動量矩定理12 章.ppt

1、第十二章 動量矩定理,問題的提出：,圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，質(zhì)心C過轉(zhuǎn)軸，恒有,可見：,動量只能反映剛體隨質(zhì)心運動的強(qiáng)弱，不能反映剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動運動強(qiáng)弱。,本章基本內(nèi)容：,1. 質(zhì)點、質(zhì)點系對點和軸的的動量矩概念及計算；,2. 質(zhì)點、質(zhì)點系對于固定點和固定軸的動量矩定理；,3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程及其應(yīng)用。,4. 轉(zhuǎn)動慣量概念及計算。,12 1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩,一、質(zhì)點的動量矩,對點的動量矩,力對點O之矩：,質(zhì)點的動量對點O之矩, 質(zhì)點的動量對O點的動量矩, 固定矢量,指向：按右手法則確定,幾何表示：, 度量質(zhì)點繞某一點轉(zhuǎn)動運動強(qiáng)弱的運動特征量,對軸的動量矩,類似于力對點之矩與力對軸之矩的關(guān)

2、系：,質(zhì)點的動量 mv 對 x 軸之矩 ：,質(zhì)點的動量 mv 對 x 軸之矩 代數(shù)量。,其正負(fù)由右手法則確定。,動 量 矩 單位（SI）：,二、質(zhì)點系的動量矩,對點O 的動量矩,質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某點O 之矩的矢量和 質(zhì)點系對O 點 的 動 量 矩,對軸的動量矩,質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某軸之矩的代數(shù)和 質(zhì)點系對某軸的動量矩,三、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩,取質(zhì)點Mi :,質(zhì)點Mi 對轉(zhuǎn)軸 z 的動量矩:,剛體 對轉(zhuǎn)軸 z 的動量矩:,記:, 稱為剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量,定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩等于其轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角速度的轉(zhuǎn)向相同。,12 2 動量矩定理,一、質(zhì)點動量對固定點

3、的動量矩定理, 質(zhì)點動量對某固定點O 的矩,將上式兩邊對時間求導(dǎo)，有,由于O點為固定點，r 為絕對運動矢徑，有,另一方面由質(zhì)點的動量定理：,將上述關(guān)系代入，有,質(zhì)點的動量對任一固定點的矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點所受的力對該固定點的矩。, 質(zhì)點對固定點的動量矩定理,二、對固定軸的動量矩定理,將上式兩邊同時向坐標(biāo)軸投影，有,質(zhì)點的動量對任一固定軸的矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點所受的力對該固定軸的矩。, 質(zhì)點對 固定軸 的動量矩定理,三、動量矩守恒定理,（1）若：,質(zhì)點的動量對該固定點的矩矢保持不變。,（2）若：,若作用于質(zhì)點的力對某固定點（或軸）的矩恒等于零，則質(zhì)點的動量對該固定點（或軸）的矩保持不

4、變。, 動量矩守恒定理,有心力：,力的作用線始終過某一固定點的力，該點稱為力心。,有心力作用下的質(zhì)點，對力心的動量矩矢始終保持不變（大小、方向）。,試用動量矩定理導(dǎo)出單擺(數(shù)學(xué)擺)的運動微分方程。,O,v,A,例 題,把單擺看成一個在圓弧上運動的質(zhì)點 A，設(shè)其質(zhì)量為 m，擺線長 l 。又設(shè)在任一瞬時質(zhì)點 A 具有速度 v ，擺線 OA 與鉛垂線的夾角是 。,通過懸點 O 而垂直于運動平面的固定軸 z 作為矩軸，對此軸應(yīng)用質(zhì)點的動量矩定理,由于動量矩和力矩分別是,解：,和,例 題,從而可得,化簡即得單擺的運動微分方程,例 題,一、對固定點的動量矩定理,二、對固定軸的動量矩定理,三、動量矩守恒定理

5、,（1）若：,（2）若：,質(zhì)點系的動量矩定理,一、對固定點的動量矩定理,質(zhì)點系：n個質(zhì)點,質(zhì)點 Mi ：, 外力, 內(nèi)力,由質(zhì)點對固定點的動量矩定理，有,簡寫成：,n個方程,將上述方程組兩邊相加,考慮到：,有：,（內(nèi)力系的主矩恒等于零）,質(zhì)點系對任一固定點的動量矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點系所受外力對該固定點矩的矢量和（主矩）。 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理,二、對固定軸的動量矩定理,將式向固定坐標(biāo)軸投影，得,質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點系所受外力對該固定軸矩的代數(shù)和（主矩）。 質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理,注：,與動量定理類似，質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系總動量矩,三、質(zhì)點系動量

