初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中三角形面積問題解析

1、初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中三角形面積問題解析一、命題意圖二次函數(shù)中三角形面積相結(jié)合的題目是近年來中考數(shù)學(xué)中常見的問題,題型?？汲Ｐ?體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論數(shù)學(xué)思想等。如果將三角形這一平面圖形問題與二次函數(shù)相結(jié)合，就需要學(xué)生以邏輯思維和空間思維相結(jié)合的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與空間思維能力相結(jié)合的基本數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主思考問題的過程。二、考點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的考綱要求初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中關(guān)于三角形面積問題的討論一直是教學(xué)重點(diǎn),這其中牽涉了二次函數(shù)與幾何問題的融合,是初中數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)難點(diǎn)。求面積常用的方法：（1）直接法，若題已經(jīng)給出或能由已知條件推出個(gè)邊的長度并且通過坐標(biāo)能找到對(duì)應(yīng)的高，

2、那么三角形的面積能直接用公式算出來。（2）簡(jiǎn)單的組合，解決問題的途徑常需要進(jìn)行圖形割補(bǔ)、等積變形等圖形變換。（3）面積不變同底等高或等底等高的轉(zhuǎn)換，利用平行線得到三角形同底等高進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化。（4）如圖，過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”()，中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高()”. 可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。三、試題講解過程如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過（1，0），（4，0），（0，4）三點(diǎn).（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第四象

3、限，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).解:（1）解法一: 由題意得，c=4, ,解得： , , 解法二: 由題意得，設(shè)y=a（x+1）（x-4）, -4a=-4, a=1, y=（x+1）（x-4）, , （2）解法一:由（1）可知，y=x23x4,設(shè)點(diǎn)D為（x, x23x4）,過點(diǎn)D作DEOC交BC于點(diǎn)E, 設(shè)直線BC的解析式為y=kxb,則，y=x4, E（x, x4）, DE=（x4）（x23x4）= x24x, a=10, 當(dāng)x=2時(shí), DE取最大值，SBCD取最大值，D（2,6）. 解法二：由（1）可知，y=x23x4,設(shè)點(diǎn)D為（x,y）,過點(diǎn)D作DFOB于點(diǎn)F, SBCD=S梯形OCDF

4、SBDFSOBC =x（4-y）（-y）（4-x）8=2x2y8=2x2（x23x4）8=2x28x, a=20, 當(dāng)x=2時(shí), SBCD取最大值，D（2,6）. 解法三:由（1）可知，y=x23x4, 過點(diǎn)D作DEBC, 設(shè)直線BC的解析式為y=kxb,則，y=x4, 設(shè)直線DE的解析式為y=xd,則x23x4=xd, x24x4-d=0,當(dāng)=（-4）2-4（-4-d）=0, d=-8, SBCD取最大值， x24x4=0, （x-2）2=0, x1=x2=2, D（2,6）. 四、試題的拓展延伸及變式分析如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過（1，0），（3，0），（0，3）三點(diǎn).（1）若點(diǎn)

5、是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的情況下，拋物線上是否存在除點(diǎn)以外的點(diǎn)，使得 的面積與的面積相等，若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）拋物線經(jīng)過A（1，0），B（3，0），拋物線的對(duì)稱軸l是x=2，ACD的周長=AD+AC+CD, AC是定值，當(dāng)AD+CD最小時(shí)，ACD的周長最小，點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC交于點(diǎn)D，即點(diǎn)D為所求的點(diǎn),設(shè)直線BC的解析式為， ，, 直線BC的解析式為， 當(dāng)x=2時(shí)，y=-x+3=-2+3=1，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，1）.（2）解：由（1）可知，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，c=

6、3, ,解得： , 解法一：如圖，過點(diǎn)A 作AP1CD交拋物線于點(diǎn)P1，設(shè)直線AP1的解析式為， -1+d=0,d=1,直線AP1的解析式為，解方程=，（x-1）（x-2）=0，x1=1, x2=2, 當(dāng)x1=1時(shí)，=0（不合題意，舍去），當(dāng)x2=2時(shí)，=-1，點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（2，-1）. 設(shè)直線AP1交y軸于點(diǎn)E（0，1），CE=2，把直線BC向上平移2個(gè)單位交拋物線于P2，P3，得直線P2P3的解析式為， 解方程= ， x23x2=0,x3=, x4=, 當(dāng)x3=時(shí)，=，當(dāng)x4=時(shí)，=， 點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（，）,點(diǎn)P3的坐標(biāo)是（，）, 綜上所述, 拋物線上存在點(diǎn)P1（2，-1）,P2（，）,

7、P3（，）, 使得PCD的面積與ACD的面積相等. 解法二：如圖,過A點(diǎn)作AEy軸，交BC于點(diǎn)E則E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 AE2 設(shè)點(diǎn)P為（，），過P點(diǎn)作PFy軸，交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為（，），PFAE若PFAE，則PCD與ACD的面積相等若P點(diǎn)在直線BC的下方，則PF（）-（）= =2 解得，當(dāng)時(shí)，3-n-2-1P1點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1） 同理 當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），與A點(diǎn)重合，（不合題意，舍去） 若P點(diǎn)在直線BC的上方，則PF=（）-（）= 解得， 當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（，）,點(diǎn)P3的坐標(biāo)是（，）, 綜上所述, 拋物線上存在點(diǎn)P1（2，-1）,P2（，）,

8、 P3（，）, 使得PCD的面積與ACD的面積相等. 在以上問題的分析中研究思路為：（1）分析圖形的成因；（2）識(shí)別圖形的形狀；（3）找出圖形的計(jì)算方法。注意：（1）取三角形的底邊時(shí)一般以坐標(biāo)軸上線段或以與軸平行的線段為底邊；（2）三邊均不在坐標(biāo)軸上的三角形及不規(guī)則多邊形需把圖形分解（即采用割或補(bǔ)的方法把它分解成易于求出面積的圖形）。三角形的面積一般都是通過分割成幾個(gè)三角形然后計(jì)算幾個(gè)三角形的面積和，利用坐標(biāo)來表示三角形的面積，這樣三角形的面積即為一個(gè)二次函數(shù)，求解二次函數(shù)的最值即可。五、試題的價(jià)值、反思及感悟通過對(duì)二次函數(shù)中三角形問題的探究學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建“數(shù)想形”“形思數(shù)”的數(shù)學(xué)思維方式和意識(shí)。要對(duì)二次函數(shù)面積問題能夠形成良好的思考方法。要學(xué)會(huì)觀察圖形，通過觀察、分析、比較、總結(jié)，掌握二次函數(shù)面積相關(guān)問題的計(jì)算方法。二次函數(shù)中三角形面積問題是代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合的一個(gè)考點(diǎn)，是函數(shù)的綜合應(yīng)用能力的提升。二次函數(shù)這部分內(nèi)容可滲透的數(shù)學(xué)思想多，解題方法多。在探究這些問題時(shí)，首先要讓學(xué)生加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的回顧，同時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想去思考問題、解決問題的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，使其形成自主學(xué)習(xí)、自主探索的意識(shí)。