曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論答案

似水驕陽1第一章量子力學(xué)的誕生11設(shè)質(zhì)量為M的粒子在一維無限深勢阱中運(yùn)動，處于基態(tài)1N，求粒子的動量分布。解基態(tài)波函數(shù)為AXACOS21,（參P57，（12）2222222212COS21121211122AIPXAAIPXIXIXAAAPPAIXIXAAAPAPAPIIIAAAXPEDAAEEEDXAEEDXAEEEPPAIINULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL2232222111COSCOS222COS2APAIAEPAPAPPAAAQPAAPNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL動量的幾率分布NULLNULLNULL2COS422222232PAPAAPP35）設(shè)粒子（能量0E）從左入射，碰到下列勢阱（圖），求阱壁處的反射系數(shù)。解勢阱為0002204020,41,16VEVEVEEVEEVVR36）利用HERMITE多項(xiàng)式的遞推關(guān)系（附錄A3。式（11），證明諧振子波函數(shù)滿足下列關(guān)系21121212121222211XNNXNXNNXXXNXNXXNNNNNNN并由此證明，在N態(tài)下，2,0NEVX證諧振子波函數(shù)222XHEAXNXNN（1）其中，歸一化常數(shù)NULLM,2NANN（2）XHN的遞推關(guān)系為02211XNHXXHXHNNN（3）2121211212121221212212211112112112121122222222222222222XNXNXHENNXHENNXHENXNHENXNHXHEAXXXHEAXXHEAXXNNNXNNXNNXNNXNNNXNNXNNXNN2112121222121221212121222222112XNNXNXNNXNXNNXNXNNXXNXXNXXNNNNNNNNNN似水驕陽110212111DXXNXNXDXXXNNNNN2212112212112212121222222NNNNNENNMDXXNMXDXXXMXVNULL37）利用HERMITE多項(xiàng)式的求導(dǎo)公式。證明（參A3式（12）2222211211212212NNNNNNNNNNNNXDXDNNXDXD證A3式（12）2DXDH,21N1XHNXNHHNNN2122212221111112122222222XNXNXNXNXNXNXXXHNEXHEXAXDXDNNNNNNNNXNXNN22222222112122221212212NNNNNNNNNNNNNNNNNNNXDXD021211DXNNIDXDXDIPNNNNNNULLNULL2212112412421121222222222222222NNNNNNNNNENNMMDXNMDXNNNNNMDXDXDMMPTNULLNULLNULLNULLNULLNULL38）諧振子處于N態(tài)下，計算212XXX，212PPP，PX似水驕陽12解由題36），MNMEMVXXNNULL212,0222由題37），NULLMNMETMPPN212,02NULLNULLNULL212121212122212212122212NPXMNPPPPPMNXXXXX對于基態(tài)，2,0NULLPXN，剛好是測不準(zhǔn)關(guān)系所規(guī)定的下限。39）荷電Q的諧振子，受到外電場的作用，XQXMXV2221（1）求能量本征值和本征函數(shù)。解XQHXQXMMPH0222212（2）0H的本征函數(shù)為222XHEANXNN，本征值NULL210NEN現(xiàn)將H的本征值記為NE，本征函數(shù)記為XN。式（1）的勢能項(xiàng)可以寫成2020221XXXMXV其中20MQX（3）如作坐標(biāo)平移，令0XXX（4）由于PDXDIDXDIPNULLNULL（5）H可表成2022,2221212XMXMMPH（6）（6）式中的H與（2）式中的0H相比較，易見H和0H的差別在于變量由X換成X，并添加了常數(shù)項(xiàng)20221XM，由此可知似水驕陽13202021XMEENN（7）0XXXXNNN（8）即NULLNULLNULL,2,1,0,2212121222222NMQNMQMNEN（9）22222MQXHEAXNMQXNN10其中NULLM,2NANN11310）求不對稱勢阱中粒子的能量本征值。解僅討論分立能級的情況，即20VEX的區(qū)域，這些本征函數(shù)和諧振子的本征函數(shù)相同（因在這個區(qū)域，粒子的H和諧振子的H完全一樣，粒子的波函數(shù)和諧振子的波函數(shù)滿足同樣的SEQ）。