6、矩守恒,（1）若：,（2）若：,（各力與z軸平行或相交）, 質(zhì)點系動量矩守恒定理,質(zhì)點系的動量矩,對點O 的動量矩：,對軸的動量矩：,定軸轉(zhuǎn)動剛體對軸的動量矩,注意：, 動量矩的轉(zhuǎn)向與角速度轉(zhuǎn)向一致,質(zhì)點系的動量矩定理,對點固定點O 的動量矩定理,注：,與動量定理類似，質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系總動量矩,對固定軸的動量矩定理,動量矩守恒定理,守恒條件：,例：,高爐上運送礦料的卷揚機(jī)。半徑為 R 的卷筒可繞水平軸O 轉(zhuǎn)動，它關(guān)于轉(zhuǎn)軸 O 的轉(zhuǎn)動慣量為 J 。沿傾角為 的斜軌被提升的重物A 質(zhì)量為m 。作用在卷筒上主動轉(zhuǎn)矩為 M 。設(shè)繩重和摩擦均可不計。試求重物的加速度。,解：,(1) 研究對象 卷

7、筒與重物A 整個系統(tǒng),(2) 受力：（所有外力）,(3) 分析運動，計算系統(tǒng)對軸O的動量矩：, 以順時針方向為正,(4) 外力對軸O 的矩：,對重物A，有,(5) 代入動量矩定理：,方向與速度方向相同,兩個鼓輪固連在一起，其總質(zhì)量是 m，對水平轉(zhuǎn)軸 O的轉(zhuǎn)動慣量是 JO ；鼓輪的半徑是 r1 和 r2 。繩端懸掛的重物 A和 B 質(zhì)量分別是 m1 和 m2 (圖a)，且 m1 m2。試求鼓輪的角加速度。,例 題,解:,取鼓輪，重物 A , B 和繩索為研究對象(圖b)。對鼓輪的轉(zhuǎn)軸 z (垂直于圖面，指向讀者)應(yīng)用動量矩定理，有,系統(tǒng)的動量矩由三部分組成，等于,考慮到 v1 = r1 ， v2

8、 = r2 ，則得,外力主矩僅由重力 m1g 和 m2g 產(chǎn)生，有,例 題,將表達(dá)式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得,從而求出鼓輪的角加速度,方向為逆鐘向。,例 題,解：取系統(tǒng)為研究對象,應(yīng)用動量矩定理,小 結(jié),1.動量矩,質(zhì)點對固定點的動量矩,質(zhì)點對固定軸的動量矩,質(zhì)點系對固定點的動量矩,質(zhì)點系對固定軸的動量矩,定軸轉(zhuǎn)動剛體,注意：,2.質(zhì)點系的動量矩定理,對點固定點O 的動量矩定理,注：,與動量定理類似，質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系總動量矩,對固定軸的動量矩定理,3.動量矩守恒定理,守恒條件：,解：取系統(tǒng)為研究對象,系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒,受力分析：,例：,均質(zhì)圓盤，其繞軸O的轉(zhuǎn)動

9、慣量為J ，可繞通過其中心的軸無摩擦地轉(zhuǎn)動，另一質(zhì)量為 m2 的人由 B 點按規(guī)律 沿距 O 軸半徑為 r 的圓周運動。初始時，圓盤與人均靜止。求圓盤的角速度與角加速度。,解：,圓盤與人一起 研究對象,受力分析：,動量矩關(guān)于 z 軸守恒,計算質(zhì)點系的動量矩：,初始時：,任意瞬時：,負(fù)號說明實際轉(zhuǎn)向與圖中相反,134 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量,一、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩,剛體各質(zhì)點的質(zhì)量與它們到轉(zhuǎn)軸 z 垂直距離的平方的乘積之和,定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩等于其轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角速度的轉(zhuǎn)向相同。,二、轉(zhuǎn)動慣量的基本概念, 稱為剛體對轉(zhuǎn)軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量,轉(zhuǎn)動慣量 Jz 的特點：,J

10、z 0, 恒正的標(biāo)量,影響 Jz 的因素：,與轉(zhuǎn)軸 z 的位置有關(guān)；,與質(zhì)量 mi 的分布有關(guān)；,改變 Jz 的方法：,1. 改變質(zhì)量（密度）；,2. 改變質(zhì)量分布情況。,Jz 的物理意義：, 物體轉(zhuǎn)動運動慣性的度量,Jz 的單位（SI）：,三、轉(zhuǎn)動慣量的計算,1. 積分法,由定義：,可得, 適用于質(zhì)量連續(xù)分布，幾何形狀簡單的物體。,若已知密度函數(shù)：,則有,常見規(guī)則形狀的均質(zhì)物體，轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心 C 的 Jz 由有關(guān)工程手冊查得。,（1）均質(zhì)細(xì)桿,桿長 l,單位長度的質(zhì)量為,微段的質(zhì)量：,桿的總質(zhì)量：,（2）均質(zhì)圓環(huán),（3）均質(zhì)圓板,取同心圓環(huán)研究：,（4）圓板對 x ，y 軸的轉(zhuǎn)動慣量,由于圓板

