空間向量立體幾何絕對(duì)經(jīng)典PPT課件

1、例1：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡下列向量 表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。(如圖),G,M,始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量 為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量,若P為A,B中點(diǎn), 則,2.共面向量定理:如果兩個(gè)向量 不共線,則向量 與向量 共面的充要 條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) 使,推論:空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y使 或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有,例1：已知m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線l與的交點(diǎn)為B，且lm，ln，求證：l。,證明：在內(nèi)作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g，因m與n相交

2、，得向量m、n不平行，由共面向量定理 可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使 g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 這就證明了直線l垂直于平面內(nèi)的任一條直線，所以l,鞏固練習(xí)：利用向量知識(shí)證明三垂線定理,復(fù)習(xí):,2. 向量的夾角:,A,B,向量 的夾角記作:,1.空間向量的數(shù)量積:,5.向量的模長:,4.有關(guān)性質(zhì):,(1)兩非零向量,(2),注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對(duì)角線的長度。,3.A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件,A、B、P三點(diǎn)共線,反過來，對(duì)空間任意兩個(gè)不共線的向量 ， ，如果 ，那么向量 與向量 , 有什么位 置關(guān)系？,C,例5 (

3、課本例)已知 ABCD ，從平面AC外一點(diǎn)O引向量,求證：四點(diǎn)E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,證明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,證明：,由面面平行判定定理的推論得：,小結(jié),共面,3）射影,注意：在軸l上的正射影A1B1是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù)， 它的符號(hào)代表向量與l的方向的相對(duì)關(guān)系，大小代表 在l上射影的長度。,例2：已知：在空間四邊形OABC中，OABC，OBAC，求證：OCAB,3.已知空間四邊形 ，求證：。,證明：,4.空間向量基本定理 若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc.,其中a，b，c叫做空間的一個(gè)基底，a

4、，b，c都叫做基向量,若空間向量的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量互相垂直，則稱這個(gè) 基底為正交基底，若三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，則稱這 個(gè)基底為單位正交基底,x1x2，y1y2，z1z2(R),a/b,(五)、空間位置關(guān)系的向量法：,異面直線所成角的范圍：,思考：,結(jié)論：,線線角,復(fù)習(xí),線面角,二面角,小結(jié),引入,題型二：線面角,直線與平面所成角的范圍：,思考：,結(jié)論：,線線角,復(fù)習(xí),線面角,二面角,小結(jié),引入,二面角的范圍：,關(guān)鍵：觀察二面角的范圍,線線角,復(fù)習(xí),線面角,二面角,小結(jié),引入,2、E為平面外一點(diǎn),F為內(nèi)任意一 點(diǎn), 為平面的法向量,則點(diǎn)E到平面的距離為:,3、a,b是異面直線,E

5、,F分別是直線a,b上的點(diǎn), 是a,b公垂線的方向向量,則a,b間距離為,幾何法,坐標(biāo)法,一.引入兩個(gè)重要的空間向量,1.直線的方向向量 把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是,求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:,第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z). 第二步(列):根據(jù)na = 0且nb = 0可列出方程組 第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y. 第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).,例1在棱長為2的正

6、方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz, 設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z =1,解得:,得:,由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）,例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求證: C C1BD,A1,B1,C1,D1,C,B,A,D,證明：設(shè) a, b, c, 依題意有| a |=| b |， 于是 a

7、 b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BD,例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證: (1)A1E 平面DBC1; (2)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1)

8、 =- n,從而A1E 平面DBC1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1,例4 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:平面AED平面A1FD,證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz,平面AED平面A1FD,解得：,于是 ，,設(shè)：正方體的棱長為2, 那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值為_.,z,y,B1,C1,D1,A1,C,D,解: 以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz

9、, 設(shè)正方體的棱長為2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),cos =|cos|,設(shè)DB1與CM所成角為, 與 所成角為,于是：,(2)直線與與平面所成的角 若n是平面的法向量, a是直線L的方向向量,設(shè)L與所成的角, n與a所成的角 則 = - 或= - 于是, 因此,n,n,a,a,例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為 ，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。,解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則 A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, ) 設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z) 得

10、由 ，解得 ， 取y= ,得n=(3, ,0)， 設(shè) 與n夾角為 而 故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30.,（3）二面角 設(shè)n1 、n2分別是二面角兩個(gè)半平面、的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角-L-的大小與法向量n1 、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號(hào)時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號(hào)時(shí)互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.,例7 在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側(cè)棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.,解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 B（1，0，0）

11、，C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小滿足 二面角A-SD-C的大小為 .,例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由 ,得 n=(-1,-1,2

12、). , 異面直線AC1與BD間的距離,例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90, 求B1到面A1BC的距離.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz ,則 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 , 或 , 可見,選擇平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量時(shí),與平面內(nèi)的點(diǎn)選擇無關(guān).,會(huì)求了點(diǎn)到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離來求. 例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 側(cè)棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中點(diǎn),求PC與平面PED間的距離.,z,y,P,B,E,A,D,C,F,解:以A為原點(diǎn)、AB為x軸、ACD中CD邊上的高AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則F 為CD的中點(diǎn),于是 A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), D(-2, 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2). 設(shè)面BED的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(1, ,2). n 2