冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、冪函數(shù)一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1冪函數(shù)的概念（ 1）一般地，冪函數(shù)的表達(dá)式為yx (R) ，其中為常數(shù)；其特征是以冪的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)。（ 2）所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1) 。（ 3）學(xué)習(xí)和理解冪函數(shù)的概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：形如 y(2x) , y2x , yx2,形式的函數(shù)不是冪函數(shù)。冪函數(shù) yx 中的為任意實(shí)數(shù)。確定一個(gè)冪函數(shù)，只需求出即可。2冪函數(shù)的圖象我們只討論冪函數(shù) y x 中1,2,3, 1, 1時(shí)的圖象。21在同一平面直角坐標(biāo)系作出冪函數(shù)y x, y x2, y x3, y x2 , y x 1 的圖象。（ 1）列表、（ 2）描點(diǎn)： 3）連線：用光

2、滑的曲線將各點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。如圖（ 2）記熟上面各函數(shù)圖象的形狀， 及它們之間的 “高低”關(guān)系。（ 3）函數(shù) y1可記為 y x 1 。（4） a 0 時(shí)，圖象x都過 (0,0)(1,1) 點(diǎn)， a0 時(shí)，只過 (1,1)不過 (0,0)點(diǎn)。3冪函數(shù)的性質(zhì)從上圖可以觀察到冪函數(shù)的特征如下：特函數(shù)y xy x2y x31y x 1征y x2性質(zhì)定義域RRR0,) x | xR, x0值域R 0,)R0, y | yR, y0)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性x0,) 時(shí)，增增增x (0, ) 時(shí)，減增(,0 時(shí)，減x ( ,0) 時(shí)，減x定點(diǎn)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(0,0)(

3、0,0)(0,0)(0,0)供參考結(jié)合以上特征得冪函數(shù)的性質(zhì)如下：（ 1）所有的冪函數(shù)在(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)；（ 2）如果0 ，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間0,) 上為增函數(shù)；（ 3）如果0 ，則冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,) 上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x 從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在 y 軸右方無(wú)限地逼近y 軸，當(dāng) x 趨向于時(shí)，圖象在 x 軸上方無(wú)限地逼近x 軸；（ 4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶函數(shù)，冪函數(shù)為偶函數(shù)。4求冪函數(shù)的定義域、值域冪函數(shù)的定義域要根據(jù)解析式來(lái)確定，要保證解析式有意義，值域要在定義域范圍內(nèi)求解。5冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性冪函數(shù)的單調(diào)

4、性與奇偶性與一般函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性相同，在證明或判斷時(shí)，主要應(yīng)用定義法判斷，有時(shí)也用冪函數(shù)的性質(zhì)加以判斷。6比較大小比較大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便利用單調(diào)性時(shí)，可與 0 和 1 去比較， 這種方法叫“搭橋”法。二、經(jīng)典例題1.如圖，冪函數(shù)yxa 在第一象限內(nèi)的圖象，已知a 取2,1四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線2C1 ,C2 ,C3 , C4 的 a 依次為（）A 2, 1 , 1 ,2B 2, 1 , 1 , 22222C1111, 2,2,D 2, ,2,2222m2.如圖所示是函數(shù)yx n (m, nN 且互質(zhì) ) 的圖象，則（）m1A m,n 是奇數(shù)，且nB m 是偶數(shù)， n 是奇

5、數(shù)，且m1nC m 是偶數(shù)， n 是奇數(shù)，且 m1nD n 是偶數(shù)， m 是奇數(shù)，且m1.n3.y(mx4xm2)1( xmx1)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍函數(shù)242是（）A (5 1,2)B (51,)C (2,2)D (15,15)如圖所示，冪函數(shù)y x在第一象限的圖象，比較0,1 ,2 ,3 ,4 ,1的大?。ǎ?供參考AB 0CD130421123412403113024115 y1）的圖象是（x16函數(shù) y (m 2m 1) x m 2 2 m 3是冪函數(shù)， 且 x (0,) 時(shí)為減函數(shù)， 則實(shí)數(shù) m 的值為（）A m 1 或 215D m1B mC m 227給出下

6、列說法：函數(shù) yx3 的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；函數(shù) yx 4 的圖象關(guān)于 y 軸成軸對(duì)稱；函數(shù) yx 1 在 ( ,) 上是減函數(shù) .其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）A 0B 1C 2D 348函數(shù) yx3 的圖象是（）A BCD 19函數(shù) yx3 和 yx3 圖象滿足（）A 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B關(guān)于 x 軸對(duì)稱C關(guān)于 y 軸對(duì)稱D關(guān)于直線yx 對(duì)稱10 函數(shù) yx | x |, xR ，滿足（）A 是奇函數(shù)又是減函數(shù)B是偶函數(shù)又是增函數(shù)供參考C是奇函數(shù)又是增函數(shù)D是偶函數(shù)又是減函數(shù)11函數(shù)yx22x24 的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A (, 6B 6, )C ( , 1D 1, )1423312函數(shù) yx 2

7、的定義域是.13 冪函數(shù) f ( x)的圖象過點(diǎn)（3, 427 ) ，則 f 1 ( x) 的解析式是.14 yxa24a 9 是偶函數(shù)，且在(0,)是減函數(shù)，則整數(shù) a 的值是.15冪函數(shù) y(1)k nN *, m, n互質(zhì) ) 圖象在一、 二象限， 不過原點(diǎn)， 則 k ,m, n 的xm (m, n, k奇偶性為.3 x2 y16若10x2,10 y3 ，則 1021111x3x 3； g(x)x3x 317 已知函數(shù) f (x)5.5（ 1）證明： f (x) 是奇函數(shù)，并求f (x) 的單調(diào)區(qū)間；（ 2）分別計(jì)算 f (4)5 f (2)g(2) 和 f (9)5 f (3)g(3) 的值，由此概括出涉及函數(shù)f (x) 和g(x) 對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)x 都成立的一個(gè)等式，并加以證明。供參考18.比較下列各組數(shù)的大?。?577（ 1） 3 2和 3.1 2；（ 2）8 8和(1)8;9223（ 3） 4.15 ,3.8 3 和 ( 1.9)5 .1p23f（ x） x 2p（ p Z）在（ 0，）上是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)19已知冪函數(shù)2是偶函數(shù)，求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)fx（ ）220已知函數(shù)y(a 23a2) x a 5a 5 （ a 為常數(shù)） .（ 1）a 為何值時(shí)此函數(shù)為冪函數(shù)？（ 2