2013年高考試題四川卷(理科數(shù)學(xué))試題及每個題的詳細(xì)解答[1]

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)（四川卷）第卷一、選擇題1設(shè)集合Ax|x20，集合Bx|x240，則AB等于()A2 B2 C2,2 D答案A解析Ax|x202，Bx|x2402，2，AB22,22，選A.2如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)()AA BB CC DD答案B解析表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)A與表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，B點(diǎn)表示.選B.3一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()答案D解析由三視圖可知上部是一個圓臺，下部是一個圓柱，選D.4設(shè)xZ，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集若命題p：xA,2xB，則()A綈p：xA,2xB B

2、綈p：xA,2xBC綈p：xA,2xB D綈p：xA,2xB答案D解析命題p：xA,2xB是一個全稱命題，其命題的否定綈p應(yīng)為xA,2xB，選D.5函數(shù)f(x)2sin(x)(0，)的部分圖象如圖所示，則，的值分別是()A2， B2，C4， D4，答案A解析T，T，2，22k，kZ，2k，又，選A.6拋物線y24x的焦點(diǎn)到雙曲線x21的漸近線的距離是()A. B. C1 D.答案B解析拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1,0)，雙曲線x21的漸近線是yx，即xy0，所求距離為.選B.7函數(shù)y的圖象大致是()答案B解析對于函數(shù)y定義域為xR，且x0去掉A，當(dāng)x0時，3x10，y0，b0)，從1,3,5,7

3、,9中任取兩個作為有A種，又與相同，與相同，lg alg b的不同值的個數(shù)有A220218，選C.9節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A. B. C. D.答案C解析設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為X、Y，X、Y相互獨(dú)立，由題意可知，如圖所示兩串彩燈第一次亮的時間相差不超過2秒的概率為P(|XY|2).10設(shè)函數(shù)f(x)(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))，若曲線ysin x上存在點(diǎn)(x0，y0)使

4、得f(f(y0)y0，則a的取值范圍是()A1，e Be11,1C1，e1 De11，e1答案A解析由于f(x)(aR)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以其反函數(shù)f1(x)存在，由于y01,1，且f(f(y0)y0，f1(f(f(y0)f1(y0)，即f(y0)f1(y0)，yf(x)與yf1(x)的交點(diǎn)在yx上即x在x1,1上有解，即x在0,1上有解aexxx2，x0,1，aex2x1，當(dāng)0xe02110，aexxx2在0,1上遞增，當(dāng)x0時，a最小1；當(dāng)x1時，a最大e，故a的取值范圍是1，e，選A.第二卷二、填空題11二項式(xy)3的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)答案1

5、0解析Tr1Cx5ryr(r0,1,2,3,4,5)，由題意知，含x2y3的系數(shù)為C10.12在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則_.答案2解析由于ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，2，2.13設(shè)sin 2sin ，則tan 2的值是_答案解析sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0,2cos 10即cos ，sin ，tan ，tan 2.14已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_答案x|7x3解析令x0，x0時，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)為偶函數(shù)

6、，f(x)f(x)，x0時，f(x)x24x，故有f(x)再求f(x)5的解，由得0x5；由得5x0，即f(x)5的解為(5,5)由于f(x)向左平移兩個單位即得f(x2)，故f(x2)5的解集為x|7x315設(shè)P1，P2，Pn為平面內(nèi)的n個點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到點(diǎn)P1，P2，Pn的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P1，P2，Pn的一個“中位點(diǎn)”例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A、B的中位點(diǎn)現(xiàn)有下列命題：若三個點(diǎn)A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)；直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；若四個點(diǎn)A，B，C，D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；梯形對角線的交點(diǎn)

7、是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號)答案解析正確，因為C點(diǎn)到A、B的距離之和小于AB上其它點(diǎn)到A、B的距離之和；不正確，因為直角三角形斜邊上的點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離是可變的；不正確，不妨認(rèn)為B、C在線段AD上，則線段BC上的任一點(diǎn)到A、B、C、D距離之和均最??；正確，每條對角線上的點(diǎn)到其兩端點(diǎn)的距離之和最小，所以交點(diǎn)到梯形四個頂點(diǎn)的距離之和最小三、解答題16在等差數(shù)列an中，a1a38，且a4為a2和a9的等比中項，求數(shù)列an的首項、公差及前n項和解設(shè)該數(shù)列公差為d，前n項和為Sn，由已知，可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)所以，a1d4，d(d

