x屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)名師講義學(xué)案x章第十一《節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用》文

第十一節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用1了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2了解函數(shù)模型如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用知識(shí)梳理1幾類函數(shù)模型及其增長差異1幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型FXAXBA，B為常數(shù)，A0二次函數(shù)模型FXAX2BXCA，B，C為常數(shù)，A0指數(shù)函數(shù)模型FXBAXCA，B，C為常數(shù)，A0且A1，B0對(duì)數(shù)函數(shù)模型FXBLOGAXCA，B，C為常數(shù)，A0且A1，B0冪函數(shù)模型FXAXNBA，B為常數(shù)，A02三種增長型函數(shù)之間增長速度的比較YAXA1YLOGAXA1YXNN0在0，上的單調(diào)性單調(diào)_函數(shù)單調(diào)_函數(shù)單調(diào)_函數(shù)圖象的變化隨X值增大，圖象與_軸接近平行隨X值增大，圖象與X軸接近_隨N值變化而不同2解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟1審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；2建模將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；3求模求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；4還原將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題以上過程用框圖表示如下12遞增遞增遞增或遞減Y平行基礎(chǔ)自測1FXX2，GX2X，HXLOG2X，當(dāng)X4，時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是AFXGXHXBGXFXHXCGXHXFXDFXHXGX解析根據(jù)三種函數(shù)模型的增長速度可知，選項(xiàng)B正確答案B2在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù)X20100102030Y0240511202398802則X，Y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近其中A，B為待定系數(shù)AYABXBYABXCYAX2BDYABX解析由表格數(shù)據(jù)逐個(gè)驗(yàn)證知，模擬函數(shù)為YABX故選B答案B3某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，KQ40QQ2，則總利潤LQ的最大值120是_萬元解析LQ40QQ2200010QQ30022500LQMAX2500120120答案25004某種動(dòng)物繁殖數(shù)量Y只與時(shí)間X年的關(guān)系為YALOG2X1，設(shè)這種動(dòng)物第1年有100只，到第7年它們的繁殖數(shù)量為_只解析當(dāng)X1，Y100時(shí)，由YALOG2X1得A100，所以Y100LOG2X1，當(dāng)X7時(shí)，Y300答案3001提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度V單位千米/小時(shí)是車流密度X單位輛/千米的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明當(dāng)20X200時(shí)，車流速度V是車流密度X的一次函數(shù)1當(dāng)0X200時(shí)，求函數(shù)VX的表達(dá)式2當(dāng)車流密度X為多大時(shí)，車流量單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位輛/小時(shí)FXXVX可以達(dá)到最大并求出最大值精確到1輛/小時(shí)解析1由題意，當(dāng)0X20時(shí)，VX60；當(dāng)20X200時(shí)，設(shè)VXAXB，再由已知得ERROR解得ERROR故函數(shù)VX的表達(dá)式為VXERROR2依題意并由1可得FXERROR當(dāng)0X20時(shí)，F(xiàn)X為增函數(shù)，故當(dāng)X20時(shí)，其最大值為60201200；當(dāng)20X200時(shí)，F(xiàn)XX200X2，當(dāng)且僅當(dāng)X200X，1313X200X2100003即X100時(shí)，等號(hào)成立所以，當(dāng)X100時(shí)，F(xiàn)X在區(qū)間20,200上取得最大值100003綜上所述，當(dāng)X100時(shí)，F(xiàn)X在區(qū)間0,200上取得最大值3333，即當(dāng)車流密100003度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)2請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60CM的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AEFBXCM1若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S單位CM2最大，試問X應(yīng)取何值2若廠商要求包裝盒的容積V單位CM3最大，試問X應(yīng)取何值并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值解析1根據(jù)題意有S6024X2602X2240X8X28X1521800010，所以315X5832，解得XX千米3當(dāng)行程為3千米時(shí)，平均每千米為元，比較三種計(jì)費(fèi)方程知，當(dāng)行程為10千米113時(shí)，費(fèi)用最省，即行程10千米時(shí)下車，重新上車計(jì)費(fèi)，故當(dāng)行程為28千米時(shí)，兩次分別行程10千米時(shí)下車，重新上車計(jì)費(fèi)，其費(fèi)用為2X721X521729元2X徐州調(diào)研據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例系數(shù)為KK0現(xiàn)已知相距18KM的A，B兩家化工廠污染源的污染強(qiáng)度分別為A，B，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)Y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和設(shè)ACXKM1試將Y表示為X的函數(shù)；2若A1，且當(dāng)X6時(shí)，Y取得最小值，試求B的值解析1設(shè)點(diǎn)C處受A污染源污染程度為，點(diǎn)C處受B污染源污染程度