sin cos3cos 2 （答：3 ） .57. 正余弦“ 三兄妹 sin x cosx、sin xcosx”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二”，例 1. 若 sin xcosxt ，則 sin xcos x_，特別提醒 ：這里 t2,2 ；例 2. 若(0,),sincos1 ，求 tan的值。；2例 3.已知 sin 22sin 2k (4) ，試用 k 表示 sincos 的值。1tan2三、輔助角公式中輔助角的確定asin x b cosxa2b2 sin x( 其 中角 所 在 的 象 限 由

12、a,b 的 符 號 確 定 ，角 的 值 由tanb 確定 )在求最值、化簡時起著重要作用。a例 1.若方程 sin x3 cos x c 有實數(shù)解，則c 的取值范圍是 _. ；例 2.當函數(shù) y 2 cos x3 sin x 取得最大值時，tanx 的值是 _；例 3.如果 f xsin x2cos(x) 是奇函數(shù)，則 tan =第 6頁例 4. 求值：3164sin 2 20 _sin 2 20cos220 2,23 2322四、求角的方法先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個三角函數(shù)（要注意選擇，其標準有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）。例 1.

13、 若,(0,) ，且 tan、 tan是方程x2 5x 6 0 的兩根，則求的值 _（答：3）；4例 2.ABC 中， 3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，則C _（答：）；3例3.若 02且 sinsinsin0 ， coscoscos0 ，求的值（答：2） .3真題演練1.（ 2019， 9） 4cos50 0tan 400()（ A） 2（ B） 23（ C） 3（ D）2 2 122.（ 2019，5）設 tan, tan是方程x23x20 的兩個根， 則 tan() 的值為 ()（ A ） -3（ B ） -1（ C） 1（ D） 33.（ 2019， 13）設A

14、BC的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為a, b, c ，且 cos A3 ,cos B 5 , b 3, 則 c5134. （ 2019 ，6）若 ABC的內(nèi)角 A、 B、 C 所對的邊 a、b、 c 滿足22b）c 4 ，且 C=60，則 ab 的（ a值為 ()A 4B 8 4 3C 1D 233第 7頁5.（ 2019，14）已知 sin1，且0,，則cos2cos22sin4的值為 _6. （ 2019，6）已知函數(shù)ysin( x)(0, |) 的部分圖象如題（ 6）圖所示，則（）2A、1,B、1,C 、2,D、2,6666y1O7x312題（ 6）圖7. （ 2009 ， 7）設ABC 的三個內(nèi)角A, B, C ，向量 m(3 sin A,sin B) ， n(cos B, 3 cos A) ，若 m n1cos(AB) ，則 C =（）