《數(shù)學方法論》數(shù)學中使用的一般科學方法

1、第一章 數(shù)學中使用的一般科學方法（共10學時）教學目的和要求 要求學生通過本章的學習，掌握在數(shù)學研究及數(shù)學解題中如何使用觀察與實驗、比較與分類、歸納與類比這三類科學方法，并能獨立運用這些方法解決數(shù)學問題。教學內(nèi)容第一節(jié) 觀察與實驗 （2學時）1觀察與實驗是收集科學事實，獲取感性經(jīng)驗，形成、發(fā)展和檢驗科學理論的主要方法2觀察與實驗在數(shù)學研究及數(shù)學解題中的功能、特點和作用第二節(jié) 比較與分類 （2學時）1. 比較與分類是分析、整理知識的主要方法2. 比較與分類在數(shù)學研究及數(shù)學解題中的功能、特點和作用第三節(jié) 歸納與類比 （4學時）1. 歸納與類比是提出數(shù)學猜想的主要方法2. 歸納與類比在數(shù)學研究及數(shù)學

2、解題中的功能、特點和作用習題課（2學時）通過“示例”教學使學生理解和掌握這三類科學方法在數(shù)學研究及數(shù)學解題中的功能、特點和作用。教學重點觀察與實驗、比較與分類、歸納與類比方法在數(shù)學研究及數(shù)學解題中的功能、特點和作用。教學難點根據(jù)已有的事實材料如何運用歸納與類比方法提出數(shù)學猜想。教學建議 本章內(nèi)容是課程的重點內(nèi)容，建議通過“示例”教學使學生理解和掌握這三類科學方法在數(shù)學研究及數(shù)學解題中的功能、特點和作用。教學過程在科學的發(fā)展過程中，凡是對人類的認識產(chǎn)生過積極作用的思想家，不論是哲學家或是科學家，都對科學中的思想方法和研究方法進行過考察與分析，科學方法就是在他們的研究和探索中誕生的。綜觀人類的科學

3、認識史，大凡以算法為主導的數(shù)學發(fā)展時期，人們常常將數(shù)學歸并到自然科學范疇之內(nèi)，而在以演繹為主導的數(shù)學發(fā)展時期，人們則將數(shù)學獨立于自然科學之外。在當代，由于計算機的出現(xiàn)以及由此引起一場迅猛的技術(shù)革命，數(shù)學中“構(gòu)造性觀念的抬頭有了一些明顯的趨勢?！保▍俏目。?，而這種趨勢致使數(shù)學及數(shù)學教育界過分偏重形式，強調(diào)邏輯思維能力，忽視了數(shù)學的活的靈魂，對于使用邏輯方法以外的科學方法不予重視。而包括20世紀最偉大的數(shù)學家馮諾伊曼就曾指出：“大多數(shù)最好的數(shù)學靈感來源于經(jīng)驗”，“在一門數(shù)學遠離其經(jīng)驗之源而發(fā)展時，存在著一種危險，即這門學科會沿著一些最省力的方向發(fā)展，并分為數(shù)眾多而無意義的支流。唯一的解決辦法是使其

4、回到其本源，返老還童。”（引自數(shù)學家談數(shù)學本質(zhì)）菲爾茲獎獲得者，日本數(shù)學家小平邦彥說過：“物理學可以說是研究自然現(xiàn)象中物理現(xiàn)象的科學，在同樣的意義上，數(shù)學就是研究自然現(xiàn)象中數(shù)學現(xiàn)象的科學。”由此可見，在數(shù)學研究和解題中廣泛運用一般科學方法是不可避免的。因為數(shù)學的研究對象是形式化的思想材料，盡管它起源于經(jīng)驗，有的直接依賴于經(jīng)驗，但畢竟舍棄了事物的具體內(nèi)容。因此，數(shù)學在使用一般科學方法時，必然有所側(cè)重，具有自己的特點。2.1數(shù)學中的觀察與實驗一般的科學方法中，觀察和實驗是收集科學事實，獲取感性經(jīng)驗的基本途經(jīng)，是形成、發(fā)展和檢驗自然科學理論的實踐基礎(chǔ)。觀察與實驗在數(shù)學研究中也是一種最基本的主要方法之

5、一。觀察是人們對事物或問題的數(shù)學特征通過視覺獲得信息，運用思維辨認其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律或性質(zhì)的方法。盡管觀察是最原始最基本的方法之一，但它是進行數(shù)學思維必須的和第一位的方法，在數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學問題的解決過程中，觀察也是常用的有效方法之一。在數(shù)學活動中，常常通過觀察來收集新材料，發(fā)現(xiàn)新事實，并通過觀察可以認識數(shù)學的本質(zhì)、揭示數(shù)學的規(guī)律、探求數(shù)學方法。數(shù)學中的觀察按觀察的特征可分為定性觀察（對對象的特征、性質(zhì)、關(guān)系的觀察）和定量觀察（對對象間的數(shù)量關(guān)系的觀察）兩種。實驗是根據(jù)研究問題的需要，按照研究對象的自然狀態(tài)和客觀規(guī)律，人為地變革、控制和模擬客觀對象，在有利的條件下獲取

6、經(jīng)驗材料的研究方法。實驗方法在數(shù)學活動中有助于數(shù)學理論的研究與發(fā)展；有助于啟發(fā)數(shù)學解題思路；有助于在數(shù)學教學中創(chuàng)設(shè)思維情景。由于實驗總是和觀察相互聯(lián)系，觀察常常可用實驗作基礎(chǔ)，而實驗又可使觀察得到的性質(zhì)或規(guī)律得以重現(xiàn)或驗證。而實驗比觀察有更大的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在以下兩個方面：（1）實驗方法具有簡化和純化數(shù)學對象的作用。因為實驗可借助專門儀器工具，人為地變更、控制和模擬客觀對象，因而能把握實驗者的需要，突出某些主要因素，排除或減少其他次要的、偶然因素的干擾，使研究對象中為研究者所需要的某些屬性或關(guān)系在簡化、純化的形態(tài)下暴露出來，從而準確地認識它。（2）實驗方法可以重復進行或多次再現(xiàn)被研究的對象，

