湖南省高中數學 4.1平面向量的概念及其線性運算配套課件 理 新人教A版 .ppt

第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算 完全與教材同步 主干知識精心提煉 素質和能力源于基礎 基礎知識是耕作 半畝方塘 的工具 視角從 考綱點擊 中切入 思維從 考點梳理 中拓展 智慧從 即時應用 中升華 科學的訓練式梳理峰回路轉 別有洞天 去盡情暢游吧 它會帶你走進不一樣的精彩 三年3考高考指數 1 了解向量的實際背景 2 理解平面向量的概念 理解兩個向量相等的含義 3 理解向量的幾何表示 4 掌握向量加法 減法的運算 并理解其幾何意義 5 掌握向量數乘的運算及其幾何意義 理解兩個向量共線的含義 6 了解向量線性運算的性質及其幾何意義 1 平面向量的線性運算及共線向量定理是高考考查的重點 也是熱點 難度中等偏下 2 題型以客觀題為主 與解析幾何交匯命題則以解答題為主 1 向量的有關概念 1 定義 既有 又有 的量叫做向量 2 表示方法 用 來表示向量 有向線段的長度表示向量的 用箭頭所指的方向表示向量的 用來表示 大小 方向 有向線段 大小 方向 3 模 向量的 叫做向量的模 記作 長度 即時應用 1 判斷下列命題的真假 請在括號中填寫 真 或 假 向量的大小是實數 向量可以用有向線段表示 向量就是有向線段 向量的長度和向量的長度相等 2 請寫出物理中的三個向量 解析 1 向量是既有大小又有方向的量 向量的大小為實數 故 為真 向量可以用有向線段來表示 有向線段的長度為向量的大小 有向線段的方向為向量的方向 所以 為真 為假 是大小相等 方向相反的向量 故 為真 2 由向量的定義可知 物理中的速度 力 加速度等都為向量 答案 1 真 真 假 真 2 速度 力 加速度 答案不唯一 2 特殊向量 1 零向量 長度為 的向量叫做零向量 記作0 零向量的方向 2 單位向量 長度為 的向量叫做單位向量 3 共線向量 方向相同或 的向量叫做共線向量 共線向量也叫做 向量 規(guī)定 零向量與任何向量共線 4 相等向量 長度 且方向 的向量叫做相等向量 5 相反向量 長度 且方向 的向量叫做相反向量 0 不確定 1個單位 平行 相反 相等 相同 相等 相反 即時應用 1 判斷下列命題的真假 請在括號中填寫 真 或 假 若a與b平行 則b與a方向相同或相反 若a與b平行同向 且 a b 則a b a b 與a b的方向沒有關系 2 把平面上一切單位向量歸結到共同的始點 那么這些向量的終點所構成的圖形是 解析 1 假 當a為零向量時 方向是不確定的 假 向量不能比較大小 真 向量a與b的模相等 即長度相等 與方向無關 2 這些向量的終點所構成的圖形是以共同的始點為圓心 以單位1為半徑的圓 答案 1 假 假 真 2 圓 3 向量的加法與減法 即時應用 1 下列命題是否正確 請在括號中填 或 2 若菱形abcd的邊長為2 則 解析 1 不正確 因為 正確 因為 正確 因為 2 答案 1 2 2 4 向量的數乘與共線向量定理 1 向量的數乘 長度 方向當 0時 a的方向與a的方向 當 0時 a的方向與a的方向 當 0時 a 其方向是任意的 相同 相反 0 2 向量的數乘的運算律設 為實數 則 a a a b 3 共線向量定理向量a a 0 與b共線 當且僅當有唯一一個實數 使得 a a a a b b a 即時應用 1 思考 在共線向量定理中 當a 0時 還唯一嗎 提示 當a 0且b 0時 可以為任意實數 不唯一 當a 0且b 0時 不存在 2 填空 8 a c 7 a c c 設兩非零向量e1 e2不共線 且k e1 e2 e1 ke2 則實數k的值為 點c在線段ab上 且則 解析 原式 8a 8c 7a 7c c 15a 原式 a 8b 4b 2b a 2b k e1 e2 e1 ke2 k e1 e2 e1 ke2 即 k e1 k k e2 e1 e2不共線 解得k 0或1 又 答案 15a a 2b 0或1 例題歸類全面精準 核心知識深入解讀 本欄目科學歸納考向 緊扣高考重點 方法點睛 推門只見窗前月 突出解題方法 要領 答題技巧的指導與歸納 經典例題 投石沖破水中天 例題按層級分梯度進行設計 層層推進 流暢自然 配以形異神似的變式題 幫你舉一反三 觸類旁通 題型與方法貫通 才能高考無憂 平面向量的有關概念 方法點睛 1 