振子的具有12KN的奇宇稱波函數(shù)在0X處為零，因而這些波函數(shù)是這一問題的解（KN2的偶宇稱波函數(shù)不滿足邊條件00）所以NULLNULL,2,1,0,232KKEK似水驕陽15312）設(shè)粒子處于半壁高的勢場中AR1是否存在束縛定態(tài)求存在束縛定態(tài)的條件及確定束縛能級的公式。解SEQEAXRDXDM2222NULL2對于束縛態(tài)（0），A時，左側(cè)無限高勢壘的影響可以完全忽略，此時1COTHA，式（10）給出22NULLMR即222222NULLNULLMRME（13）與勢阱XRXV的結(jié)論完全相同。令A(yù)，則式（10）化為22COTH1NULLMRA（14）由于1COTH1，所以只當(dāng)122NULLMRA時，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用NULLMEAA2，即可求出能級2222MAENULL（15）第四章力學(xué)量用算符表達(dá)與表象變換41）設(shè)A與B為厄米算符，則BAAB21和BAABI21也是厄米算符。由此證明，任何一個算符F均可分解為IFFF，F(xiàn)與F均為厄米算符，且11,22FFFFFFI證）BAABABBABAABBAAB21212121BAAB21為厄米算符。）BAABIABBAIBAABIBAABI21212121BAABI21也為厄米算符。）令A(yù)BF，則BAABABF，似水驕陽18且定義11,22FFFFFFI（1）由），）得FFFF,，即F和F皆為厄米算符。則由（1）式，不難解得IFFF42）設(shè),PXF是PX,的整函數(shù)，證明F,F,PIFXXIFPNULLNULL整函數(shù)是指,PXF可以展開成0,NMNMMNPXCPXF。證（1）先證11,NNMMPNIPXXMIXPNULLNULL。111111331332312221111,1,3,2,MMMMMMMMMMMMMMMMMMXMIXIXIMXXPXIMXXPXIXXPXXPXXIXXPXXPXXIXXPXPXXPNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL同理，1221222111,2,NNNNNNNNNPNIPPXPIPPXPPXPPIPPXPXPPXNULLNULLNULLNULL現(xiàn)在，0,10,0,NMNMMNNMNMMNNMNMMNPXMICPXPCPXCPFPNULL而0,1NMNMMNPXMICXFINULLNULL。F,XIFPNULL又0,10,0,NMNMMNNMNMMNNMNMMNPNIXCPXXCPXCXFXNULL似水驕陽19而0,1NMNMMNPNIXCPFINULLNULLF,PIFXNULL43）定義反對易式BAABBA,，證明CABCBABCABCACBACAB,證BCACBABCAACCBBCACABACBACBABCBCACBACAB,CABCBACAACBCBAABBCABACBACABCCABCBABCA,44）設(shè)A，B，C為矢量算符，A和B的標(biāo)積和矢積定義為BABABABA,ZYX,，為LEVICIVITA符號，試驗(yàn)證CBACBACBA（1）CBACBACBA（2）CBACBACBA（3）證（1）式左端XYYXZZXXZYZYZYXCBCBACBCBACBCBACBACBA（1）式右端也可以化成CBACBA。（1）式得證。（2）式左端CBACBACBA（3,2,1）CBABACBACBACBCBACBCBA（2）式右端CBACBACBABACBACBACBACBACBACBACBACBA故（2）式成立。（3）式驗(yàn)證可仿（2）式。似水驕陽2045）設(shè)A與B為矢量算符，F(xiàn)為標(biāo)量算符，證明BFABAFBAF,（1）BFABAFBAF,（2）證（1）式右端FBBFABFAAFFBABFABFABAFBAFFBABAF,（1）式左端（2）式右端FBBFABFAAFFBABFABFABAFBAFFBABAF,（2）式左端46）設(shè)F是由R，P構(gòu)成的標(biāo)量算符，證明,FFLFIPIRPRNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL（1）證KFLJFLIFLFLZYX,（2）42,ZYZZYYZYYZZYYZLXFYPZPFYPFYFPZPFZFPFFFFIYIPIZIPZPYPFFFFIPPIYZPPZYNULLNULLNULLNULLNULLNULL題XXRFRIPPFINULLNULL（3）同理可證，YYYRFRIPPFIFLNULLNULL,（4）ZZZRFRIPPFIFLNULLNULL,（5）將式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得證。