7、以便進行反復的觀察。數(shù)學不是實驗性的科學，因此不能將觀察到的結(jié)果、實驗性的驗證作為判斷數(shù)學命題的真假性的充分依據(jù)，但它們在數(shù)學發(fā)現(xiàn)及探求數(shù)學問題的解決思路的過程是起著重要作用的，歐拉曾經(jīng)說過：“今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀察所發(fā)現(xiàn)的，并且早在用嚴格論證確認其真實性之前就被發(fā)現(xiàn)了。甚至到現(xiàn)在還有許多關(guān)于數(shù)的性質(zhì)是我們所熟悉而不能證明的；只有觀察才使我們知道這些性質(zhì)。因此我們認識到，在仍然是很不完善的數(shù)論中，還得把最大的希望寄托在觀察之中；這些觀察將導致我們繼續(xù)獲得以后盡力予以證明的新的性質(zhì)?！彪S后歐拉又指出了觀察的局限性，告誡人們要把“這類僅從觀察為旁證而仍未被證明的知識，必須謹慎地與

8、真理區(qū)別開來，”“不要輕易地把觀察所發(fā)現(xiàn)的和僅從歸納為旁證的關(guān)于數(shù)的那樣一些性質(zhì)信以為真?！睔W拉還指出：“數(shù)學這門學科，需要觀察，也需要實驗?！毕旅嫖覀儗⑼ㄟ^一些例子來說明觀察與實驗在數(shù)學研究中的重要作用?！纠?】兔子繁殖問題13世紀初，意大利數(shù)學家裴波那契（L.Fibonacci）在他所著的算盤書中，提出了一個十分有趣的題目：“有一個人把一對小兔子放在四面都圍著的地方，他想知道一年以后總共有多少對兔子。假定一對小兔子經(jīng)過一個月以后就長大成為一對大兔子。而一對大兔子經(jīng)過一個月就不多不少恰好生一對小兔子（一雌一雄），并且這些生下的小兔子都不死?！边@是一個算術(shù)問題，但是用普通的算術(shù)公式是難以計算的

9、，為了尋求兔子繁殖的規(guī)律，我們引進記號：1表示已長大成熟的一對大兔子；0表示未成熟的一對小兔子；用表示在n月1日總共有兔子的對數(shù)，用 分別表示n月1日大兔子的對數(shù)和小兔子的對數(shù)，則通過觀察有：經(jīng)過進一步的觀察，兔子的繁殖規(guī)律可列成下表n12345670112358101123511235813由此表可得： （用實箭頭表示） （用虛箭頭表示）進一步考慮，又可得：（1）當 時，由的定義，有 （2）當時，由（1）得由以上觀察和歸納所得的結(jié)果，我們知道當 時，通過便可計算出的值。顯然，上面的結(jié)果純粹是建立在觀察和實驗的基礎(chǔ)之上的，是否帶有普遍意義，亦即對一切結(jié)論是否成立，還需要進行嚴格論證。但是，這個

10、結(jié)果的確給我們帶來了解決一般問題的曙光，我們有理由猜想兔子的繁殖規(guī)律可以用一個明確的遞推關(guān)系來描述，即 （） 正如當代最著名的數(shù)學教育家波利亞（G.Polya）所說：“數(shù)學家好似自然科學家，在他用一個新觀察到的現(xiàn)象來檢驗一個所猜想的一般規(guī)律時，他向自然界提出問題：我猜想這規(guī)律是真的，它真的成立嗎？假如結(jié)果被實驗明確證實，那就有某些跡象說明這個規(guī)律可能是真實的，自然界可以給你是或非的回答?！睂τ谶f推關(guān)系式，其正確性是肯定的，這可以用數(shù)學歸納法加以證明，后人為紀念兔子繁殖問題的提出人，將數(shù)列稱為裴波那契數(shù)列，這個數(shù)列的每一項都叫做裴波那契數(shù)，裴波那契數(shù)列在數(shù)學、物理、化學、天文等學科中經(jīng)常出現(xiàn)，并

11、且有許多有趣的性質(zhì)。由于裴波那契數(shù)列可用于優(yōu)選法，因而近年來有越來越多的人去研究它?！纠?】 投針問題1777年，法國科學家蒲豐（C.de Buffon）提出并解決了一個概率問題：投針問題。這個問題給人們以巨大的啟迪：數(shù)學與實驗不僅有緣，而且有著十分密切的關(guān)系。投針問題用數(shù)學語言表述如下：平面上畫著一些間隔為的一組平行線，在平面上隨機的投擲一枚長為并且質(zhì)量均勻的針，假定，試求此針與平行線相交的概率。2aM圖2.1從幾何概率來看，投針問題的解法是：用M表示針的中點，X表示M到與它最近的一條平行線的距離，表示針與這一平行線的交角（圖2.1）。那么xAa圖2.2決定了平面上一個矩形S；同時為了使針與

12、一平行線相交， 當且僅當X，滿足不等式于是，我們的問題就等價于在S中隨機地擲一點，求此點落在區(qū)域A中的概率（圖2.2）由積分的幾何意義可知，區(qū)域A的面積是故所求的概率投針問題的結(jié)果，提供了用實驗方法求值的理論依據(jù)。設(shè)n是投針的總次數(shù)，m是針與平行線之一相交的次數(shù)，由概率的統(tǒng)計定義，近似等于，于是得 amln2?在歷史上，有不少人利用上述結(jié)果做過實驗。1850年，瑞士數(shù)學家沃爾夫（Wolfe）在蘇黎世，用一根長36mm的針，平行線的距離為45mm，投擲了5000次，得到的近似值為3.1596。 1855年，英國人史密斯（Smith）投擲 了3200次，得到的近似值3.1553。 1864年，英國

