與二次函數(shù)有關(guān)的存在性問(wèn)題

1、與二次函數(shù)有關(guān)的存在性問(wèn)題1、如圖，已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，在的左側(cè)，坐標(biāo)為 與軸交于點(diǎn) 的面積為6.(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，請(qǐng)你求出的長(zhǎng)度；(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn) 使得是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.A B C D O M x y 2、如圖所示, 在平面直角坐標(biāo)系xoy中, 直角梯形CBAO的邊OC在y軸的負(fù)半軸上，OA在x軸的正半軸上，AOC=90，且OA=OC=3,BC=2。(1)求過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式；(2)將線段OA繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45

2、，交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，連接CF，已知點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且M的橫坐標(biāo)為a，且a1,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到直線y=1的下方時(shí)，設(shè)CFM的面積為S，試寫(xiě)出S與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出使得CFM的面積最大時(shí)M的坐標(biāo)；(3)在對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得P與A、B構(gòu)成的PAB為直角三角形，若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。OABCFxyD3、如圖，已知拋物線()與直線交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，OAOB，BC軸(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)D、E是線段AB上異于A、B的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)D的上方)，DE過(guò)D、E兩點(diǎn)分別作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)F、G設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，四邊形DEGF的面積為，求與之

3、間的關(guān)系式，寫(xiě)出自變量的取值范圍，并求出為何值時(shí)，有最大值，最大值為多少？xCByAOFGED(3)若點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在第(2)問(wèn)條件下，當(dāng)取得最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得以、D、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若有，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)：1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的對(duì)稱軸為直線，與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），且OBOC 求此拋物線的解析式；若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和APG的最大面積. 若平行于x軸的直線與

4、該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由26題圖2、如圖，拋物線y=ax210ax+8與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)C、D,點(diǎn)B在拋物線上，且ABx軸， AB=AC，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)。（1）求拋物線的對(duì)稱軸及a的值；（2）當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；xyABCOD（3）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使四邊形MPBC為等腰梯形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。3、已知：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A()，B()(1) 求這個(gè)拋物線的解析式；(2) 設(shè)（1

5、）中的拋物線與軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和的面積；（注：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為）；(3) 是線段上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，與拋物線交于點(diǎn)，若直線把分成面積之比為的兩部分，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)27題圖答案：1、解：(1)又 為為 設(shè)拋物線解析式 將代入求得 (2)拋物線的對(duì)稱軸為直線 由 得直線解析式為對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)為可直接設(shè)BN的長(zhǎng)為未知數(shù).設(shè)為，當(dāng)時(shí)，時(shí)， 所以的長(zhǎng)為3或(3)存在. 由得，拋物線的對(duì)稱軸為直線 頂點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為根據(jù)勾股定理，得 即又點(diǎn)在拋物線上，即，解得或 即點(diǎn)坐標(biāo)為或 當(dāng)時(shí)，即關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱此時(shí)的縱坐標(biāo)為3，即，解得(舍去)，為當(dāng)時(shí)，只能在點(diǎn)左

6、邊的拋物線上，所以不考慮符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或2、(1)OAOC3 A(3,0) C(0,-3)OABCFxyD BC2 又四邊形OCBA為梯形 BC / x軸 B(2,-3) 將A，B代入到 y=ax2+bx3中 y=x22x-3 4分 (2)對(duì)稱軸： F(1, 1) C(0, 3) 設(shè)CF：y=kx-3 將F代入 k-3=1 k=4 CF: y=4x-3 5分 設(shè)M(a, a2-2a-3) 分別過(guò)M過(guò)F作垂線，如圖所示交y軸于E，兩垂線交于D，則四邊形MDEC為直角梯形. 令-a2 + 2a + 4 = m 原式 7分 3 當(dāng)a = 3時(shí)，S有最大值. 此時(shí)M(3, 0) 8分 (3)存在：

7、當(dāng)PAB900 設(shè)P(1, n) 則AP2 = 22 + n2 = 4 + n2 AB2 = (3 - 2)2 + 32 = 10 BP2 = 12 + (3 + n)2 = n2 + 6n + 10 AP2 + AB2 = BP2 4 + n2 +10 = n2 + 6n + 10 6n = 4 n = 9分APB900時(shí) AP2 = 22 + n2 = 4 + n2 BP2 = 12 + (3 + n)2 =n2 + 6n + 10AB2 = 104 + n2 + n2 + 6n + 10 =10 2n2 + 6n + 4 = 0 n1 = -1 n2 = -2P2(1, -1) P3(1

8、, -2) 11分ABP900 AB2 + BP2 = AP2P4(1, ) 12分使得ABP為Rt練習(xí)：1、解：設(shè)拋物線的解析式為 由已知得：C（0，3），A（1，0） 1分 解得 2分 拋物線的解析式為 3分 過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q 由，令x=2，則y=3 點(diǎn)G為（2，3） 設(shè)直線AG為 解得 即直線AG為 5分設(shè)P（x，），則F（x，x1），PF 6分當(dāng)時(shí)，APG的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為， 7分 （注：利用四邊形的面積來(lái)表示APG的面積也可以，只要答案正確即可） 存在MNx軸，且M、N在拋物線上 M、N關(guān)于直線x=1對(duì)稱 設(shè)點(diǎn)M為（，）且 當(dāng)QMN=90，且MN=MQ時(shí)，M

9、NQ為等腰直角三角形 MQMN 即MQx軸26題圖 即或 解得，（舍）或，（舍） 點(diǎn)M為（，）或（，） 點(diǎn)Q為（，0）或（，0） 當(dāng)QNM=90，且MN=NQ時(shí)，MNQ為等腰直角三角形 同理可求點(diǎn)Q為（，0）或（，0） 當(dāng)NQM=90，且MQ=NQ時(shí)，MNQ為等腰直角三角形 過(guò)Q作QEMN于點(diǎn)E，則QE=MN 方程有解 由拋物線及等腰直角三角形的軸對(duì)稱性知點(diǎn)Q為（1，0） 綜上所述，滿足存在滿足條件的點(diǎn)Q，分別為（，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0） 12分2、.解：（）xyABCODEMP 拋物線的對(duì)稱軸為：1分 令x = 0, 則: y = 8 點(diǎn)A坐標(biāo)為：(0,8) AB /

10、 x軸 點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x = 5對(duì)稱 點(diǎn)B坐標(biāo)為：（10,8）2分 AB = 10又AB = AC在RtAOC中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（-b，0）3分將C(-b，0)代入得：36a + 60a +8 = 0 4分（）而AC = 10為定值當(dāng)?shù)娜〉米钚≈禃r(shí)，PC + PA最小由拋物線的對(duì)稱性可知：此時(shí)點(diǎn)P即為BC直線x = 5 的交點(diǎn). 5分令直線BC的解析式為：y = kx + b (k0). 由C(-6,0), B(0,8)得：解得： 直線BC的解析式為： 6分 當(dāng)x = 5時(shí)， 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為7分（）符合條件的點(diǎn)M存在. 8分由四邊形的表示方法知：點(diǎn)M與點(diǎn)P在直線BC的同側(cè).顯然：MC與PB不平行.MP / BC 令點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, m），則：直線MP的解析式為：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：在RtMOC與RtPBE中 由：MC = PB得： 此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：10分3、解：（1）解方程，得，（1分）由，有，所以點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，（2分）將，的坐標(biāo)分別代入，得解這個(gè)方程組，得所以拋物線的解析式為（3分）DHBEAOPMC27題答圖 （2