《測(cè)量學(xué)》課件6測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)（可編輯）

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總觀測(cè)值改正數(shù)特點(diǎn)精度評(píng)定證明兩式根號(hào)內(nèi)相等證明兩式根號(hào)內(nèi)相等距離丈量精度計(jì)算例67不同精度直接觀測(cè)平差1權(quán)的定義二測(cè)量中常用的定權(quán)方法誤差傳播定律的應(yīng)用例2試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度解2測(cè)量高差的精度基本公式求全微分高差中誤差其中誤差傳播定律的應(yīng)用例31用鋼尺丈量某正方形一條邊長(zhǎng)為求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差解1周長(zhǎng)2用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長(zhǎng)為其中求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差面積周長(zhǎng)的中誤差為全微分面積的中誤差為全微分解1周長(zhǎng)和面積的中誤差分別為例32用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長(zhǎng)為其中求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差2周長(zhǎng)周長(zhǎng)的中誤差為面積得周長(zhǎng)的中誤差為全微分但由于觀測(cè)值的算術(shù)平均值最或是值用觀測(cè)值的改正數(shù)V計(jì)算觀測(cè)值的中誤差即白塞爾公式66同等精度直接觀測(cè)平差一觀測(cè)值的算術(shù)平均值最或是值最可靠值證明算術(shù)平均值為該量的最或是值設(shè)該量的真值為X則各觀測(cè)值的真誤差為11X22XNNX對(duì)某未知量進(jìn)行了N次觀測(cè)得N個(gè)觀測(cè)值12N則該量的算術(shù)平均值為X12NNN上式等號(hào)兩邊分別相加得和L當(dāng)觀測(cè)無(wú)限多次時(shí)得兩邊除以N由當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該量的真值當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)觀測(cè)值的算術(shù)平均值最接近真值所以算術(shù)平均值是最或是值LX二觀測(cè)值的改正數(shù)V以算術(shù)平均值為最或是值并據(jù)此計(jì)算各觀測(cè)值的改正數(shù)V符合VVMIN的最小二乘原則VILII12N特點(diǎn)1改正數(shù)總和為零對(duì)上式取和以代入通常用于計(jì)算檢核LNVNLNVN0V0特點(diǎn)2VV符合最小二乘原則則即VVX2MIN2X0DVVDXX0NX0XN比較前面的公式可以證明兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的即在與中精度評(píng)定用觀測(cè)值的改正數(shù)V計(jì)算中誤差一計(jì)算公式即白塞爾公式證明如下真誤差改正數(shù)對(duì)上式取N項(xiàng)的平方和由上兩式得其中中誤差定義白塞爾公式解該水平角真值未知可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)算其中誤差例對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差算例1備注VV60V0764245平均93764248511764246493764242325576424021647642491VVV觀測(cè)值次數(shù)764245174算例2對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次求該距離的算術(shù)平均值觀測(cè)值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差凡是相對(duì)中誤差都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示一權(quán)的概念權(quán)是權(quán)衡利弊權(quán)衡輕重的意思在測(cè)量工作中權(quán)是一個(gè)表示觀測(cè)結(jié)果可靠程度的相對(duì)性指標(biāo)1權(quán)的定義設(shè)一組不同精度的觀測(cè)值為L(zhǎng)I其中誤差為MII12N選定任一大于零的常數(shù)則定義權(quán)為稱PI為觀測(cè)值LI的權(quán)合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系測(cè)量學(xué)第6章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)第6章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)61概述62測(cè)量誤差的種類63偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)64衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)65誤差傳播定律66同精度直接觀測(cè)平差67不同精度直接觀測(cè)平差68最小二乘法原理及其應(yīng)用測(cè)量與觀測(cè)值觀測(cè)與觀測(cè)值的分類觀測(cè)條件等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè)直接觀測(cè)和間接觀測(cè)獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)61測(cè)量誤差概述61測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差及其來(lái)源測(cè)量誤差的來(lái)源1儀器誤差儀器精度的局限軸系殘余誤差等2人為誤差判斷力和分辨率的限制經(jīng)驗(yàn)等3外界條件的影響溫度變化風(