13、人?？怂?Fawkes)投鄭了1100次。得到的近似值為3.1419。1901年，意大利拉澤里尼(Lazzerini)投鄭了3480次，得到的 值準確到第六位小數(shù)，但有人對些結(jié)果持懷疑態(tài)度。xy110SA圖2.3蒲豐投針實驗提示了數(shù)學方法的多樣性和靈活性，投針問題被認為是數(shù)學史上最早的幾何概率的研究成果。由于幾何概率的研究要以有關(guān)圖形集合的測度為基礎(chǔ)，因而自然要導致積分幾何的建立。在現(xiàn)代，由于大型電子計算機的出現(xiàn)，一種新型的數(shù)學實驗近似計算方法蒙特卡羅（Monte-Carlo）方法迅速地發(fā)展起來。這種方法以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)，將所求的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計算機實現(xiàn)統(tǒng)計模

14、擬或抽樣，以獲得問題的近似解。多用于求繁難的積分。解線性方程組、偏微分方程等問題。下面舉例說明方法的基本思路。例如要計算積分 的值。由積分的幾何意義， 知道這就是要求計算圖2.3中的區(qū)域A的面積。即由幾何概率的定義，這就相當于“向正方形S中隨機地擲一點”，求此點落在區(qū)域A中的概率，又由概率的統(tǒng)計定義，為求得的近似值，只要求得此點落在區(qū)域A中的頻率，即隨機地擲一點于正方形的試驗可以由計算機來做，并且可以由計算機來算出n次試驗中落在區(qū)域A的頻率概率的近似值，也就是積分的近似值。當試驗次數(shù)n充分大時，它與的誤差可以很大的概率控制在所需要的精確度內(nèi)。由于大型計算機的運算速度很快，所以可在很短的時間內(nèi)求

15、得所要求的結(jié)果。人們在學習數(shù)學或解決數(shù)學問題的過程中，也免不了觀察和實驗。而決定觀察與實驗的質(zhì)量的主要條件是目的性、計劃性、全面性以及主體的良好知識結(jié)構(gòu)。深入的觀察和良好的實驗可引起廣泛的聯(lián)想和知識遷移，使我們不斷地調(diào)整步驟，通過簡單的情形，去理解和發(fā)現(xiàn)研究對象的性質(zhì)和規(guī)律，還可使我們更快地產(chǎn)生頓悟，找到解決問題的關(guān)鍵。例如，為了得到“三角形內(nèi)角之和等于180o”這個定理，我們可通過下面的兩個實驗：一是用量角器分別測量三個內(nèi)角的大小，求和；二是在紙上裁下一個三角形（記為）如圖2.4所示，剪下A與B，把它們和C拼在一起。這時可發(fā)現(xiàn)CD恰好為BC之延長線。通過實驗，不僅幫助我們建立命題，而且實驗二

16、還指出了這個命題證明方法的啟示。【例3】 如果正整數(shù)N（N1）的正約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，求證N是完全平方數(shù)。此題的證明方法并不顯然，我們做一個實驗，觀察n個特殊的正整數(shù)，其中包括一些非完全平方數(shù)和一些完全平方數(shù)，考慮它們的正約數(shù)的個數(shù)呈現(xiàn)什么規(guī)律，這些規(guī)律是怎樣產(chǎn)生的？N正約數(shù)正約數(shù)的個數(shù)非完全平方數(shù)21,2,231,3,251,5,261,2,3,6,471,7,2121,2,3,4,6,12,6301,2,3,5,6,10,15,30,8完全平方數(shù)41,2,4,391,3,9,3161,2,4,8,16,5251,5,25,3361,2,3,4,6,9,12,18,36,91001,2,4，5

17、,10,20,25，50,100,91961,2,4,7,14,28,49,98,196,9通過上表，我們觀察到：對非完全平方數(shù)來說，它們的正約數(shù)序列中，距首未兩端等距離的兩個正約數(shù)的乘積為N，如12=112=26=34；對完全平方數(shù)來說，它們的正約數(shù)序列中，除了首未兩端等距離的兩個正約數(shù)的乘積為N之外，中間還剩一個正約數(shù)，如 36=136=218=312=49=62 以上實驗，也使我們更加確信：正約數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)的正整數(shù)必為非完全平方數(shù)；正約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)的正整數(shù)必為完全平方數(shù)。 根據(jù)實驗中我們所觀察到的正整數(shù)的正約數(shù)的個數(shù)規(guī)律的啟示，得到本例的證法如下： 設(shè)是的正約數(shù)則必為的正約數(shù)，因為。

18、若不是自然數(shù)，則，必有一個小于，另一個大于。因此，的正約數(shù)是成雙出現(xiàn)的。即的正約數(shù)的個數(shù)必為偶數(shù)，這與已知條件相違。由此推出是自然數(shù)，即為完全平方數(shù)。2.2數(shù)學中的比較與分類比較是確定有關(guān)事物的共同點和不同點的思維方法。比較的過程是先對有關(guān)事物進行分析，區(qū)別每個事物各方面的特征，再將有關(guān)事物按其特征進行對比，得出哪些方面具有共同性，哪些方面又有區(qū)別性，從而鑒別這些事物間的異同，比較是概括的基礎(chǔ)，通過抽象得出的屬性是在比較以后才能認識其共性的。通過比較，可以從思想上把握現(xiàn)實世界對象的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，反映客觀事物相互對立又相互聯(lián)系而存在的實際情況，達到正確認識事物的目的。正如俄國教育家烏申斯

