《測量學》課件6測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識（可編輯）

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總觀測值改正數(shù)特點精度評定證明兩式根號內相等證明兩式根號內相等距離丈量精度計算例67不同精度直接觀測平差1權的定義二測量中常用的定權方法誤差傳播定律的應用例2試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度解2測量高差的精度基本公式求全微分高差中誤差其中誤差傳播定律的應用例31用鋼尺丈量某正方形一條邊長為求該正方形的周長S和面積A的中誤差解1周長2用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中求該正方形的周長S和面積A的中誤差面積周長的中誤差為全微分面積的中誤差為全微分解1周長和面積的中誤差分別為例32用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中求該正方形的周長S和面積A的中誤差2周長周長的中誤差為面積得周長的中誤差為全微分但由于觀測值的算術平均值最或是值用觀測值的改正數(shù)V計算觀測值的中誤差即白塞爾公式66同等精度直接觀測平差一觀測值的算術平均值最或是值最可靠值證明算術平均值為該量的最或是值設該量的真值為X則各觀測值的真誤差為11X22XNNX對某未知量進行了N次觀測得N個觀測值12N則該量的算術平均值為X12NNN上式等號兩邊分別相加得和L當觀測無限多次時得兩邊除以N由當觀測次數(shù)無限多時觀測值的算術平均值就是該量的真值當觀測次數(shù)有限時觀測值的算術平均值最接近真值所以算術平均值是最或是值LX二觀測值的改正數(shù)V以算術平均值為最或是值并據(jù)此計算各觀測值的改正數(shù)V符合VVMIN的最小二乘原則VILII12N特點1改正數(shù)總和為零對上式取和以代入通常用于計算檢核LNVNLNVN0V0特點2VV符合最小二乘原則則即VVX2MIN2X0DVVDXX0NX0XN比較前面的公式可以證明兩式根號內的部分是相等的即在與中精度評定用觀測值的改正數(shù)V計算中誤差一計算公式即白塞爾公式證明如下真誤差改正數(shù)對上式取N項的平方和由上兩式得其中中誤差定義白塞爾公式解該水平角真值未知可用算術平均值的改正數(shù)V計算其中誤差例對某水平角等精度觀測了5次觀測數(shù)據(jù)如下表求其算術平均值及觀測值的中誤差算例1備注VV60V0764245平均93764248511764246493764242325576424021647642491VVV觀測值次數(shù)764245174算例2對某距離用精密量距方法丈量六次求該距離的算術平均值觀測值的中誤差算術平均值的中誤差算術平均值的相對中誤差凡是相對中誤差都必須用分子為1的分數(shù)表示一權的概念權是權衡利弊權衡輕重的意思在測量工作中權是一個表示觀測結果可靠程度的相對性指標1權的定義設一組不同精度的觀測值為LI其中誤差為MII12N選定任一大于零的常數(shù)則定義權為稱PI為觀測值LI的權合肥工業(yè)大學土建學院測量工程系合肥工業(yè)大學土建學院測量工程系測量學第6章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識第6章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識61概述62測量誤差的種類63偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)64衡量觀測值精度的指標65誤差傳播定律66同精度直接觀測平差67不同精度直接觀測平差68最小二乘法原理及其應用測量與觀測值觀測與觀測值的分類觀測條件等精度觀測和不等精度觀測直接觀測和間接觀測獨立觀測和非獨立觀測61測量誤差概述61測量誤差概述測量誤差及其來源測量誤差的來源1儀器誤差儀器精度的局限軸系殘余誤差等2人為誤差判斷力和分辨率的限制經驗等3外界條件的影響溫度變化風大氣折光等測量誤差的表現(xiàn)形式測量誤差真誤差觀測值真值觀測值與真值之差觀測值與觀測值之差例誤差處理方法鋼尺尺長誤差LD計算改正鋼尺溫度誤差LT計算改正水準儀視準軸誤差I操作時抵消前后視等距經緯儀視準軸誤差C操作時抵消盤左盤右取平均2系統(tǒng)誤差誤差出現(xiàn)的大小符號相同或按規(guī)律性變化具有積累性系統(tǒng)誤差可以消除或減弱計算改正觀測方法儀器檢校測量誤差分為粗差系統(tǒng)誤差和偶然誤差62測量誤差的種類1粗差錯誤超限的誤差3偶然誤差誤差出現(xiàn)的大小符號各不相同表面看無規(guī)律性例估讀數(shù)氣泡居中判斷瞄準對中等誤差導致觀測值產生誤差準確度測量成果與真值的差異最或是值最接近真值的估值最可靠值測量平差求解最或是值并評定精度4幾個概念精密度觀測值之間的離散程度舉例在某測區(qū)等精度觀測了358個三角形的內角之和得到358個三角形閉合差I偶然誤差也即真誤差然后對三角形閉合差I進行分析分析結果表明當觀測次數(shù)很多時偶然誤差的出現(xiàn)呈現(xiàn)出統(tǒng)計學上的規(guī)律性而且觀測次數(shù)越多規(guī)律性越明顯63偶然誤差的特性用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計頻率直方圖的中間高兩邊低并向橫軸逐漸逼近對稱于Y軸頻率直方圖中每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率KN而所有條形的總面積等于1各條形頂邊中點連線經光滑后的曲線形狀表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律圖61誤差統(tǒng)計直方圖從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中可以歸納出偶然誤差的四個特性特性123決定了特性4特性4具有實用意義3偶然誤差的特性1在一定的觀測條件下偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值有界性2絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多趨向性3絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會相等對稱性4當觀測次數(shù)無限增加時偶然誤差的算術平均值趨近于零抵償性偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當觀測次數(shù)N無限增多N誤差區(qū)間D無限縮小D0時各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線這條曲線稱為正態(tài)分布曲線又稱為高斯誤差分布曲線所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性圖61誤差統(tǒng)計直方圖1方差與標準差由正態(tài)分布密度函數(shù)式中為常數(shù)272828XY正態(tài)分布曲線A0令上式為64衡量精度的指標標準差的數(shù)學意義表示的離散程度XY較小較大稱為標準差上式中稱為方差測量工作中用中誤差作為衡量觀測值精度的標準中誤差觀測次數(shù)無限多時用標準差表示偶然誤差的離散情形上式中偶然誤差為觀測值與真值X之差觀測次數(shù)N有限時用中誤差M表示偶然誤差的離散情形IIXP123表52M1小于M2說明第一組觀測值的誤差分布比較集中其精度較高相對地第二組觀測值的誤差分布比較離散其精度較低M127是第一組觀測值的中誤差M236是第二組觀測值的中誤差2容許誤差極限誤差根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間D內的概率為誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內的概率為將K123分別代入上式可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍二倍三倍中誤差區(qū)間內的概率PM0683683P2M0954954P3M0997997測量中一般取兩倍中誤差2M作為容許誤差也稱為限差容3M或容2M3相對誤差相對中誤差誤差絕對值與觀測量之比用于表示距離的精度用分子為1的分數(shù)表示分數(shù)值較小相對精度較高分數(shù)值較大相對精度較低K2K1所以距離S2精度較高例2用鋼尺丈量兩段距離分別得S1100米M1002MS2200米M2002M計算S1S2的相對誤差00210021K1K2100500020010000解一一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為C式為由于和是一個很小的量可代替上式中的和C代入B得對A全微分B設有函數(shù)為