fēng)大氣折光等測(cè)量誤差的表現(xiàn)形式測(cè)量誤差真誤差觀測(cè)值真值觀測(cè)值與真值之差觀測(cè)值與觀測(cè)值之差例誤差處理方法鋼尺尺長(zhǎng)誤差LD計(jì)算改正鋼尺溫度誤差LT計(jì)算改正水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)操作時(shí)抵消前后視等距經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C操作時(shí)抵消盤(pán)左盤(pán)右取平均2系統(tǒng)誤差誤差出現(xiàn)的大小符號(hào)相同或按規(guī)律性變化具有積累性系統(tǒng)誤差可以消除或減弱計(jì)算改正觀測(cè)方法儀器檢校測(cè)量誤差分為粗差系統(tǒng)誤差和偶然誤差62測(cè)量誤差的種類1粗差錯(cuò)誤超限的誤差3偶然誤差誤差出現(xiàn)的大小符號(hào)各不相同表面看無(wú)規(guī)律性例估讀數(shù)氣泡居中判斷瞄準(zhǔn)對(duì)中等誤差導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差準(zhǔn)確度測(cè)量成果與真值的差異最或是值最接近真值的估值最可靠值測(cè)量平差求解最或是值并評(píng)定精度4幾個(gè)概念精密度觀測(cè)值之間的離散程度舉例在某測(cè)區(qū)等精度觀測(cè)了358個(gè)三角形的內(nèi)角之和得到358個(gè)三角形閉合差I(lǐng)偶然誤差也即真誤差然后對(duì)三角形閉合差I(lǐng)進(jìn)行分析分析結(jié)果表明當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)偶然誤差的出現(xiàn)呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性而且觀測(cè)次數(shù)越多規(guī)律性越明顯63偶然誤差的特性用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)頻率直方圖的中間高兩邊低并向橫軸逐漸逼近對(duì)稱于Y軸頻率直方圖中每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率KN而所有條形的總面積等于1各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲線形狀表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律圖61誤差統(tǒng)計(jì)直方圖從誤差統(tǒng)計(jì)表和頻率直方圖中可以歸納出偶然誤差的四個(gè)特性特性123決定了特性4特性4具有實(shí)用意義3偶然誤差的特性1在一定的觀測(cè)條件下偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值有界性2絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多趨向性3絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等對(duì)稱性4當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零抵償性偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測(cè)次數(shù)N無(wú)限增多N誤差區(qū)間D無(wú)限縮小D0時(shí)各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線這條曲線稱為正態(tài)分布曲線又稱為高斯誤差分布曲線所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性圖61誤差統(tǒng)計(jì)直方圖1方差與標(biāo)準(zhǔn)差由正態(tài)分布密度函數(shù)式中為常數(shù)272828XY正態(tài)分布曲線A0令上式為64衡量精度的指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)意義表示的離散程度XY較小較大稱為標(biāo)準(zhǔn)差上式中稱為方差測(cè)量工作中用中誤差作為衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差表示偶然誤差的離散情形上式中偶然誤差為觀測(cè)值與真值X之差觀測(cè)次數(shù)N有限時(shí)用中誤差M表示偶然誤差的離散情形IIXP123表52M1小于M2說(shuō)明第一組觀測(cè)值的誤差分布比較集中其精度較高相對(duì)地第二組觀測(cè)值的誤差分布比較離散其精度較低M127是第一組觀測(cè)值的中誤差M236是第二組觀測(cè)值的中誤差2容許誤差極限誤差根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間D內(nèi)的概率為誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為將K123分別代入上式可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍二倍三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率PM0683683P2M0954954P3M0997997測(cè)量中一般取兩倍中誤差2M作為容許誤差也稱為限差容3M或容2M3相對(duì)誤差相對(duì)中誤差誤差絕對(duì)值與觀測(cè)量之比用于表示距離的精度用分子為1的分?jǐn)?shù)表示分?jǐn)?shù)值較小相對(duì)精度較高分?jǐn)?shù)值較大相對(duì)精度較低K2K1所以距離S2精度較高例2用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得S1100米M1002MS2200米M2002M計(jì)算S1S2的相對(duì)誤差00210021K1K2100500020010000解一一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為C式為由于和是一個(gè)很小的量可代替上式中的和C代入B得對(duì)A全微分B設(shè)有函數(shù)為