47）證明PIPLLPNULL2PLPLLPI,2NULL。證ZYZYYZZYYZZYXPLLPPLPLLPLPPLLP,似水驕陽21利用基本對易式PILPPLNULL,即得XXPIPLLPNULL2。因此PIPLLPNULL2其次，由于XP和XL對易，所以XYZZYYZZYYZZYZYYZXZZZXZXYYYXYXZXYXPLLPIPLPLLPLPIPLLPPLLPIPLLLPLPLLLPLPLPLPLNULLNULLNULL,222因此，PLPLLPI,2NULL48）證明PRIPRPRLNULL222（1）2222PLLPPLLPPL（2）22224PPLPLLPNULL（3）2PLIPLPLNULL（4）證（1）利用公式，CBACBA，有PRRPPRPPRRPRRPPRRPPRRPL22其中RIPRRIPRRPNULLNULL222223PRRPIRRPINULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL因此2222LRPRPIRPNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL（2）利用公式，0PPLPPL（）可得LPPLLPPL02,L0222PPLLPLLPPLPPLPLPLPLPLPL202,L222PPLPLPLPLLPLPLPLPLP2似水驕陽22222PLLPLPPL由，則（2）得證。（3）PILPLPPLLPNULL217422222224222174PPLPPLPIIPLPLPILPNULLNULLNULLNULL（4）就此式的一個分量加以證明，由44）（2），CBACBACBAXXXPLPLPLPLPLPL，其中YYZZXXEPEPILPPLNULL（即KPIJPIKPJPIPLYZZYXXNULLNULL0,）22PLIPLIPPLPPLIPPLIPLPLEPEPPLILPPLPLPLXXXXZYYZZXXNULLNULLNULLNULLNULL類似地?？梢缘玫結(jié)分量和Z分量的公式，故（4）題得證。49）定義徑向動量算符RRPPRRPR1121證明RRPPA，RRIPBR1NULL，NULLIPRCR,，RRRRRRRPDR222222212NULLNULL，22221RPLRPE證ABCAABC，R112111211121PPRRRRPPRRRRPRRPPRRPR即RP為厄米算符。似水驕陽23RRIRRIRIRRRRIRIRRRRIRRIRRIPRRRRIPRRPRRRRPPRRPB11323211222111213RNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLIRRRRIRRRRIRRIRRRIPRCR1,1,2221BRRPDRNULL2222111RRRRRRNULLRRRRRRRRRR2111122222222NULLNULLRRRR2221NULLE據(jù)48）（1），PRIPRPRLNULL2222。其中RRIRIPRNULLNULL，因而RRRRRRPRL22222NULLNULLRRRRPR2222222NULL以2R左乘上式各項(xiàng)，即得RRRLRP21222222NULLD942221RPLR410利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算諧振子的基態(tài)能量。解一維諧振子能量222212XMMPEXX。又022DXXEXX奇，NULLM，0XP，（由36、37題可知0,0XPX）似水驕陽24XXXX，XXXXPPPP，由測不準(zhǔn)關(guān)系，,2NULLXPX得XPX2NULL。22221221XMXMEXNULL028232XMXMDXDEXNULL，得MX22NULLNULLNULLNULLNULL2122128220MMMMEX同理有NULL210YE，NULL210ZE。諧振子（三維）基態(tài)能量NULL230000ZYXEEEE。411利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算類氫原子中電子的基態(tài)能量。解類氫原子中有關(guān)電子的討論與氫原子的討論十分相似，只是把氫原子中有關(guān)公式中的核電荷數(shù)E換成ZE（Z為氫原子系數(shù)）而U理解為相應(yīng)的約化質(zhì)量。故玻爾軌跡半徑220UEANULL，在類氫原子中變?yōu)閆AA0。類氫原子基態(tài)波函數(shù)AREA31001，僅是R的函數(shù)。而DDREDDREDRDERSIN11，故只考慮徑向測不準(zhǔn)關(guān)系NULLRPR，類氫原子徑向能量為RZEUPER222。