ch7彎曲變形ok-2012.ppt

1、工程力學(xué)A(4) 材料力學(xué)（）,第 7 章 彎曲變形,第 7 章 彎曲變形,本章主要研究： 彎曲變形基本方程 計(jì)算梁位移的幾種方法 積分法、疊加法 簡(jiǎn)單靜不定梁分析 梁的合理剛度設(shè)計(jì),第 7 章 彎曲變形,1 引言 2 梁變形基本方程 3 計(jì)算梁位移的積分法 4 計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法 5 計(jì)算梁位移的疊加法 6 簡(jiǎn)單靜不定梁 7 梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì),1 引言梁變形的描述, 彎曲變形特點(diǎn) 撓度與轉(zhuǎn)角,彎曲變形特點(diǎn),撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線 對(duì)稱彎曲時(shí)，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線 對(duì)于細(xì)長梁，剪力對(duì)彎曲變形影響一般可忽略不計(jì) 因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交., 軸線變?yōu)榍€，變

2、彎后的梁軸，稱為撓曲軸，,撓曲軸,撓度與轉(zhuǎn)角梁位移,轉(zhuǎn)角,撓度,撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系,（小變形）,撓度橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移 w,撓曲軸方程,轉(zhuǎn)角橫截面的角位移,轉(zhuǎn)角方程,（忽略剪力影響）,（rad）,撓度與轉(zhuǎn)角梁位移,梁變形的描述：,小變形、不計(jì)剪切：,思考：,是否存在梁的軸向位移？ 梁微段dx變形如何?,梁微段dx變形,截面撓度、轉(zhuǎn)角由各微段變形累加而成,2 梁變形基本方程, 撓曲軸微分方程 撓曲軸近似微分方程 撓曲軸的大致形狀, 撓曲軸微分方程,（純彎）,（非純彎）撓曲軸曲率, w彎矩引起的撓度 smax sp,撓曲軸微分方程,梁的中性層曲率：, 撓曲軸近似微分方程,小變形時(shí)：,

3、小變形, 坐標(biāo)軸 w 向上, 坐標(biāo)軸 w 向下時(shí), 位移邊界條件與連續(xù)條件,位移邊界條件與連續(xù)條件,約束處位移應(yīng)滿足的條件,梁段交接處位移應(yīng)滿足的條件,位移邊界條件,位移連續(xù)條件,撓曲軸大致形狀的繪制 直觀變形分析,繪制依據(jù), 滿足變形基本方程, 滿足位移邊界條件 與連續(xù)條件,繪制方法與步驟, 畫 M 圖, 由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置, 由 M 圖的正負(fù)與零點(diǎn)，確定撓曲軸的凹凸與拐點(diǎn)，由彎矩大小確定曲率大小，即確定撓曲軸的形狀。,注意撓曲軸的連續(xù)、光滑性,例 2-1 繪制圖示梁撓曲軸的大致形狀,F=2qa,例： 1.畫剪力彎矩圖 2.列撓曲線的位移和連續(xù)條件 3.畫撓曲線大致形狀(注明

4、凹凸性與拐點(diǎn)),位移與連續(xù)條件,試畫出梁的撓度曲線的大致形狀,3 計(jì)算梁位移的積分法, 撓曲軸微分方程的積分 與邊界條件 積分法求梁位移 例題, 近似微分方程的積分與邊界條件,撓曲軸近似微分方程的積分,位移邊界條件與連續(xù)條件, 積分法求梁位移,計(jì)算圖示梁截面 A 的轉(zhuǎn)角，EI = 常數(shù), 建立撓曲軸微分方程并積分, 利用邊界條件確定積分常數(shù), 計(jì)算w和轉(zhuǎn)角,由條件 (1), (2) 與式 (b) ，得,（）, 例題3-1,EI = const(常數(shù))試計(jì)算截面 B 的撓度與轉(zhuǎn)角,A beam in pure bending,解:彎矩方程,撓曲軸近似微分方程,邊界條件,求：梁的撓度與轉(zhuǎn)角方程，以

