第3章 角動量守恒定律

1、普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材 大學(xué)物理（第二版） 袁玉珍 武步宇 陳欽生 主編第 3 章 角動量守恒定律 課件制作者：陳欽生,www. *.com,3.2 質(zhì)點的角動量守恒定律,3.3 剛體的角動量守恒定律,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 慣性定律,3.1 質(zhì)點的角動量 力矩,3.5 剛體的角動量守恒定律,主要 內(nèi)容,第3章 角動量守恒定律,www. *.com,第3章 角動量守恒定律,基本要求 1、正確理解角動量的概念，理解角動量定理。 2、正確理解轉(zhuǎn)動慣量的概念，會計算幾種規(guī)則形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量。 3、掌握剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動定律，并能熟練應(yīng)用它來求解定軸轉(zhuǎn)動剛體和質(zhì)點的聯(lián)動問題。 4

2、、掌握角動量守恒定律及其適用條件，并能用來分析、計算有關(guān)問題。,www. *.com,3.1 質(zhì)點的角動量 力矩,3.1.1 質(zhì)點的角動量 一個質(zhì)量為m的質(zhì)點以速度 v 運(yùn)動，其動量為 p ，若其相對于定點O的位置矢量為r，則其角動量定義為： 角動量是矢量，其大小為： 式中 為 r 與 p 的夾角； 角動量的方向：垂直于r和p所組成的平面，其指向由右手螺旋法則確定,www. *.com,3.1 質(zhì)點的角動量 力矩,3.1.1 質(zhì)點的角動量 質(zhì)點的角動量與質(zhì)點的位矢有關(guān)。 質(zhì)點相對于O點做圓周運(yùn)動時，位矢 r 與 p 處處垂直， ，故角動量大小可寫為： 角動量方向： 垂直于圓周軌道平面 角動量單

3、位：kg.m2.s-1 ；量綱：ML2T-1,www. *.com,3.1 質(zhì)點的角動量 力矩,3.1.2 質(zhì)點的角動量定理 質(zhì)點m對定點O的角動量 對時間求導(dǎo)，得：,www. *.com,3.1 質(zhì)點的角動量 力矩,3.1.2 質(zhì)點的角動量定理 力矩定義： 力矩大?。?式中 為力臂，則 因 ，即合力切向分量，所以：,www. *.com,3.2 質(zhì)點的角動量守恒定律,質(zhì)點的角動量守恒定律：質(zhì)點在運(yùn)動過程中，所受的合外力矩等于零時，質(zhì)點對給定點（轉(zhuǎn)軸）的角動量保持不變。,或,常矢量,www. *.com,力矩等于零，有三種情況：,3.2 質(zhì)點的角動量守恒定律,這三種情況分別為： (1) 質(zhì)點處

4、在定點上靜止不動； (2) 質(zhì)點孤立，不受力的作用； (3) 質(zhì)點受“有心力”作用,www. *.com,例3-1 自看,例3-2 利用角動量守恒定律導(dǎo)出開普勒行星運(yùn)動第二 定律；行星對太陽的位矢在單位時間內(nèi)掃過的 面積為常量。 解：行星繞太陽運(yùn)動過程中，受太陽吸引力的作用，是有心力，力矩為零，角動量守恒。 行星相對于太陽任意時刻的角動量,3.2 質(zhì)點的角動量守恒定律,www. *.com,=恒量,其大小為,設(shè)t時間內(nèi)，位矢掃過的面積為,單位時間內(nèi)，位矢掃過的面積為,=恒量,3.2 質(zhì)點的角動量守恒定律,=恒矢量,www. *.com,3.3 剛體的運(yùn)動,3.3.1 剛體,剛體是受力時不改變形

5、狀和體積的物體， 是理想模型。,特點,(1) 是一個質(zhì)點組（剛體可以看成由許多質(zhì)點 組成，每一個質(zhì)點叫做剛體的一個質(zhì)元）,(2) 質(zhì)點組內(nèi)任意兩點間的距離保持不變.,www. *.com,3.3 剛體的運(yùn)動,3.3.2 平動和轉(zhuǎn)動,平動剛體運(yùn)動時,剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的 運(yùn)動。,www. *.com,轉(zhuǎn)動 剛體運(yùn)動時，其上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動，這種運(yùn)動稱轉(zhuǎn)動。該直線稱為轉(zhuǎn)軸。若轉(zhuǎn)軸不動，稱定軸轉(zhuǎn)動。,3.3 剛體的運(yùn)動,(1) 剛體上各點都在垂直于固定軸的平面內(nèi)(轉(zhuǎn)動平面)做圓周運(yùn)動.其圓心都在一條固定不動的直線(轉(zhuǎn)軸)上.,(2) 剛體上各點到轉(zhuǎn)軸的垂直線在同樣的時間內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角