19、基所說：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的”。在人們的社會實踐，特別是在科學研究中，比較作為一種科學方法普遍地被應(yīng)用。在數(shù)學研究中通過比較方法確定研究對象的共同點和差異點，為開發(fā)新的研究領(lǐng)域提供指導與線索。數(shù)學中的許多發(fā)現(xiàn)都是應(yīng)用比較方法完成的。數(shù)學中的比較是多方面的，有量的大小的比較，有形式結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的比較，也有實質(zhì)方面的比較。比較的目的是把握有關(guān)事物的區(qū)別和聯(lián)系，達到正確認識事物。 例如，數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，除歐幾里得幾何之外，還存在兩種非歐幾里得幾何，即羅巴切夫斯基幾何和黎曼(B.Riemann)幾何，對于歐幾里得原本第五公設(shè)來說，這兩種非歐幾里得幾何分別對應(yīng)

20、于下列兩個公理。羅巴切夫斯基幾何 已知在一平面內(nèi)有一條直線和不在上的一點P，則過點P至少存在兩條平行于的直線。黎曼幾何 已知在一平面內(nèi)有一條直線和不在上的一點P，則過點P不存在任何平行于的直線。數(shù)學家們在關(guān)于歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何的比較研究，給出了三套迥然相異的命題，為了弄清三者之間的基本差別，普倫諾威茨（Prenowitz）和若爾當(C.Jordan)在幾何學的基本概念一書中列出下面表格加以比較。通過對下表所述的三種幾何學的特征的差別的比較，就可以從思想上把三種幾何區(qū)分開來，這將對進一步學習和研究提供“理解和思維的基礎(chǔ)”。事 項歐幾里得幾 何羅巴切夫斯基幾何黎曼幾何兩條不同

21、直線相交在至多一個至多一個一個（單一橢圓）兩個（二重橢圓）點上點上已知直線，和 外一點P，存在有且僅有一條直線至少有兩條直線無直線通過P且平行于一條直線可以可以不可以被一點分為兩部分平行直線是等距的是不等距的不存在如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交必然可能或不可能與另一條直線相交正確的薩開里假設(shè)是直角銳角鈍角假設(shè)兩條垂直于同一直線的不同直線是平行的是平行的相交三角形的內(nèi)角和等于小于大于180o一個三角形的面積與它的內(nèi)角和無關(guān)的角朒成正比的角盈成正比對應(yīng)角相等的兩個三角形相似全等全等下面我們再就三種幾何不中的兩個著名的命題，作出比較的結(jié)果。（1）勾股定理（畢達哥拉斯定理）歐幾里得幾何 羅巴切

22、夫斯基幾何 這里k是某個確定的常數(shù)，e=2.718 黎曼幾何 這里 是正定的。（2）半徑為r的圓的周長C歐幾里得幾何 羅巴切夫斯基幾何 黎曼幾何 無法用簡單的式子表示。在數(shù)學中，從概念的發(fā)展、命題的推演或證明，到數(shù)學問題的解決，都滲透著比較方法的運用。在數(shù)學教學中，有經(jīng)驗的教師通過舊知識引進新知識，讓學生在新舊知識的比較中，提出疑問，創(chuàng)設(shè)問題情境。比較在數(shù)學學習中不僅是一種科學的認識方法，而且已發(fā)展成為一種獨立的數(shù)學解題方法。數(shù)學思維的基本形式是：概念、判斷和推理，其中判斷和推理是以概念為基本要素。判斷是在比較兩個或兩個以上概念的特性之后，對命題作出肯定或否定的思維形式；數(shù)學中推理以歸納和演繹

23、為主要推理形式，其中歸納推理以比較同類事物的特性為前提，演繹推理則需在比較一般原理與具體事物的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行。所以在數(shù)學教學中對概念（包括相對概念，易混淆概念）或同類事物進行比較；不僅有利于提高學生的認識能力，而且直接關(guān)系到解題能力的形成。不等式的證明方法，因題而異，但是比較法是一種普適性較大的方法?！纠?】 設(shè)為三角形的三邊，求證。 證一：作差法，因為 - 由于代入上式得 0C， -1CosC1 1+cosC0, 而a0,b0,這就證明了0，即 證二：作商法，因為 為三角形的三邊，這就證明了 1, 即 【例2】 已知為內(nèi)的一點，求證： 分析：由圖形的特征上可以聯(lián)想有面積關(guān)系： 比較題中待證

24、式與上式的異同可知，由于兩式結(jié)構(gòu)相同，只需從面積關(guān)系入手進行轉(zhuǎn)化即可，于是思路打開。同理有： ， （1）又 同理，應(yīng)用等比定理有： （2）比較（1）、（2）兩式，即得結(jié)論。分類是以比較為基礎(chǔ)，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對象歸為一類，不同性質(zhì)的對象歸入不同類別的思維方法。分類的目的在于使知識條理化，并進而系統(tǒng)化，促進認識結(jié)構(gòu)的發(fā)展，分類方法雖側(cè)重于理性思維，但是條理化、系統(tǒng)化的信息便于檢索和儲存，對知識的鞏固、理解的深化、后續(xù)學習的進行和問題的解決都起著重要的指導作用。當面臨較復雜的對象時，人們往往會考慮將對象按某種特征分成幾個部分，逐一加以研究，再綜合之，以達到認識對象全體的目的。這種

25、分類方法在科學研究中是廣為運用的。生物學家通過直覺歸納、解剖等手段，運用分類方法，編排出動植物的譜系；化學家在分類的基礎(chǔ)上，根據(jù)元素的周期現(xiàn)象，預言新元素的存在及其性狀。在數(shù)學中則把分類作為一種揭示概念外延的邏輯方法，當我們要弄清某個數(shù)學概念是由哪幾種子概念構(gòu)成的時候，就提出了概念分類（或稱為概念劃分）的任務(wù)。如關(guān)于數(shù)的概念可分類如下：上表采用了二分法，即把屬概念（復數(shù)）連續(xù)地分為兩個互相矛盾的概念，直到適當?shù)那闆r為止，用二分法分類，條理清楚，對于從整體上認識種概念也屬概念之間的關(guān)系較為有利。如都是概念的二分法分類的例子。概念的分類必須遵守以下規(guī)則，只有這樣，才能在分類過程中防止出現(xiàn)遺漏、重復