5、及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。,例3-2，已知：懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q ，梁的彎曲剛度為EI 、長度為l。,解：,建立坐標(biāo)系（如圖）。 彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，無需分段。,在坐標(biāo)為x的截面處截開，由右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：,梁的彎矩方程,建立微分方程并積分,將彎矩方程代入小撓度微分方程，得,積分，得,由約束條件確定積分常數(shù),固定端處的約束條件為：,得到撓度與轉(zhuǎn)角方程,確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角,由撓度曲線看出，在自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。,將 x = l，分別代入撓度與轉(zhuǎn)角方程，得到：,例題3-3：求撓曲軸微分方程,列撓曲線的位移邊界和連續(xù)條件,AB段：,BC段:,位移邊界條件和

6、連續(xù)條件,四個(gè)方程定4個(gè)常數(shù),例7-4(書) 圖示的等截面簡(jiǎn)支梁長為l，抗彎剛度為EI，受集中力P的作用，求梁任一截面的轉(zhuǎn)角和撓度。,解： 由整體平衡得 FAx=0， FAy= Pb/l FBy= Pa/l,o,從而，截面的彎矩為,對(duì)于AC段，利用梁的撓曲線微分方程,同理，對(duì)CB段,得,由邊界條件 和連續(xù)性條件,解得,得梁的撓曲線方程為,轉(zhuǎn)角方程為,梁的最大轉(zhuǎn)角：,當(dāng)x =0時(shí)，轉(zhuǎn)角為,當(dāng)x =l時(shí)，轉(zhuǎn)角為,于是，當(dāng)a b時(shí)，最大轉(zhuǎn)角為,梁的最大撓度: 梁的最大撓度發(fā)生在w= 0處,首先確定w=0的位置。當(dāng)x =0時(shí)，轉(zhuǎn)角A = wA0，而當(dāng)x = a時(shí)，轉(zhuǎn)角C,因此，當(dāng)0xa時(shí)， 必存在w=

7、0的點(diǎn)x0。令,得,從而，梁的最大撓度為,極端情況：b0,因此，可用梁的中點(diǎn)撓度代替梁的最大撓度。,當(dāng)a=b=l/2時(shí)，最大撓度發(fā)生在梁的中點(diǎn) 最大轉(zhuǎn)角為,對(duì)于簡(jiǎn)支梁，不論受（F, q）作用，只要撓曲軸上無拐點(diǎn)（朝一個(gè)方向彎曲）,其最大撓度值可以用梁中點(diǎn)處的撓度值代替，即,其精確度能滿足工程計(jì)算的要求。,5 計(jì)算梁位移的疊加法, 疊加法 逐段分析求和法 例題, 疊加法,方 法,當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和,分解載荷,問題,理論依據(jù),上述線性微分方程的解，為下列微分方程解的組合,（小變形,比例極限內(nèi)）,（小變形）,疊加法適用

8、范圍：小變形,，比例極限內(nèi),疊加原理, 逐段分析求和法分段變形疊加, 分解梁, 分別計(jì)算各梁段的變形在需求位移處引起的位移, 求位移之和（代數(shù)和或矢量和）,例：外伸梁 EI=const常數(shù),求: wA,剛化AB段,剛化BC段,Solution II:兩段分, 疊加法的應(yīng)用,典型梁的基本變形,任意梁的變形,載荷疊加,分段變形疊加,加附加載荷,簡(jiǎn)支梁、懸臂梁,三種典型載荷,例 5-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用疊加法求 wB=?,解：,(),(),例 5-2,解：,例 5-3 求自由端位移d,撓曲軸與外力作用面不重合,一般情況,解：,例5-4：利用對(duì)稱性求下面梁中點(diǎn)撓度與轉(zhuǎn)角 ( 2