而RZEUPH222，如果只考慮基態(tài)，它可寫為RZEUPHR222，RDRDIPR1NULLRP與R共軛，于是NULLRPR，RR，RZERMRZEUPER2222222NULL（1）求極值RZERMRE2320NULL由此得AZAMZER022NULL（0A玻爾半徑；A類氫原子中的電子基態(tài)“軌跡”半徑）。代入（1）式，得似水驕陽25基態(tài)能量，AZEEMZE222242NULL運(yùn)算中做了一些不嚴(yán)格的代換，如RR11，作為估算是允許的。412證明在分立的能量本征態(tài)下動量平均值為0。證設(shè)定態(tài)波函數(shù)的空間部分為，則有EH為求P的平均值，我們注意到坐標(biāo)算符IX與H的對易關(guān)系UPIXVUPPXHXIJJJIINULL2,。這里已用到最基本的對易關(guān)系IJJIIPXNULL,，由此0,IIIIIIIEXEXIUHXHXIUHXIUPPNULLNULLNULL這里用到了H的厄米性。這一結(jié)果可作一般結(jié)果推廣。如果厄米算符C可以表示為兩個厄米算符A和B的對易子BAIC,，則在A或B的本征態(tài)中，C的平均值必為0。413）證明在ZL的本征態(tài)下，0YXLL。（提示利用XYZZYLILLLLNULL，求平均。）證設(shè)是ZL的本征態(tài)，本征值為NULLM，即NULLMLZXLINULLYZZYZYLLLLL,L，YLINULLZXXZXZLLLLL,L，0111YYYZZYYZZYXLMLMILLLLILLLLILNULLNULLNULLNULLNULL同理有0YL。似水驕陽26414設(shè)粒子處于,LMY狀態(tài)下，求2XL和2YL解記本征態(tài)LMY為LM，滿足本征方程LMLLLML221NULL，LMMLMLZNULL，LMMLLMZNULL，利用基本對易式LILLNULL，可得算符關(guān)系XYZXZYXYZZYXXXLLLLLLLLLLLLLILINULLNULL2XYZZXYYXYZYZXYLLLLLLLILLLLILLL2NULLNULL將上式在LM態(tài)下求平均，因ZL作用于LM或LM后均變成本征值NULLM，使得后兩項(xiàng)對平均值的貢獻(xiàn)互相抵消，因此22YXLL又2222221NULLMLLLLLLZYX2222121NULLMLLLLYX上題已證0YXLL。2222222121NULLMLLLLLLLLXXXXXX同理222121NULLMLLLY。415設(shè)體系處于202111YCYC狀態(tài)（已歸一化，即12221CC），求（A）ZL的可能測值及平均值（B）2L的可能測值及相應(yīng)的幾率；（C）XL的可能測值及相應(yīng)的幾率。解1121122YYLNULL，2022026YYLNULL；1111YYLZNULL，20200YYLZNULL。（A）由于已歸一化，故ZL的可能測值為NULL，0，相應(yīng)的幾率為21C，22C。平均值NULL21CLZ。（B）2L的可能測值為22NULL，26NULL，相應(yīng)的幾率為21C，22C。（C）若1C，2C不為0，則XL（及YL）的可能測值為NULL2，NULL，0，NULL，NULL2。1）XL在1L的空間，ZLL,2對角化的表象中的矩陣是0101010102NULL似水驕陽27求本征矢并令1NULL，則CBACBA01010101021，得，AB2，BCA2，CB2。1,0。）取0，得ACB,0，本征矢為AA0，歸一化后可得本征矢為10121。）取1，得CAB22，本征矢為AAA2，歸一化后可得本征矢為12121。）取1，得CAB22，歸一化后可得本征矢為12121。在0011111CYC態(tài)下，XL取0的振幅為21012100111CC，XL取0的幾率為221C；XL取NULL的振幅為21212100111CC，相應(yīng)的幾率為421C；XL取NULL的振幅為21212100111CC，相應(yīng)的幾率為421C。總幾率為21C。2）XL在2L的空間，ZLL,2對角化表象中的矩陣?yán)?211MJMJMJJMJX1211MJMJMJJMJX11222XJ，230212XJ，231202XJ，12212XJ。01000102300023023000230100010XL，本征方程EDCBAEDCBA01000102300023023000230100010似水驕陽28AB，BCA23，CDB23，DEC23，ED，2,1,0。）0，0B，CA23，0D，CE23本征矢為10320183。在001002202CYC態(tài)下，測得0XL的振幅為2103201830010022CC。幾率為422C；）1，AB，0C，BD，ED，本征矢為1101121。