26、或者混淆不清的現(xiàn)象。1分類所得的各子項外延的總和，應(yīng)當與被分類的概念的外延相等。如三角形以角的大小為標準，可分為 （）因為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的外延的總和，恰好與三角形的外延相等。而就不是正確的分類，這里，第一，二，三，四象限的角的外延的總和狹于被分類的概念的外延，遺漏了“軸線角”這一子項。 2分類所得的各子項，應(yīng)當是互相排斥的。就是說，某一概念被分類后，其各子項每兩項都應(yīng)當是并列關(guān)系，而不是交叉關(guān)系或從屬關(guān)系。如把平行四邊形分為矩形、菱形和正方形，就不僅違反了規(guī)則1，而且也犯了“交叉”和“從屬”的毛病。3分類應(yīng)按同一標準進行。在分類前，應(yīng)當從被分類的概念的屬性中，取出一個屬性作

27、為依據(jù)。如三角形以“角的大小”為標準，得到的分類是（）；如以“邊的相等關(guān)系”為標準，得到的分類則是這里的不等邊三角形是指任何兩條邊都不等的三角形；二等邊三角形是指有且僅有兩條邊相等的三角形。如果二等邊三角形是指通常的等腰三角形，那么這一分類就違反了規(guī)則2。分類方法在數(shù)學中有廣泛的運用，這是因為一切事物都必須分門別類加以研究，才能條理清楚、涇渭分明，區(qū)別事物間的千差萬別，明確事物間的聯(lián)系，作為反映現(xiàn)實世界各種現(xiàn)象普遍聯(lián)系和制約關(guān)系的數(shù)學，是以概念為支柱的，沒有分類，數(shù)學概念就不復存在，也就無法建立和發(fā)展。分類往往可使復雜的問題化簡單，使隱晦的條件變?yōu)槊黠@，從而有助于我們分別思考，各個擊破，大到一

28、個數(shù)學分支學科，小到某個具體問題，幾乎一切數(shù)學問題都與分類有關(guān)。學會在不同的場合把復雜的對象按我們的需要進行分類，是數(shù)學研究中一種很重要的基本功?！纠?】 試討論三平面的一切可能的位置關(guān)系。分析：空間三平面的位置關(guān)系是一個復雜的關(guān)系。怎樣分類才能做到既無重復又無遺漏呢？這應(yīng)抓住分類各個階段的分類標準。首先抓三個平面有無重合，在有二個重合的條件下再按與第三個平面是相交還是平行進行分類；對三個平面都不重合的情況下再按有幾個平面平行來分類；對三個平面都不平行的情況再按三條交線是否重合，平行、相交來分類。這樣逐級進行分類，才可避免重復與遺漏。三個平面的一切可能的位置關(guān)系為：1 三個平面重合；2 二個平

29、面重合3 三個平面平行4 兩個平面平行5 三個平面兩兩相交 【例4】 有標有0、1、2、3、4、5、6、7、8的卡片9張，從中選3張，用其數(shù)字組成無重復的數(shù)字的三位數(shù)。如果卡片6也可以當9用，試問：這樣組成的三位數(shù)有多少個？解：由于卡片6的特殊性，按數(shù)字6進行分類，分為三類：（1）不含6，這樣的三位數(shù)由0、1、2、3、4、5、7、8、9中選三個數(shù)字組成，共有個。（2）含6不含零，這樣的三位數(shù)由1、2、3、4、5、7、8中選兩個數(shù)字與6組成，因而，共有個。（3）含6又含零，這樣的三位數(shù)由1、2、3、4、5、7、8中選一個數(shù)字與6和0組成，因而，共有個。綜合（1）、（2）、（3）可知，這樣的三位數(shù)

30、總共有【例5】 試證不小于5的質(zhì)數(shù)的平方與1的差必為24的倍數(shù)。分析：如何表示不小于5的質(zhì)數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵，而質(zhì)數(shù)又無簡單的通項公式。因而進一步去考慮將不小于5的質(zhì)數(shù)擴大為不小于5的自然數(shù)，并分為如下六類：6n，6n+1，6n+2，6n+3，6n-2，6n-1。因為不小于5的質(zhì)數(shù)不可能為偶數(shù)或3的倍數(shù)，所以不小于5的質(zhì)數(shù)只可能落在之中，若我們能證明：，則命題也自然得證。事實上，又必為偶數(shù)，所以，。運用分類法解決數(shù)學問題的關(guān)鍵，就在于分類對象或范圍要選得準，并找到適當?shù)姆诸悩藴省榇司捅仨氝\用辯證的邏輯思維，具體事物具體分析，在表面上極為相似的事物之間看出它們本質(zhì)上的差異點，在表面上差異極大

31、的事物之間看出它們本質(zhì)上的相同點，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征。這樣才能揭示數(shù)學對象之間的內(nèi)有聯(lián)系，暴露所涉及范圍的制約關(guān)系?！纠?】 已知在20個城市之間共辟有172條航線，證明：利用這些航線，可以從其中任何一個城市飛抵其余任何一個城市（包括中轉(zhuǎn)后抵達）。證：假設(shè)其中存在某個城市，由它僅能飛抵城市，我們將所有的城市分為兩類：一是將及由可以飛抵的個城市歸入類；二是將不能飛抵的個城市歸入類。于是在分屬類與類的任意兩個城市之間都沒有航線連能（否則由即可以經(jīng)過中轉(zhuǎn)而飛抵屬于類城市）。這樣一來，航線的總數(shù)目就應(yīng)超過注意到，對于這樣的整數(shù)，顯然。于是就有條。這與已知的共有172條航線的事實相矛盾，可見不存在所述城