8、3a1)0，解得a14，d0，或a11，d3，即數(shù)列an的首項為4，公差為0，或首項為1，公差為3.所以，數(shù)列an的前n項和Sn4n或Sn.17在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.則cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0Ab，則AB，故B，根據(jù)余弦定理，有(4

9、)252c225c，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影為|cos B.18某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，24這24個整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生(1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時輸出y的值為i的概率Pi(i1,2,3)；(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i1,2,3)的頻數(shù)，以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分?jǐn)?shù)據(jù)甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)當(dāng)n2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，

10、分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大；(3)將按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望解(1)變量x是在1,2,3，24這24個整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1；當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2；當(dāng)x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3.所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y

11、的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為.(2)當(dāng)n2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率如下：比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大(3)隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3.P(0)C03，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C30，故的分布列為0123P所以，E()01231.即的數(shù)學(xué)期望為1.19如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD的中點(diǎn)(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l平面A

12、DD1A1；(2)設(shè)(1)中的直線l交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，求二面角AA1MN的余弦值解(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)P作直線lBC，因為l在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，所以，BCAD，則直線lAD.因為AA1平面ABC，所以AA1直線l.又因為AD，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交，所以直線l平面ADD1A1.(2)方法一連接A1P，過A作AEA1P于E，過E作EFA1M于F，連接AF.由(1)知，MN平面AEA1，所以平面AEA1平面A1MN.所以AE平面A1MN，則A1MAE.

13、所以A1M平面AEF，則A1MAF.故AFE為二面角AA1MN的平面角(設(shè)為)設(shè)AA11，則由ABAC2AA1，BAC120，有BAD60，AB2，AD1.又P為AD的中點(diǎn)，所以M為AB中點(diǎn)，且AP，AM1，所以，在RtAA1P中，A1P；在RtA1AM中，A1M.從而AE，AF，所以sin .所以cos .故二面角AA1MN的余弦值為.方法二設(shè)A1A1.如圖，過A1作A1E平行于B1C1，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(點(diǎn)O與點(diǎn)A1重合)則A1(0,0,0)，A(0,0,1)因為P為AD的中點(diǎn)，所以M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，故M，N

14、，所以，(0,0,1)，(，0,0)設(shè)平面AA1M的一個法向量為n1(x1，y1，z1)，則即故有從而取x11，則y1，所以n1(1，0)設(shè)平面A1MN的一個法向量為n2(x2，y2，z2)，則即故有從而取y22，則z21，所以n2(0,2，1)設(shè)二面角AA1MN的平面角為，又為銳角，則cos .故二面角AA1MN的余弦值為.20已知橢圓C：1(ab0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q的軌跡方程解(1)由橢圓定義知，2a|PF1|PF2|2.所以a.

15、又由已知，c1.所以橢圓C的離心率e.(2)由(1)知，橢圓C的方程為y21.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，1)兩點(diǎn)，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為ykx2.因為M，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx12)，(x2，kx22)，則|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.*將ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.*由(8k)24(2k21)60，得k2.由*可知，x1x2，x1x2，代入*中并化簡，得x2.*因為點(diǎn)Q在直線y

16、kx2上，所以k，代入*中并化簡，得10(y2)23x218.由*及k2，可知0x2，即x.又滿足10(y2)23x218，故x.由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以1y1，又由10(y2)2183x2有(y2)2且1y1，則y.所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y2)23x218，其中x，y.21已知函數(shù)f(x)其中a是實數(shù)，設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x1x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；(3)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為1,0)，(0，)(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)A處的切線斜率為f(x1)，點(diǎn)B處的切線斜率為f(x2)，故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時，有f(x1)f(x2)1.當(dāng)x0時，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f(x)2x2，因為x1x20，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x120.因此x2x1(2x12)2x221，當(dāng)且僅當(dāng)(2x12)2x221，即x1且x2時等號成立所以，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時，x2x1的最小值為1.(3)當(dāng)x1x2x1