9、a = l ),反對(duì)稱, 撓度為0 (彎矩為0, 拐點(diǎn)),對(duì)稱, 轉(zhuǎn)角為0,反對(duì)稱, 撓度為0 (彎矩為0, 拐點(diǎn)),剛化AB段：,僅考慮BC段變形：,僅考慮AB段變形：,BC段剛化：,AB段的變形：,懸臂梁，同時(shí)承受均布載荷q和集中載荷F的作用，且Fqa，試求自由端C處撓度，彎曲剛度EI為常數(shù)。,例5-6：,解：,疊加法，C處撓度是載荷F和q分別單獨(dú)作用時(shí)的撓度之和,查表，F(xiàn)單獨(dú)作用時(shí)，截面C撓度為,q單獨(dú)作用時(shí)，需要考慮B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，并利用光滑連續(xù)條件求得C處的撓度,BC段不受載荷，為直線。由連續(xù)性條件知，其左端的撓度和轉(zhuǎn)角必須和AB段右端B點(diǎn)一致。,載荷q在C點(diǎn)引起的撓度為：,C點(diǎn)總

10、的撓度為：,例: 求,組合梁的變形分析,6 簡(jiǎn)單靜不定梁, 靜不定度與多余約束 簡(jiǎn)單靜不定梁分析方法 例題, 靜不定度與多余約束,多余約束 凡是多于維持平衡所必須的約束,多余反力 與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩,靜不定度 支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù),靜不定度多余約束數(shù),4-3=1 度 靜不定,5-3 = 2 度 靜不定, 簡(jiǎn)單靜不定梁分析方法,選 Fby 為多余力,變形協(xié)調(diào)條件,物理方程,補(bǔ)充方程,平衡方程,一度靜不定,算例,綜合考慮三方面,求梁的支反力, 判斷梁的靜不定度, 用多余力 代替多余約束的作用，得受力與原靜不定梁相同的靜定梁所謂相當(dāng)系統(tǒng), 計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并

11、根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程, 由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力,相當(dāng)系統(tǒng), 通過相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等,求解依據(jù)綜合考慮三方面,求解關(guān)鍵確定多余支反力,分析方法與步驟,相當(dāng)系統(tǒng),例 6-1 求支反力,解：1. 問題分析,水平反力忽略不計(jì)，2多余未知力,2. 解靜不定,例 6-2 懸臂梁 AB，用短梁 DG 加固，試分析加固效果,解：1. 靜不定分析,2. 加固效果分析,與 Fa 相比，減少 50%,與 相比，減少39.9%,例 6-3 試求桿 BC 的軸力,解：,梁的軸向變形一般忽略不計(jì),如計(jì)及梁的軸向變形，如何求解?,例6-4 直徑為d 的圓截面梁,支座 B 下沉 d，

12、smax=?,解：,例6-5：求支反力,1. 靜不定度：6-3=3,2. 建立相當(dāng)系統(tǒng),小變形，軸向變形可忽略 HA= HB=0。(兩度靜不定),3. 建立變形協(xié)調(diào)條件,4. 聯(lián)立求解,本題也可以利用對(duì)稱性直接求出RA和RB RA= RB=ql/2,例6-6：求支反力,變形協(xié)調(diào)條件：,7 梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì), 梁的剛度條件 梁的合理剛度設(shè)計(jì) 例題, 梁的剛度條件,最大位移控制,指定截面的位移控制,例如滑動(dòng)軸承處, 梁的合理剛度設(shè)計(jì), 橫截面形狀的合理選擇, 材料的合理選擇,使用較小的截面面積 A，獲得較大慣性矩 I 的截面形狀，例如工字形與盒形等薄壁截面,影響梁剛度的力學(xué)性能是 E ，為提高剛度，宜選用E 較高的材料,注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的 E 基本相同, 梁跨度的合理選取,跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改變,例如 l 縮短 20，dmax 將減少 48.8%, 合理安排約