32、市，即是說，由這20個城市中的任一城市都可飛抵其余任何一個城市。 2.3提出數(shù)學猜想的一般方法：歸納與類比猜想是根據(jù)某些已知的事實材料和數(shù)學知識，通過理論思維的能動性，對未知量及其關(guān)系所作出的一種猜測性的推斷。恩格斯說過：“只要自然科學在思維著，它的發(fā)展形式就是假說?！睌?shù)學猜想是數(shù)學研究的一個科學方法，也是數(shù)學發(fā)展的一種重要形式。無論是數(shù)學家或是正在學習數(shù)學的學生，在研究數(shù)學、學習數(shù)學時，令人最感到困惑也是最引人入勝的環(huán)節(jié)之一，就是如何發(fā)現(xiàn)定理以及怎樣才能證明定理。牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”波利亞也說過：“對于正積極搞研究的數(shù)學家來說，數(shù)學也許往往像猜想游戲：在你證明一

33、個數(shù)學定理之前，你必須猜想到這個定理，在你搞清楚證明細節(jié)之前，你必須先猜想出證明的主導思想?！庇捎诓孪攵际菍κ挛锏默F(xiàn)象和規(guī)律的推測，尚未達到確切可靠的認識，因而有待于進一步通過科學實驗來檢驗或證實，作為數(shù)學猜想，則應(yīng)通過嚴格的論證以確認。從詞義上來看，猜想與假說、合情推理視為同義。由于猜想都是對事物的現(xiàn)象和規(guī)律的推測，尚未達到確切可靠的認識，因而有待于進一步通過科學實驗來檢驗或證實，作為數(shù)學猜想，則應(yīng)通過嚴格的論證以確認。在數(shù)學發(fā)展的歷史上，曾經(jīng)有過許多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、費馬猜想（費馬大定理）、歐拉猜想（36名軍官問題）、黎曼猜想、比勃巴赫猜想、希爾伯特猜想（希爾伯特23個問題）和四

34、色猜想等等，這些猜想，有的經(jīng)過長期努力得到了證明，如哥德巴赫猜想、四色猜想和希爾伯特23個問題中的第一、第三、第五、第九、第十七、第二十一問題等；有的則給出了否定的解決，如歐拉猜想、希爾伯特23個問題中的第十、第十四問題等；還有更多的猜想人們正在繼續(xù)努力，或有所進展或突破，或接近于解決，或尚未取得重大的成果。眾多的數(shù)學家在研究和探索猜想的過程中，不僅極大地豐富了數(shù)學本身的內(nèi)容，而且推動著數(shù)學向前發(fā)展。“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！备咚挂舱f過：“在數(shù)論中由于意外的幸運頗為經(jīng)常，所以用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理?！睔w納法是從個別事實中概括出一般原理的科學方法，歸納法有全歸

35、納法和不完全歸納法之分。我們這里所論述的主要是不完全歸納法，它是指由個別性前提推出一般性結(jié)論的推理。歸納法是由一定數(shù)量的單稱陳述出發(fā)，通過思維的“頓悟”過渡到全稱陳述，這就是猜想，由歸納法提出的猜想，雖然不具備演繹推理的那種必然性，但它是一種經(jīng)過若干事例驗證了的猜想，經(jīng)過驗證的事例越多，猜想的置信度就越高。在數(shù)學發(fā)展史上，通過歸納法提出的猜想不計其數(shù)。著名的哥德巴赫猜想就是一例。1742年，德國的一位中學數(shù)學教師哥德巴赫（C.Goldbach）根據(jù)奇數(shù)77=53+17+7，461=449+7+5=257+199+5等個別例子看出，每次相加的三個數(shù)都是素數(shù)，于是他提出猜想，所有大于5的奇數(shù)都可以

36、分解為三個素數(shù)之和，他將此猜想告訴歐拉，歐拉肯定了他的想法，并補充提出：所有大于4的偶數(shù)都可分解為兩個素數(shù)之和，這二者后來即稱為哥德巴赫猜想。這個猜想提出至今已有近260年的歷史，在這漫長的歲月里，也有人對此提出過懷疑，于是不斷有人進行過大量的驗算，至今已驗算到5108以內(nèi)的偶數(shù)都是對的。雖然到目前，哥德巴赫猜想尚未被證明為正確，也沒有人予以否定，但是圍繞這個猜想所作的研究，卻積累了相當多的資料與成果，特別近半個世紀以來，進展迅速，成績顯著，達到了非常精深的境界，在這些成績中，包括陳景潤，王元等在內(nèi)的我國數(shù)論學派占世界領(lǐng)先地位。通過歸納方法提出猜想，爾后又被證明是正確的，這樣的例子當然很多，如

37、關(guān)于凸多面體的歐拉定理其中F，V，E分別表示凸多面體的面、頂點和棱，就是著名的一個。又如數(shù)論中的“四方定理”，即方程對任何自然數(shù)都有，“巴切特猜想。”后來，巴切特自己得到了證明，“猜想”才成為“定理”。不過由于歸納方法得到的結(jié)論并非必然，所以由歸納方法產(chǎn)生的猜想以后被否定的情況亦不鮮見。如法國數(shù)學家費馬曾經(jīng)認為： 對于任何非負整數(shù)n，形狀如的數(shù)都是素數(shù)。這樣的數(shù)叫做“費馬數(shù)”而用符號來表示，則費馬根據(jù)對前五個數(shù)的觀察，通過歸納，就認為他的結(jié)論是正確的，但歐拉在 1732年發(fā)現(xiàn)，這就是說，費馬的這一猜想是錯誤的，要注意，在費馬數(shù)中間，當n4時，目前人們還沒有找到一個素數(shù)，而其中有些卻已經(jīng)被證明是