11、對稱：,2. 組合法, 代數(shù)和,如：, 適用于均質(zhì)、簡單形狀組合的物體,3. 轉(zhuǎn)動慣量的工程實用計算公式, m為剛體的質(zhì)量；z 為回轉(zhuǎn)半徑。,注意：, z 回轉(zhuǎn)半徑。,（假想將剛體的質(zhì)量全部集中離轉(zhuǎn)軸距離z 的質(zhì)點上，而此質(zhì)點對軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量 Jz 與原剛體對軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量 Jz 相同。）, 其中 m 、Jz 由計算或?qū)嶒灉y定，然后反算z 。,（注意： z 并不是質(zhì)心 C 到轉(zhuǎn)軸的距離）,四、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理,設(shè) z 軸過剛體的質(zhì)心C，z與z軸平行，兩軸間的距離為 h ，由轉(zhuǎn)動慣量的定義，有,將,代入，有,由質(zhì)心坐標(biāo)的計算公式，有, 轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理,均質(zhì)桿，質(zhì)量 m,均質(zhì)圓盤

12、，質(zhì)量 m,幾點說明：, 軸 z 與軸z 必須平行；, z 軸必須過質(zhì)心 C ；, 過質(zhì)心 C 的轉(zhuǎn)動慣量最小。,剛體對于任意軸的轉(zhuǎn)動慣量,等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積,例 題,133 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程,設(shè)定軸轉(zhuǎn)動剛體作用有力：F1、F2、Fn，轉(zhuǎn)動角速度：，轉(zhuǎn)動慣量：Jz ，其繞軸的動量矩, 其轉(zhuǎn)向與 相同,代入動量矩定理，有, 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程,（轉(zhuǎn)動定理）,剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度的乘積，等于作用于剛體上的所有外力對轉(zhuǎn)軸矩的代數(shù)和。,討論：,（1）方程建立了與 Mz 的瞬時關(guān)系,（須在任意瞬時建立方程）,（2）,

13、勻變速轉(zhuǎn)動, 勻速轉(zhuǎn)動, 角速度 取極值,（3）,則有, 此時 取決于Jz,Jz 大,小, 說明轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)不易改變,Jz 小,大, 說明轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)容易改變, 慣性大, 慣性小,Jz 是剛體轉(zhuǎn)動運動慣性的度量,應(yīng)用：,（1）已知外力矩 Mz ，求 、 、 = (t) 。,（2）已知 、 、 = (t) ，求與力矩 Mz 有關(guān)的量（力、距離等）。,如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，帶動滑輪的皮帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度 。,例 題,根據(jù)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程有,于是得,由上式可見，只有當(dāng)定滑輪為勻速轉(zhuǎn)動（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動慣量時，跨過定滑輪的皮帶拉

14、力才是相等的。,解：,例 題,飛輪對O的轉(zhuǎn)動慣量為JO，以角速度O繞水平的O軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。制動時，閘塊給輪以正壓力FN。已知閘塊與輪之間的滑動摩擦系數(shù)為fs，輪的半徑為R，軸承的摩擦忽略不計。求制動所需的時間t。,O,O,例 題,以輪為研究對象。,將上式積分，并根據(jù)已知條件確定積分上下限，得,由此解得,解：,O,O,F,FN,FOx,FOy,W,例 題,列剛體的轉(zhuǎn)動微分方程為,（取逆時針方向為正）,例：,復(fù)擺（物理擺）如圖。已知擺的重量為W，擺關(guān)于轉(zhuǎn)軸O 的轉(zhuǎn)動慣量為 JO ，懸掛點（軸）O 到質(zhì)心的距離為 a ，求：復(fù)擺作微幅擺動時的運動規(guī)律。,解：,運動分析：,任意瞬時 OC 與x軸的

15、夾角為,（注： 以增大方向為正轉(zhuǎn)向）,建立定軸轉(zhuǎn)動微分方程，并求解,（1）,兩邊同除以 JO ，并整理得,（2）,當(dāng)作微幅擺動（ 很?。r，,（3）,其解為：,（4）,式中：,常數(shù) A、 由初始條件確定。,注意：,方程兩邊正轉(zhuǎn)向規(guī)定必須一致。,例：,高爐上運送礦料的卷揚機(jī)。均質(zhì)卷筒半徑為 R，重量為G 。沿傾角為 的斜軌被提升的重物A 重 W 。作用在卷筒上主動轉(zhuǎn)矩為 M 。斜面與重物間摩擦因素為，繩重可不計。試求重物的加速度。,解：,(1) 研究對象 卷筒O,（1）,(2) 研究對象 重物A,（2）,（3）,（4）,(3) 運動學(xué)關(guān)系：,（5）,聯(lián)立求解，得,例：,圖示系統(tǒng)。均質(zhì)圓輪 A ：質(zhì)量 m1 ，半徑 r1，以角速度繞軸A 轉(zhuǎn)動；均質(zhì)圓輪 B：質(zhì)量 m2，半徑 r2，繞軸 B 轉(zhuǎn)動，初始靜止；現(xiàn)將輪 A 放置在輪 B