初二競賽專題選講之式的整除

1、初中數(shù)學競賽專題選講式的整除一、內(nèi)容提要1 定義：如果一個整式除以另一個整式所得的商式也是一個整式，并且余式是零，則稱這個整式被另一個整式整除。2 根據(jù)被除式除式商式余式，設f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么式的整除的意義可以表示為：若f(x)p(x)q(x)，則稱f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如x23x4（x4）（x +1）,x23x4能被（x4）和（x +1）整除。顯然當x=4或x=1時x23x40，3 一般地，若整式f(x)含有x a的因式，則f(a)=0反過來也成立，若f(a)=0,則xa能整除f(x)。4 在二次三項式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)x

2、2+(a+b)x+ab則p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右兩邊同類項的系數(shù)相等。這可以推廣到任意多項式。二、例題例1己知x25x+m能被x2整除，求m 的值。 x3解法一：列豎式做除法（如右）x2x25x+m由余式m60得m=6 x22x解法二： x25x+m 含有x2 的因式 3x+m 以x=2代入 x25x+m 得 3x+6 2252 m=0 得m=6 m6解法三：設x25x+m 除以x2 的商是x+a(a為待定系數(shù))那么x25x+m(x+a)(x2)x2+(a-2)x2a根據(jù)左右兩邊同類項的系數(shù)相等，得解得（本題解法叫待定系數(shù)法）例2 己知:x45x3+11x2+mx+n能被x22x

3、+1整除求：m、n 的值及商式解：被除式除式商式（整除時余式為0）商式可設為x2+ax+b得x45x3+11x2+mx+n（x22x+1）（x2+ax+b）x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b根據(jù)恒等式中，左右兩邊同類項的系數(shù)相等，得 解得m=11,n=4,商式是x23x+4例3 m取什么值時，x3+y3+z3+mxyz (xyz0)能被x+y+z整除?解：當x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除時，它含有x+y+z 因式令x+y+z0，得x=（y+z），代入原式其值必為0即（y+z）3+y3+z3myz(y+z)=0把左邊因式分解，得yz(y+z)(m+3)

4、=0, yz0, 當y+z=0或m+3=0時等式成立當x,y（或y,z或x,z）互為相反數(shù)時，m可取任何值，當m=3時，x,y,z不論取什么值，原式都能被x+y+z整除。例4分解因式x3x+6 分析：為獲得一次因式，可用x=1，2，3，6（常數(shù)項6的約數(shù)）代入原式求值，只有x=2時值為0，可知有因式x2，（以下可仿例1）解：x3x+6（x2）（x22x+3）三、練習1 若x3+2x2+mx+10=x3+nx24x+10, 則m=_, n=_2 x34x2+3x+32除以x+2的余式是，x4x2+1除以x2x2的余式是3 己知x3+mx+4能被x+1整除，求m4 己知x4+ax3+bx16含有兩

5、個因式x1和x 2,求a和b的值5 己知13x3+mx2+11x+n能被13x26x+5整除,求m、n及商式6 己知ab0,m取什么值時，a36a2b+mab2-8b3有因式a2b.7 分解因式：x3-7x+6, x3-3x2+4, x3-10x-38.選擇題x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的結果是（）(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z) (c) (x-y)(y-z)(x+z)(D) (x-y)(y+z)(x+z)n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整數(shù))，對于下列各組的p,q值能使n的值為最大的是（）（A） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.練習題參考答案1. 4，2 2. 2；4x