在202YC態(tài)下，測得NULLXL的振幅為01101121001002C，幾率為0。）1，AB，0C，BD，DE，本征矢為1101121，在202YC態(tài)下，測得NULLXL幾率為0。）2，AB2，AC6，AED22，ACE6，本征矢為1262141，在202YC態(tài)下，測得NULL2XL的振幅為2246126214100100CC。幾率為2283C；似水驕陽29）2，AB2，AC6，AD2，AE，本征矢為1262141，在202YC態(tài)下，測得NULL2XL的幾率為2283C。2222418383CC。在202111YCYC態(tài)中，測XL（和YL）的可能值及幾率分別為222122212122834141214183202CCCCCCNULLNULLNULLNULL416）設(shè)屬于能級E有三個簡并態(tài)1，2和3，彼此線形獨(dú)立，但不正交，試?yán)盟鼈儤?gòu)成一組彼此正交歸一的波函數(shù)。解11111,1A12122,，2222,1，23213133,，3333,1。321,是歸一化的。0,1,1121212221，0,1,21321131313331，0,1,22321231323332。它們是正交歸一的，但仍然是簡并的（可驗(yàn)證它們?nèi)詫?yīng)于同一能級）。417）設(shè)有矩陣SCBA,等，證明BAABDETDETDET，AASSDETDET1，BATRABTR，TRAASSTR1，CABTRBCATRABCTR，ADET表示矩陣A相應(yīng)的行列式得值，TRA代表矩陣A的對角元素之和。似水驕陽30證（1）由定義NNNIIIIINAAAIIPANULLNULLNULL211211DET，01111111其他情形的奇置換是當(dāng)?shù)呐贾脫Q是當(dāng)NIINIIIIPNNNNULLNULLNULLNULLNULL故上式可寫成NNNIJIJIJIINNAAAJJPIIPANULLNULLNULLNULL2211111DET，其中NJJNULL1是NNULL1的任意一個置換。NNNIIIIINCCCIIPABCNULLNULLNULL211211DETDETNNNNNIIJJIJNJIJJIJJNBABABAIIPNULLNULLNULLNULL11222111211NNNNNJJIIIJIJIJNNJJJBBBIIPAAANULLNULLNULLNULLNULL11221121121NNNNNJIIJIJIJNNNJJJNBBBJJPIIPAAAJJPNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL1122112111211BADETDET（2）ASSSASASSDETDETDETDETDETDETDET111AASSDETDETDET1（3）BATRABBAABTRIKIKKIIKKIIK（4）TRAASSTRSASTRASSTRASSTR1111（5）CABTRBACBCATRACBCBAABCTRJKIJIJKKIIJIJKKIJKIJKKIJKIJ第五章力學(xué)量隨時間的變化與對稱性51）設(shè)力學(xué)量A不顯含T，H為本體系的HAMILTON量，證明HHAADTD,222NULL證若力學(xué)量A不顯含T，則有HAIDTDA,1NULL,令CHA,則HCHCIDTCDIDTAD,1,11222NULLNULLNULL,HHAADTD,222NULL似水驕陽3152）設(shè)力學(xué)量A不顯含T，證明束縛定態(tài)，DADT0證束縛定態(tài)為NULLTIENNNERTR,。在束縛定態(tài)TRN,，有TRETRTITRHNNNN,NULL。其復(fù)共軛為TREERTITRHNNTIENNN,NULLNULL。,NNNNNNDAAAADTTTT,NNNNNNHHAAAIITNULLNULL,0NNNNNNEEAAIINULLNULL53）NULLXXIAPXAADEXPEXP表示沿X方向平移距離A算符證明下列形式波函數(shù)（BLOCH波函數(shù)）XEXKIKX,XAXKK是ADX的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為IKAE證AXEAXXADKAXIKXXEXEEIKAKIKXIKA,證畢。54）設(shè)M表示ZL的本征態(tài)（本征值為NULLM），證明MEEYZIKLIKLNULLNULL是角動量L沿空間,方向的分量NLCOSSINSINCOSSINZYXLCLLNLLN的本征態(tài)。