38、合數(shù)，如的全部素因數(shù)，是一個位數(shù)字，如果用本書中的字體印出來，就要有5km的長度。在費馬數(shù)中，是否有無窮多個素數(shù)？或者是否有無窮多個合數(shù)？都是沒有解決的問題。當然，通過歸納得到的猜想的過程也并不是一蹴而就的，因為手頭上的經(jīng)驗材料大多是支離破碎的，不經(jīng)過一番仔細的分析、研究，將很難發(fā)現(xiàn)蘊涵在其中的關(guān)系，而這些關(guān)系正是歸納賴以進行的依據(jù)。下面我們來看一例?！纠?】 證明數(shù)列12，1122，每項都是相鄰的兩整數(shù)之積。分析：下面我們對數(shù)列的前幾項進行考察（對含“1”的個數(shù)）當n=1時，12=34，命題成立。當n=2時，要把1122分解就不容易了，這時我們設(shè)定命題成立，即設(shè)1122=n(n+1)，則=即

39、 這個信息很重要，它表明n和n+1可以用開方運算迅速地猜到： 3433112233,n.331122?于是猜想?經(jīng)驗證果然成立，同法可以分解出： 當n=3時， =3333343334； 繼而歸納得出： )1333(3332221111?nnnn這純粹是猜測，不能算作證明，但猜測到了積的結(jié)構(gòu)，尋找證明就容易多了。 首先想辦法變出第一個因子333，有利的條件是已經(jīng)出現(xiàn)了111，相差不遠！ )1333(3331)3999(3331)()13110(33332103333)33(32103111)210(111111210111222010011222111nnn?個個個個為了出現(xiàn)為了出現(xiàn)nnnnnn

40、從例1看出，某些數(shù)學問題，其結(jié)論未直接給出，這就需要我們?nèi)ヌ角?，恰當?shù)赝ㄟ^歸納，根據(jù)一定數(shù)量的事實建立猜想，就能較快地找到結(jié)論。當面臨一個生疏的或者是非常規(guī)的數(shù)學問題時，我們適當運用歸納法，建立猜想，也常是探索解決問題的方法的一個好途徑。 【例2】 試把1991表成若干正整數(shù)之和，使這些數(shù)的積最大。分析：把1991表成若干正整數(shù)的和的情形很多，直接一一列舉是很困難的。也是不可能的，那我們還是回到最簡單的情形進行考查，探求分解的規(guī)律，再推廣到一般情形。數(shù)2：只能表為1+1，但2，這說明不如不變，看來從原數(shù)中分出1是不合算的，這種分解情況不再予以考慮；數(shù)3：不如不變；數(shù)4：表為2+2，因22=4，

41、故變與不變無區(qū)別；數(shù)5：表為2+3，因23=6，故積的最大值為6；數(shù)6：表為3+3，則33=9； 表為2+4，則24=8；表為2+2+2，則222=8；后兩種情況可歸結(jié)為一種情況，因為4=2+2，故變與不變無區(qū)別，所以積的最大值為9，可見，表成3個2的和不如表為2個3的和；數(shù)7：表為2+5，5應(yīng)繼續(xù)表為2+3，可見積最大為322=12；數(shù)8：表為2+6，3+5，應(yīng)把6，5繼續(xù)表為若干個2的和。此外8表為4+4也可繼續(xù)表為若干個2的和?？梢姺e最大為332=18；數(shù)9：表為2+7，3+6，4+5，同樣7、6、5也應(yīng)繼續(xù)表為若干個2和3的和，這時也發(fā)現(xiàn)積最大為333=27。經(jīng)過上述枚舉，可以猜想到：

42、欲得所求，應(yīng)該把數(shù)表為若干個2或3的和?，F(xiàn)在我們來證明這個猜想，首先把1991表成若干個正整數(shù)的和，欲使其積最大，這些加數(shù)均不超過4，否則不妨假設(shè)存在某一加數(shù)為,4x?，那么，可表為2+（-2），但 2(-2)=2-4=+(-4)這就使得其積增大。其次，我們可把4表成兩個2的積，且應(yīng)把3個2的和表為2個3的和，即加數(shù)中2的個數(shù)不宜超過2個。因此，應(yīng)把1991表為663個3與1個2的積，因此所求積的最大值為。上述的結(jié)論可推廣到任意大于1的自然數(shù)，即當時，N可表示為k個3的和，其所有加數(shù)的積最大，此積為3k；當=3k+1時，可表為k-1個3與2個2的和，其所有加數(shù)的積最大，此積為；當=3k+2時，

43、可表為k個3與1個2的積，其所有加數(shù)的積最大，所求的積的最大值為。在數(shù)學教學中，我們也可以像數(shù)學研究一樣，引導學生運用歸納等方法，通過猜想去發(fā)現(xiàn)新的命題，當然這個命題是有待于證明?！纠?】 試由下面一組等式出發(fā)，推測并證明一個定理：32+42=52；102+112+122=132+142；212+222+232+242=252+262+272；362+372+382+392+402=412+422+432+442；分析：通過觀察所給等式結(jié)構(gòu)上的特點，欲要找出奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)平方和的性質(zhì)，其關(guān)鍵就在于找到各等式左端的首項構(gòu)成的數(shù)列的性質(zhì)。我們不難發(fā)現(xiàn)：這些等式左端的首項構(gòu)成一個二階等差數(shù)列：即其

