常熟理工學(xué)院-高數(shù)A2-題庫系列：第11章

1、1設(shè)曲線積分，因?yàn)?，所以（B）A. 對(duì)任意閉曲線C，; B. 在曲線C不圍住原點(diǎn)時(shí)，；C. 因與在原點(diǎn)不存在，故對(duì)任意的閉曲線C，；D. 在閉曲線C圍住原點(diǎn)時(shí)I=0，不圍住原點(diǎn)時(shí) .2設(shè)表示橢圓，方向逆時(shí)針，則曲線積分（D）A.B.C.D.03、設(shè)L是從點(diǎn)A（1，0）到點(diǎn)B（-1，2）的直線段，則曲線積分（ B ）A. B. C. D.4. 設(shè)從點(diǎn)到點(diǎn)的直線，則下列等式正確的是（D） A. B. C. D.5. 設(shè)L為從點(diǎn)A（1，1）到點(diǎn)B（1，0）的直線，則下列等式正確的是（ D ）A. B. C. D.6設(shè)是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，則曲線積分( B )。A. B. C. D. 07單連通域D內(nèi)的

2、函數(shù)P(x,y),Q(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是在D內(nèi)恒有（ B ）。A. B. C. D. 8單連通域D內(nèi)的函數(shù)P(x,y),Q(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是在D內(nèi)恒有（ D ）。A. B. C. D. 9.設(shè)L是從到的一段，則曲線積分（ B ）A. B. C. D.10. 若曲線積分與路徑無關(guān)，則常數(shù)（ B ）。A. B. C. D.11設(shè)L是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，則 ( C )A. B. C. D. 12曲線弧上的曲線積分和上的曲線積分有關(guān)系 ( B )A. B. C. D. 13. 設(shè)曲線是從(0,0)到(2,2)的一段弧，則曲

3、線積分（ C ）A. B. C. D. 14.若曲線積分與路徑無關(guān)，則常數(shù)（ B ）A. B. C. D. 15. 設(shè)L是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，則 ( A )A. B. C. D. 16.已知曲線積分與積分路徑無關(guān)，則必滿足條件（C）A. B. C. D. 二、填空題（將正確答案填在橫線上）1. 設(shè)L為圓周 ，方向?yàn)轫槙r(shí)針，則 .2設(shè)L是拋物線上點(diǎn)A（0，0）與點(diǎn)B（1，1）之間的一段弧，則曲線積分 .3格林公式 成立的條件是 在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) .4.設(shè)、在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分與路徑無關(guān) 和 ，為某個(gè)函數(shù)的全微分 是相互等價(jià)的.5設(shè)L是 平面上點(diǎn)到點(diǎn)的直線，方向是從A到B,則

4、曲線積分= 4 .6設(shè)為上從點(diǎn)到（0，0）的曲線弧，則 .7設(shè)為由點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，則 0 .8. 設(shè)L為圓周，方向?yàn)轫槙r(shí)針，則 .9. 設(shè)為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線，則= .10已知有界閉區(qū)域的邊界是光滑曲線，的方向?yàn)榈恼颍瑒t用第二型曲線積分寫出區(qū)域的面積公式 .三、解答下列各題(本大題共7小題，每題7分，共49分)1. 求曲線積分 ，其中L是在圓周上由點(diǎn)(0，0)順時(shí)針到點(diǎn)(1，1)的弧段.解：設(shè)，取閉合曲線 令，則 由格林公式得， 即 2分于是 3分而 從而 5分因此 7分2.求曲線積分，其中與x軸所圍曲線,取正向.解 令點(diǎn)，取閉合曲線， 2分于是 4分 6分 7分3. 求，其中是上從點(diǎn)（0,0）

5、到點(diǎn)（4,8）的弧段.解： 積分沿曲線為，從0到4. 2分所以化為對(duì)的積分 5分 7分4.計(jì)算，其中L是從A(1，0)沿半圓周逆時(shí)針到B(1，0).解：令 則由格林公式， 3分 即 所以， 7分5.證明曲線積分在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值。解:由題意，知 ， 所以 ， 2分在整個(gè)平面內(nèi)成立，從而與路徑無關(guān)。 3分記，取積分路線為平行坐標(biāo)軸的折線段，即 . 7分6.用格林公式計(jì)算 ，其中L為圓周上從點(diǎn)順時(shí)針到點(diǎn)這段曲線.（不用格林公式不得分）解：令，則 2分 取閉區(qū)域由上半圓和線段圍成則由格林公式 3分 5分而=故 7分7.求曲線積分，其中L為三頂點(diǎn)分別為（0，0），（3，0），（3

6、，2）的三角形邊界正向.解：由題意， 積分路線為三角形OMN的邊界正向，則有 2分 4分. 7分8.試計(jì)算，其中為曲線上相應(yīng)于從0變到的這段弧.解： 2分 于是 4分 6分 7分9.計(jì)算，其中是沿圓周的正向閉路.解：令 則 利用格林公式， 3分其中是：上式 7分10.設(shè)L是從點(diǎn)（1，0，1）到點(diǎn)（0，3，6）的直線段，試求三元函數(shù)的第一類曲線積分.解 直線的方程為 2分則 ， 4分于是= 7分11.計(jì)算，其中的起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，路徑分別為（1）直線； （2）折線，點(diǎn)為.解：（1）直線AB的方程是 ， 從1到2. 1分所以化為對(duì)的積分 3分 4分（2） 6分在上，從1到2，所以 8在上，從1到3，

7、所以 從而 . 8分12.用格林公式和二重積分二種方法計(jì)算，其中是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.解：（1）令由格林公式得，其中 2分 2分于是 所以， 4分（2） 所以， 8分 13設(shè)曲線L是從點(diǎn)A（0，1）到點(diǎn)B（1，0）的直線，試求下列曲線積分：（1）、； （2）、 .解：（1）由于L由方程， 2分給出，因此 原式 4分（2）化為對(duì)的定積分，L：，從0變到1. 6分所以 原式 =0 8分14.設(shè)正向曲線圍成的有界閉區(qū)域?yàn)?，?）證明的面積；（2）設(shè)，試用二重積分和（1）中的公式兩種方法求面積.（1）證：由題意知，由格林公式有 2分即的面積 4分（2） 解： 用（1）中的公式解積分路線為，其中為，從0到2，為，從0到，為，從2到0 7分所以 . 10分15.證明曲線積分在整個(gè)xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值.解：由題意知，且 2分在整個(gè)xoy平面內(nèi)成立，所以該曲線積分與路徑無關(guān). 3分取為C點(diǎn)，令為A點(diǎn)，為B點(diǎn)，則該曲線積分沿折線AC，CB積分有 8分16計(jì)算，其中L為有向折線OAB，這里O，A，B依次是點(diǎn)（0