證算符NULLYIKLE相當(dāng)于將體系繞Y軸轉(zhuǎn)角，算符NULLZIKLE相當(dāng)于將體系繞Z軸轉(zhuǎn)角，M原為ZL的本征態(tài)，本征值為NULLM，經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)動，固定于體系的坐標(biāo)系（即隨體系一起轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系）的Z軸（開始時和實(shí)驗(yàn)室Z軸重合）已轉(zhuǎn)到實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的,方向，即N方向，MYLM變成了，即變成了NL的本征態(tài)。本征值是狀態(tài)的物理屬性，不受坐標(biāo)變換的影響，故仍為NULLM。55）設(shè)HAMILTON量RVUPH22。證明下列求和規(guī)則UXEENNMMN222NULL。X是R的一個分量，N是對一切定態(tài)求和，NE是相應(yīng)于N態(tài)的能量本征值，NENHN。似水驕陽32證XXXPUIPIUPXUHXNULLNULL221,21,2（）ANNMMNXEE2NMNMXNNEEXMMXHNMHXNNXMNMHXNNXMN,2,21MPXNNXMUXNMPNNXMUIXNNULLXIMXPMUNULL又ANMNMEEXNNXMMXNNHXMN,XNIMPXMUNULLA2XXIMPXXPMUNULL,XIMXPMUNULLUIUI2NULLNULLNULL，AUXEENNMMN222NULL。不難得出，對于ZY,分量，亦有同樣的結(jié)論，證畢。56）設(shè)PRF,為厄米算符，證明能量表象中求和規(guī)則為KFHFKFEENNKKN,212（1）證式（1）左端令A(yù)KFNNFKEENKNKFHHFNNFKN,KFHFK（2）計算中用到了公式1NNN。由于FH,是厄米算符，有下列算符關(guān)系FHHFFHFHHFFHHFFH,（3）式（2）取共軛，得到AAKFHFK,KFFHK,3,KFFHK（4）結(jié)合式（2）和（4），得AKFHFKFEENNKKN,212證畢。57）證明SCHRDINGER方程變換在GALILEO變換下的不變性，即設(shè)慣性參照系K的速度相對于慣性參照系K運(yùn)動（沿X軸方向），空間任何一點(diǎn)兩個參照系中的坐標(biāo)滿足下列關(guān)系,TTZZYYVTXX。（1）勢能在兩個參照系中的表示式有下列關(guān)系似水驕陽33TXVTTXVTXV,（2）證明SCHRDINGER方程在K參照系中表為2222VXMTINULLNULL在K參照系中表為VXMTI2222NULLNULL其中TTXTMXMI,2EXP2NULLNULL證由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，和的意義完全相同。2,XTXT，是T時刻在X點(diǎn)找到粒子的幾率密度；2,XTXT，是T時刻在X點(diǎn)找到粒子的幾率密度。但是在給定時刻，給定地點(diǎn)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應(yīng)與參照系的選擇無關(guān)，所以相應(yīng)的幾率應(yīng)相等，即,XTXT（6）從（1）式有,XTTXT（6）由此可以得出，和兩個波函數(shù)彼此只應(yīng)差絕對值為1的相因子，所以TTXETXETXTXISIS,（7）TXETTXTXIS,（7）由（1）式，XX,TXVT,2222XX（3）式變?yōu)?22,2TXTXVTXXMNULL,TXTITXXINULLNULL（8）將（7）代入（8）式，可得TSXSXSMTSMITXVXXSMIXMNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL2222222222,2TINULL（9）選擇適當(dāng)?shù)腡XS,，使得（9）（4），0XSMNULL。（10）02222222TSXSXSMXSMINULLNULLNULLNULL（10）似水驕陽34從（10）可得TFXMSNULL。（11）TF是的任意函數(shù)，將（11）代入（10），可得NULL22MTF積分，得CTMTFNULL22。C為積分常數(shù)，但0時，K系和K系重合，應(yīng)等于，即S應(yīng)等于0，故應(yīng)取0C，從而得到TMXMSNULLNULL22（12）代入（7）式，最后得到波函數(shù)的變換規(guī)律TMXMI2211EXPNULL（13）逆變換為221EXPTMXMIEISNULL（13）相當(dāng)于式（13）中的，帶”，“的量和不帶”，“的量互換。