44、中且容易求得： 根據(jù)所給的一組等式（不妨再可驗證n=5時的等式），猜想：命題：若)1,2,(n22?nnan，則有證明：往證，等價命題：類比是指在兩類不同的對象之間，由它們的某些相似的屬性推出另外的屬性也相似的推理，類比方法是由此及彼的過程，是由個別到個別的邏輯推理。由類比方法提出猜想，雖然也不具備演繹推理的那種必然性，但是它是以兩類對象之間的相似的屬性愈多，其所推出的另外的屬性也相似的結(jié)論的置信度就愈高。在數(shù)學發(fā)展史上，通過類比方法提出的猜想也不少。例如，1.3的“自然數(shù)平方的倒數(shù)和”問題，就是歐拉運用類比方法獲得猜想及精彩的結(jié)論的一個范例，又如“自然數(shù)的方冪和”問題，即對于任意自然數(shù)m，

45、mmmn?21是否都存在一個求和的方法？ 自古希臘以來，歐洲人一直對這個問題懷有興趣，但到了17世紀，他們所知道的也僅限于m=1，2，3這三種情形，阿拉伯人知道得稍多一些，他們得到了)133)(12)(1(30132124444?nnnnnn?那么，進一步如何求自然數(shù)的五次方冪和、六次方冪和？更一般地，自然數(shù)的m次方冪和又怎樣來求呢？1638年，費馬注意到公式：他作了一個類比，得到在證明了上式的正確性之后，費馬進一步通過類比方法獲得123)1()1(p)1)(n-p(n1)n(n123)1()1()1(1?ppppppkkknk 此式可以通過數(shù)學歸納法加以證明。由此式費馬得到了求自然數(shù)的方冪和

46、的公式，如取p=3，則式可化為 將 及 代入式就可求得2333132)1(21?nnnknk?依此類推，利用求，及的公式，根據(jù)式可得出求的公式。這樣，費馬就獲得了根據(jù)前(n-1)個自然數(shù)方冪和公式導出第n個自然數(shù)方冪和公式的遞推方法，解決了求“自然數(shù)方冪和”的問題。再如，我們知道，一個三角形任意兩邊之和必大于第三邊，后來，人們在反復驗算的基礎(chǔ)上，受到上述三角形不等式的啟迪，通過類比提出猜想：對于自然數(shù)1，1 ，總有其中，分別表示不超過的素數(shù)的個數(shù)，這個猜想是否正確，至今尚未得出結(jié)論。類比法是提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，是擴大知識范圍，獲得新知識的重要手段。天文學家開普勒(Kepler

47、)曾經(jīng)說過：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密”。波利亞也曾說過：“類比是一個偉大的引路人”“每當理智缺乏可靠的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進。”類比法在求解問題中也有廣泛的應(yīng)用。波利亞指出：“選出一個類似的，較易的問題，去解決它，改造它的解法，以使它可以用作一個模式。然后，利用剛剛建立的模式，以達到原來問題的解決?！薄斑@種方法在外人看來似乎是迂回繞圈子，但在數(shù)學上或數(shù)學以外的科學研究中是常用的?！薄纠?】 空間中沒有任何二個平行，沒有任何三個共線，沒有任何四個共點的個平面可把空間分成多少區(qū)域？分析：這個問題使我們?nèi)菀茁?lián)想到類似的一個平面問題：“平

48、面中沒有任何二條平行，沒有任何三條共點的條直線可把平面分為多少個區(qū)域？”對于這個“平面問題”運用歸納法，考查n=1,2,3,4,的個別情形可得：;可以推測：當時， （）這里表示條處于一般位置的直線將平面分成的區(qū)域數(shù)。 由遞推關(guān)系（）我們可以得到將“立體問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”，并在“立體問題”與“平面問題”的類比中得到啟發(fā)，可利用“平面問題”的結(jié)論來解決“立體問題”。設(shè)平面與平面的交線依次為。由題設(shè)可知，這k條直線無任何兩條平行，無任何三條共點，于是由上述“平面問題”知被k條直線分成個區(qū)域。又設(shè)個平面將空間分為個區(qū)域，若增加一個平面，則被條交線分成個區(qū)域，這時空間被分成的區(qū)域就增加了個即：于是

49、：上面諸式相加，得：【例5】 設(shè)都是正實數(shù)，且滿足條件：求的最小值。 分析：這個問題條件很復雜，直接從給出條件求出的表達式是很困難的，因此我們想到用類比法，從條件（1）的結(jié)構(gòu)形式容易聯(lián)想到三角形內(nèi)角正切的恒等式這個恒等式可作為條件（1）的類比對象，于是我們可令因都是正實數(shù)，故A、B、C都是銳角，而且A+B+C=180o。由此我們又有且 2A+2B+2C=360o于是條件（2）、（3）、（4）又可化為從（5）、（6）、（7）的結(jié)構(gòu)形式可以聯(lián)想到平面幾何中一個相似的問題：在邊長為1的正三角形中，求到三個頂點距離之和為最小的點及這個最小值。這個問題的結(jié)論是：到邊長為1的正三角形三個頂點距離的和為最小

50、的點是它的重心，其最小值為。用這個問題與原問題類比，可令分別表示邊長為1的三角形內(nèi)一點到三個頂點的距離，運用類比推理就得到，的最小值可能是。雖然這個結(jié)論仍是猜想，但我們是通過結(jié)構(gòu)形式上的相似尋找類比對象的，而且正實數(shù)與兩點間的距離這兩個類比對象之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)在數(shù)學上稱為同構(gòu)對應(yīng)，具有同構(gòu)對應(yīng)的兩個類比對象，它們的基本性質(zhì)尤其是運算性質(zhì)也是對應(yīng)的，所以這種推理的結(jié)論是正確的。運用這種通過結(jié)構(gòu)的相似找出類比對象的方法，就要善于把待解決的數(shù)學問題的條件或結(jié)論進行適當?shù)淖冃危顾c某些已知的公式或定理的結(jié)構(gòu)相似，進行類比，從而使問題獲得解決。例6、 若把個無區(qū)別的小球放入個不同的盒子中（），問有多少種不同的放