正方體異面點截面的作法問題

1、正方體“異面點”截面的作法問題高二十班 史威、馮心怡【引言】： 用平面去截一個幾何體,所截出的面,就叫截面。可以想象,類似于用刀去切(截)幾何體,把幾何體分成兩部分,刀在幾何體上留下的痕跡就是截面的形狀,截面是一個平面圖形。在醫(yī)學(xué)診斷上,有一種與“截幾何體”類似的儀器和方法,它是通過X射線掃過人體的患病器官,然后通過計算機處理相關(guān)測量數(shù)據(jù),重建人體斷層圖象,并作出診斷,這就是是“CT影像診斷技術(shù)”在醫(yī)學(xué)史上具有劃時代意義?？梢?數(shù)學(xué)知識對于生活何等重要。在立體幾何中，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，歷來是立體幾何的一個基本問題.而已知不共線三點，作幾何體的截面，既是轉(zhuǎn)化為平面問題的一個方法，也是深化

2、理解空間點線面關(guān)系的一個很好的途徑.本文通過舉例引申出過正方體異面的點（以下簡稱為“異面點”）作截面的幾種常見方法.【正文】： 用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線此平面與幾何體的棱的交集(交點)叫做截點而對于“異面點”做圖方法大致可分為兩類：平面作圖法和空間向量法。下面筆者將對于這兩類方法進(jìn)行介紹。 一、平面作圖法： 1方法(交線法)該作圖關(guān)鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連結(jié)成截線，從而求得截面 2作截線與截點的主要根據(jù)有： (1)確定平面的條件 (2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于

3、過此點的一條直線 (3)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi) (4)如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行 (5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行3.作圖的的主要思想方法有： (1)若已知兩點在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線。 (2)若面上只有一個已知點，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點。 (3)若兩個已知點分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個平面的交線與截面的交點。 (4)若兩平行平面中一個平面與截面有交線，另一個面上只有一個已知點，則按平行平面與第三平面

4、相交，那么它們的交線互相平行的性質(zhì)，可得截面與平面的交線。 (5)若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱上的點的問題；若已知點在體內(nèi)，則可通過輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點，再轉(zhuǎn)化為棱上的點的問題來解決。4. 具體題目分析： 已知：P、Q、R三點分別在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，試畫出過P、Q、R三點的截面方法一：(1)先過R、P兩點作輔助平面。過點R作R1RBB1交A1B1于R1，則面CRR1C1為所作的輔助平面。(2)在面CRR1C1內(nèi)延長R1C1，交RP的延長線于M。(3)在面A1B1C1D1內(nèi)，連接MQ，交C1D1于點S，延長MQ交B1A1的延長線于點T。(4

5、)連接TR，交AA1于點N，延長TR交B1B于點K，再連接KP交BC于點L。(5)連接RL、PS、QN。則多邊形QNRLPS為所求。方法二：(1) 先過Q作QEAA1,聯(lián)結(jié)RE、QR(2) 聯(lián)結(jié)AC交RE于O點(3) 過O作FOQE，交QR于F點(4) 聯(lián)結(jié)PF并延長，交AA1于G(5) 聯(lián)結(jié)GQ并延長，交DD1于J(6) 聯(lián)結(jié)JP，交C1D1于H，延長線交DC延長線于K(7) 聯(lián)結(jié)KR，交BC于I(8) 聯(lián)結(jié)RGQHPC則多邊形RGQHPC為所求方法三：(1) 過Q作輔助平面QGHL平行于ADD1A1(2) 聯(lián)結(jié)RC1，交GH于K，聯(lián)結(jié)RP。(3) 過K作KICC1交RP于I，這點便是RP與

6、輔助平面的交點。(4) 聯(lián)結(jié)QI并延長交平面CDD1C1于M，過F、E分別作QI的平行線，交BC、AA1于E、F(5) 聯(lián)結(jié)PM交C1D1于J(6) 聯(lián)結(jié)JREQFP則多邊形JREQFP為所求2、 空間向量法： 接下來讓我們從解析幾何的角度來思考：如圖的M、N、P三點所構(gòu)成的平面在正六面體ABCD-A1B1C1D1上的截面是怎么樣的？首先，以點A為坐標(biāo)原點，可得。設(shè)：先看該平面在面ABCD、CD上的截面如右圖，作平面MQPS/面A1B1C1D1設(shè)直線NP與平面MQPS交于點H且面MQPS上所有點在z軸坐標(biāo)均為z2又過點P作PK/HM交CD于K，聯(lián)結(jié)MK則又則MK、PK即為兩條截線。再看面NMP在平面、上的截面。如右圖，過點N作平面NJGI平行于平面。聯(lián)結(jié)MP，設(shè)點E為直線MP與平面NJGI的交點。且平面NJGI上的所有點的x軸左邊為x3作PF/NE聯(lián)結(jié)NF、PF所得即面NMP在平面、上的截線。最后，我們來看面NMP在平面、上的截線。作MT/NE得到NT、MT就是面NMP在平面、上的截線。綜上，如圖就是平面MNP在正六面體上的截線【總結(jié)】： 截面問題是立體幾何中的典型問題之一 本文就對于給定三個