討論TXS,的函數(shù)形式也可用下法求出因TXS,和勢能V無關(guān)，所以只需要比較平面波（自由粒子）在K和K系中的表現(xiàn)形式，即可確定TXS,沿X方向運(yùn)動的自由粒子，在伽利略變換下，動量、能量的變換關(guān)系為MPP2222212122MPEMPMPMPE（14）據(jù)此，K系和K系中相應(yīng)的平面波波函數(shù)為NULLETPXIE，NULLTEXPIE（15）（1）、（14）代入（15），即得TMXMI2211EXPNULL此即（13）式，由于這個變換關(guān)系僅取決于K和K系的相對速度，而與粒子的動量P無關(guān)，所以上式適用于任何自由粒子。它正是所求的變換關(guān)系。第六章中心力場61利用613節(jié)中式（17）、（18），證明下列關(guān)系式似水驕陽35相對動量21121PMPMMRPNULLNULLNULLNULL（1）總動量21PPRMPNULLNULLNULLNULL（2）總軌跡角動量PRPRPRPRLLLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL221121（3）總動能222222222121PMPMPMPTNULLNULLNULL（4）反之，有,11RMRRNULLNULLNULLRMRRNULLNULLNULL22（5）PPMP21，PPMP12（6）以上各式中，212121,MMMMMMM證212211MMRMRMR，（17）21RRR，（18）相對動量21122121211PMPMMRRMMMMRPNULLNULLNULLNULL（1）總動量2121221121PPMMRMRMMMRMPNULLNULLNULLNULL（2）總軌跡角動量221121PRPRLLLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL52211PRMURPRMUR2112211PMPMMRPPR21PRPR由（17）、18可解出21,RRNULLNULL，即（5）式；由（1）（2）可解出（6）。總動能22112262221212222MPPMMPPMMPMPTNULLNULLNULLNULLNULLNULL2122222122112222122222MMPPUMPPMMUMMPPUMPPMMU2122221222211112122MMPPMMMPMMM似水驕陽362222PMPNULL（4）從（17），18式可解出（5）式；從（1），2式可解出（6）式62同上題，求坐標(biāo)表象中P、P和L的算術(shù)表示式RIPNULLRIPNULL，PRPRLNULLNULLNULLNULLNULL解211221121RRMMMIPMPMMPNULL（1）其中1111ZKYJXIR，而XXMMXXXXXXX1111，同理，YYMMY11ZZMMZ11；（利用上題（17）（18）式。）1RRRMM1；仿此可設(shè)2RRRMM1（2）代入（1）中，得RRRRMMMMMMMMMIP121221NULLRINULL（3）2121RRIPPPNULLNULLNULLNULL2RINULL（4）PRPRLNULLNULLNULLNULLNULL只要將（3）、（4）式中的P、P以相應(yīng)的算符代入即可。63）利用氫原子能級公式，討論下列體系的能譜（A）電子偶素（POSITRONIUM，指EE束縛體系）（B）U原子（MUONICATOM）（C）U子偶素（MUONIUM，指UU束縛體系）解由氫原子光譜理論，能級表達(dá)式為22412NUEENNULL,PEPEMMMMU。（A）電子偶素能級22414NUEENNULL，（2EEEEEMMMMMU）似水驕陽37（B）U原子能級22412NEUEUNNULL，（PUPUUMMMMU）（C）U子偶素能級22414NEMEUNNULL，（2UUUUUMMMMMU）64）對于氫原子基態(tài)，計算PX。解在求坐標(biāo)系中，空間反演RR（,RR）。氫原子基態(tài)波函數(shù)為12100301RAEA（1）宇稱為偶。由于均為奇宇稱算符，所以0,0XPX（2）由于100各向同性，呈球?qū)ΨQ分布，顯然有222222223131PPPPRZYXZYX（3）容易算出DRR2100222301SINRARERDRDA2223A（4）2PD10021002NULLD1001001001002NULLD21002NULL2DDRDRRSIN21002NULL22ANULL（5）因此2X2A，22XXXA（6）2223XPANULL，223XXXPPPANULL（7）3NULLXPX（8）測不準(zhǔn)關(guān)系的普遍結(jié)論是2NULLXPX（9）顯然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且3NULL很接近式（9）規(guī)定的下限2NULL。65）對于氫原子基態(tài)，求電子處于經(jīng)典禁區(qū)AR2（即0。