為，KAX2KB18X2其中K為比例系數(shù)，且K0從而點(diǎn)C處受污染程度為YKAX2KB18X22因?yàn)锳1，所以Y，YK，令Y0，得X，又此時(shí)KX2KB18X22X32B18X31813BX6，解得B8，經(jīng)驗(yàn)證符合題意所以，污染源B的污染強(qiáng)度B的值為8第十三節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一1了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次知識(shí)梳理一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系1函數(shù)單調(diào)性的充分條件設(shè)函數(shù)YFX在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)Y0，那么函數(shù)YFX在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)Y0，則FX在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若FX1時(shí)，F(xiàn)X0，F(xiàn)XXEX為增函數(shù)，所以X1為FX的極小值點(diǎn)故選D答案D2X北京卷已知函數(shù)FXX2XSINXCOSX1若曲線YFX在點(diǎn)A，F(xiàn)A處與直線YB相切，求A與B的值；2若曲線YFX與直線YB有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求B的取值范圍解析1由FXX2XSINXCOSX，得FXX2COSX，因?yàn)閅FX在點(diǎn)A，F(xiàn)A處與直線YB相切所以FAA2COSA0且BFA，則A0，BF012令FX0，得X0所以當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)X0，F(xiàn)X在0，遞增當(dāng)X1時(shí)曲線YFX與直線YB有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)所以B的取值范圍是1，1已知函數(shù)FXERROR1判斷函數(shù)FX的奇偶性；2求FX的單調(diào)區(qū)間；3若關(guān)于X的方程FXK恰有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)K的取值范圍解析1當(dāng)X0時(shí)，X0，F(xiàn)XXLNX，F(xiàn)XXLNX，F(xiàn)XFX，F(xiàn)X是奇函數(shù)2當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)XXLNX，F(xiàn)XLNXXLNX1，1X令FX0，得X，1E當(dāng)X時(shí)，F(xiàn)X是增函數(shù)，1E，又FX是奇函數(shù)，當(dāng)X時(shí)，F(xiàn)X是減函數(shù)，1E，0X時(shí)，F(xiàn)X是增函數(shù)，1EFX的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，1E，00，1E，1E1E，3考查FX的圖象變化，由2知，當(dāng)X時(shí)，F(xiàn)X由0遞減到F，0，1E1E1E當(dāng)X時(shí)，F(xiàn)X由F遞增到，1E，1E當(dāng)X時(shí)，F(xiàn)X由遞增到F，1E1E1E當(dāng)X時(shí)，F(xiàn)X由F遞減到0，1E，01E方程FXK恰有三個(gè)不同的根，F(xiàn)X的圖象與YK的圖象應(yīng)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，0X時(shí)，F(xiàn)X取得極小值，又2222F0，且X時(shí)，F(xiàn)X0在X時(shí)取得最小值所以當(dāng)X時(shí)，函數(shù)有最2222小值答案24X南寧聯(lián)考已知函數(shù)FXX33AXA在0,1內(nèi)有最小值，則A的取值范圍是_解析FX3X23A3X2A，顯然A0，F(xiàn)X3XX，由已知條件AA01，解得0A1A答案0,11XX卷設(shè)A0，B0，A若2A2A2B3B，則ABB若2A2A2B3B，則ABD若2A2A2B3B，則A2B2B構(gòu)造函數(shù)FX2X2X，則FX2XLN220恒成立，故有函數(shù)FX2X2X在0，上單調(diào)遞增，即AB成立其余選項(xiàng)用同樣方法排除故選A答案A2XX卷設(shè)函數(shù)FXX1EXKX2其中KR1當(dāng)K1時(shí)，求函數(shù)FX的單調(diào)區(qū)間；2當(dāng)K時(shí)，求函數(shù)FX在0，K上的最大值M12，1解析1當(dāng)K1時(shí)，F(xiàn)XX1EXX2，F(xiàn)XEXX1EX2XXEX2XXEX2，令FX0，得X10，X2LN2，當(dāng)X變化時(shí)，F(xiàn)X，F(xiàn)X的變化如下表X，000，LN2LN2LN2，F(xiàn)X00FX極大值極小值上表可知，函數(shù)FX的遞減區(qū)間為0，LN2，遞增區(qū)間為，0，LN2，2FXEXX1EX2KXXEX2KXXEX2K，令FX0，得X10，X2LN2K，令GKLN2KK，則GK10，所以GK在上遞增，1K1KK12，1所以GKLN21LN2LNE0，從而LN2KK，所以LN2K0，K所以當(dāng)X0，LN2K時(shí)，F(xiàn)X0；當(dāng)XLN2K，時(shí)，F(xiàn)X0；所以MMAXF0，F(xiàn)KMAX1，K1EKK3；令HKK1EKK31，則HKKEK3K令KEK3K，則KEK3E30，所以K在上遞減，而1E30，12，112E32所以存在X0使得X00，且當(dāng)K時(shí)，K0，當(dāng)KX0,1時(shí)，K12，112，X00，所以K在上單調(diào)遞增，在X0,1上單調(diào)遞減12，X0因?yàn)镠0，H10，所以HK0在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)K1時(shí)1212E7812，1取得“”綜上，函數(shù)FX在0，K上的最大值MK1EKK31XX金山一中等三?？记皽y試函數(shù)Y在區(qū)間0,1上XLNXA是減函數(shù)B是增函數(shù)C有極小值D有極大值解析FX，X0,1和X1，E時(shí)，F(xiàn)X0在區(qū)間X0,1，F(xiàn)X是減函數(shù)，XE時(shí)有極小值FEE故選A答案A2X東莞二模已知函數(shù)FXAX22XLNX1若FX無極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)FX有零點(diǎn)，求A的值；2若FX有兩個(gè)極值點(diǎn)，求A的取值范圍，并證明FX的極小值小于32解析1首先，X0時(shí)，F(xiàn)X2AX2，1X2AX22X1XFX有零點(diǎn)而FX無極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右FX同號(hào)，故A0，且2AX22X10的0由此可得A122由題意，2AX22X10有兩個(gè)不同的正根，故0，A0解得0A；12設(shè)2AX22X10的兩根為X1，