6、度都相同。因而用角量描述剛體的運(yùn)動.,1. 定軸轉(zhuǎn)動特征,www. *.com, 稱角位置或角坐標(biāo)。規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向 為正。,2. 定軸轉(zhuǎn)動的描述,(1) 角坐標(biāo),剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)方程,(2) 角位移, 為 t時間內(nèi)剛體所轉(zhuǎn)過的角度。, = (t),3.3 剛體的運(yùn)動,www. *.com,(3) 角速度,在定軸轉(zhuǎn)動中，轉(zhuǎn)向只可能有兩個方向。取逆時針轉(zhuǎn)動 0，順時針轉(zhuǎn)動 0。,每分轉(zhuǎn) n 轉(zhuǎn),角速度,(4) 角加速度,角加速度,3.3 剛體的運(yùn)動,www. *.com,勻變速轉(zhuǎn)動 =常量,與質(zhì)點勻變速直線運(yùn)動公式相對應(yīng)。,(5) 剛體定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動方程,勻速轉(zhuǎn)動 = 常量,3.3 剛體的運(yùn)動,

7、www. *.com,(6) 角量與線量的關(guān)系,線量質(zhì)點做圓周運(yùn)動的位移r、速度v、加速度a,角量描述剛體轉(zhuǎn)動整體運(yùn)動的,注: r 的原點必須在轉(zhuǎn)軸上.,弧長,線速度,切向加速度,法向加速度,3.3 剛體的運(yùn)動,www. *.com,一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量,第i 個質(zhì)點mi,大?。?由于所有質(zhì)點的角動量的方向相同，所以剛體的角動量為,令,相對于給定軸的,角動量為,J稱為轉(zhuǎn)動慣量,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,www. *.com,二、剛體的轉(zhuǎn)動定律,剛體的轉(zhuǎn)動定律：剛體轉(zhuǎn)動過程中，剛體的角加速度與作用在剛體上的合外力矩成正比與轉(zhuǎn)動慣量成反比。,由剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理,可得,為

8、剛體的角加速度,記,注：與牛頓第二定律地位相當(dāng),3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,www. *.com,三、轉(zhuǎn)動慣量J,1、質(zhì)點剛體：,3、質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：,J的單位：kgm2,量綱: ML2,2、離散剛體：,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,www. *.com,例3-4 一質(zhì)量為m，長為l的細(xì)棒，求其對于,(1) 通過棒的一端并與棒垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量；,(2) 通過棒的中點并與棒垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量。,解：,(1) 在距o點為x處取線元dx,其質(zhì)量為dm,兩邊積分得,o,dm 繞給定軸的轉(zhuǎn)動慣量為,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,www. *.com,例3-4 一質(zhì)

9、量為m，長為l的細(xì)棒，求其對于,(1) 通過棒的一端并與棒垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量；,(2) 通過棒的中點并與棒垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量。,解：,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,(2) 分析求解同 (1),www. *.com,四、平行軸定理,設(shè)o 軸是通過剛體質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸，剛體繞o軸的轉(zhuǎn)動慣量為,可以證明：繞任意平行于o軸的轉(zhuǎn)動慣量為,平行軸定理,例如 3-4題中,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,www. *.com,五、影響轉(zhuǎn)動慣量的因素,1、質(zhì)量的分布,2、剛體的形狀,P45 表3-1,3、轉(zhuǎn)軸的位置,例3-5 分別求質(zhì)量為m半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤繞通過各自中心并與圓盤面垂直的軸的

10、轉(zhuǎn)動慣量。,解：(1) 在圓環(huán)上取質(zhì)量元 dm,dm 繞給定軸的轉(zhuǎn)動慣量為,dJ = R2 dm,積分得,O,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,www. *.com,解：(2) 在距o點為r處取寬度為dr 的圓環(huán)，圓環(huán)的質(zhì)量為dm,o,積分得,dm繞給定軸的轉(zhuǎn)動慣量為,例3-5 分別求質(zhì)量為m半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤繞通過各自中心并與圓盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,www. *.com,六、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用,例題 一個質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪（均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩。繩的一端固定在滑輪上，另一端系一質(zhì)量為m的物體。忽略軸處摩擦，求物體m下滑的加速

11、度a和滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度。,解：,Mg,N,T,mg,T,a,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,www. *.com,解以上三式得,根據(jù)轉(zhuǎn)動定律,TR=J,根據(jù)牛頓第二定律,mg-T=ma,因繩與滑輪間無滑動，所以,a=R,3.4 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量,www. *.com,由剛體角動量定理的微分式,恒矢量,即：,恒矢量,討論：,1、當(dāng)J=恒量時，=恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動。,2、當(dāng)J變化時，J 增大，減小。 J 減小， 增大。,例：跳水，體操等。,3.5 剛體的角動量 守恒定律,www. *.com,例題 如圖所示，一質(zhì)量為m 的子彈以水平速度 v0 射入可以繞水平轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)自