因此，電子處于經(jīng)典不允許區(qū)的幾率為AARDDDRREAP2020223SIN1（令A(yù)R2）423324DEAA23810134E66）對于類氫原子（核電荷ZE）的“圓軌道”（指1,0NLNR的軌跡），計算（A）最可幾半徑；（B）平均半徑；（C）漲落2122RRR解類氫原子中電子波函數(shù)NLM可以表示為,1,LMLNLMLNNLMYRURYRRRR（1）（A）最可幾半徑由徑向幾率分布的極值條件20RNLDURDR（2）決定。1NL時，0RN。NAZRNNECRRU1,0代入（2）式，容易求得ZANR02幾（4）這結(jié)果和玻爾量子論中圓軌跡的半徑公式一致。（B）在NLM態(tài)下，各R之間有遞推關(guān)系（KRAMERS公式）2212221212104AARRLRNZZ5在（5）式中令0，注意到10R?？稍O(shè)ANZRNLM216依次再取2,1，得到AZLLNRNLM13212212LNNANZ（7）似水驕陽39（C）222213512AZLLNNRNLM221112LNANNNZ（8）因此，R的漲落2122RRR132224NNAZ（9）322124221RNNNNRN（10）可見，N越大，RR越小，量子力學(xué)的結(jié)果和玻爾量子軌跡的圖像越加接近。67）設(shè)電荷為ZE的原子核突然發(fā)生衰變，核電荷變成EZ1，求衰變前原子Z中一個K電子（S1軌跡上的電子）在衰變后仍然保持在新的原子1Z的K軌道的幾率。解由于原子核的衰變是突然發(fā)生的?？梢哉J(rèn)為核外的電子狀態(tài)還來不及變化。對于原來的K電子，其波函數(shù)仍為1321003,ZRAZZREA（1）而新原子中K電子的波函數(shù)應(yīng)為ARZEAZRZ121331001,1（2）將RZ,100按新原子的能量本征態(tài)作線形展開100,1,NLMNLMNLMZRCZR（3）則衰變前的S1電子在衰變后處于新原子的RZNLM,1態(tài)的幾率為221001NLMNLMNLMPCZZ（4）因此，本題所求的幾率為100P3322221210010026114ZRAZZZZERDA6363321111211ZZZZZ（5）展開時保留到第三項(xiàng)當(dāng)1Z，上式可近似取成2100431ZP（5）例如，10Z,99320100P；30Z,99920100P。68）設(shè)堿金屬原子中的價電子所受原子實(shí)（原子核滿殼電子）的作用近似表為似水驕陽40222RAERERV（10T時，A粒子1自旋向上的幾率（答2COS2AT，取1NULL）B粒子1和2的自旋向上的幾率（答0）C總自旋S0和1的幾率（答都是21）D求和的平均值（答02211YXYXSSSS，ATSZCOS211，ATSZCOS212）。解從求體系的自旋波函數(shù)入手，由于232221SASSAH（1）易見總自旋S是守恒量，所以定態(tài)波函數(shù)可以選為2S、ZS的共同本征函數(shù)，按照總自旋量子數(shù)S的不同取值，本征函數(shù)和能級為43,0,4,100011AESAESSM（2）0T時，體系的自旋態(tài)為001021210（3）因此，0T時波函數(shù)為TIETIEEET0100102121（4）似水驕陽45即434212121212121IATIATEET42SIN212COS21IATEATIAT（4）A）由式（4）可知，在時刻T，粒子1自旋“向上”同時粒子2自旋“向下”，相當(dāng)于21項(xiàng)的幾率為2COS2AT。B粒子1和2自旋均“向上”相應(yīng)于21，式（4）中沒有這種項(xiàng)的幾率為0。這是容易理解的。因?yàn)榭傋孕齔S為守恒量，而體系初態(tài)0ZS，所以任何時刻ZS必為0，不可能出現(xiàn)兩個粒子均“向上”1ZS的情形。C由式（4）可知，總自旋量子數(shù)S取1和0的幾率相等，各為21。由于2S守恒，這個幾率不隨時間改變D利用式（4）容易算出1S和2S的平均值為COS21,COS212SIN2COS21,0122212211。ATSSATATATSSSSSTZTZTZTYTXTYTX（5）第九章力學(xué)量本征值問題的代數(shù)解法94設(shè)兩個全同粒子角動量21JJJ，耦合成總角動量J，JMJ221212121JMJMMMJMMJJM（1）利用CG系數(shù)的對稱性，證明JMJJJJMJP22212由此證明，無論是BOSE子或FERMI子，J都必須取偶數(shù)證由式（1），JMJP21212212121JMJMMMJMJMJM把21MM,12122112JMJMMMJMJMJM利用CG系數(shù)的對稱性21212112212JMJMMMJJJMMJMJJMJJJ222對于FERMI子，J半奇數(shù)，J2奇數(shù)，但要求12P，即要求12JJ，所以J必須為偶數(shù)。似水驕陽