平面向量的概念辨析題的解題方法準確理解向量的基本概念是解決該類問題的關鍵 特別是對相等向量 零向量等概念的理解要到位 充分利用反例進行否定也是行之有效的方法 2 幾個重要結論 1 相等向量具有傳遞性 非零向量的平行具有傳遞性 2 向量可以平移 平移后的向量與原向量是相等向量 3 平行向量與起點無關 例1 已知下列命題 單位向量都相等 若a與b是共線向量 b與c是共線向量 則a與c是共線向量 兩個有共同起點而長度相等的非零向量 它們的終點必相同 由于0方向不確定 故0不能與任意向量平行 如果a b b c 則a c 如果 a b 則a與b的方向相同 其中不正確的命題是 請把不正確的命題的序號都填上 規(guī)范解答 各單位向量的模都相等 但方向不一定相同 故 不正確 當b 0時 a與c可以為任意向量 故 不正確 兩個有共同起點而長度相等的非零向量 如果它們的方向相同 則它們的終點必相同 否則終點不相同 故 不正確 規(guī)定0與任意向量平行 故 不正確 如果a b c都為零向量 則a c 如果a b c為非零向量 則它們的長度都相等 方向相同 所以a c 故 正確 不正確 答案 反思 感悟 平面向量的基本概念較多 比較容易遺忘 復習時要構建良好的知識結構來幫助記憶 還可以與物理中 生活中的模型進行類比和聯想來記憶 變式訓練 給出下列命題 1 兩個具有公共終點的向量 一定是共線向量 2 兩個向量不能比較大小 但它們的模能比較大小 3 a 0 為實數 則 必為零 4 為實數 若 a b 則a與b共線 其中錯誤命題的個數為 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 選c 1 錯誤 兩向量共線要看其方向而不是起點與終點 2 正確 因為向量既有大小 又有方向 故它們不能比較大小 但它們的模均為實數 故可以比較大小 3 錯誤 當a 0時 不論 為何值 a 0 4 錯誤 當 0時 a b 此時a與b可以是任意向量 平面向量的線性運算 方法點睛 1 平面向量的線性運算法則的應用三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法 共起點的向量和用平行四邊形法則 差用三角形法則 2 兩個重要結論 1 向量的中線公式 若p為線段ab中點 則 2 向量加法的多邊形法則 提醒 當兩個向量共線 平行 時 三角形法則同樣適用 向量加法的平行四邊形法則與三角形法則在本質上是一致的 但當兩個向量共線 平行 時 平行四邊形法則就不適用了 例2 在 abc中 1 若d是ab邊上一點 且則 2 若o是 abc所在平面內一點 d為bc邊中點 且那么 3 若 解題指南 1 d是ab邊上的三等分點 把表示 2 由d為bc邊中點可得即可求解 3 由可得 abc為正三角形 是該正三角形高的2倍 規(guī)范解答 1 選故選a 2 選a 因為d為bc邊中點 3 abc是邊長為2的正三角形 為三角形高的2倍 所以答案 互動探究 若 1 中的條件作如下改變 若點d是ab邊延長線上一點且則 的值為 解析 由題意知 b為ad中點 又 2 1 3答案 3 反思 感悟 用已知向量來表示另外一些向量是解向量問題的基礎 除了利用向量的線性運算法則外 還應充分利用平面幾何的一些定理 如三角形的中位線定理 相似三角形的對應邊成比例等 變式備選 如圖 在平行四邊形abcd中 e f分別是bc dc的中點 g為bf de的交點 若 解析 連接bd 因為g是 cbd的重心 所以 共線向量定理的應用 方法點睛 1 共線向量定理及其應用 1 可以利用共線向量定理證明向量共線 也可以由向量共線求參數的值 2 若a b不共線 則 a b 0的充要條件是 0 這一結論結合待定系數法應用非常廣泛 2 證明三點共線的方法若則a b c三點共線 例3 已知a b不共線 a b c d e 設t r 如果3a c 2b d e t a b 是否存在實數t使c d e三點在一條直線上 若存在 求出實數t的值 若不存在 請說明理由 解題指南 先假設存在 再用a b表示目標向量 最后判斷是否有成立即可 規(guī)范解答 由題設知 d c 2b 3a e c t 3 a tb c d e三點在一條直線上的充要條件是存在實數k 使得即 t 3 a tb 3ka 2kb 整理得 t 3 3k a 2k t b 因為a b不共線 所以有解之得故存在實數使c d e三點在一條直線上 反思 感悟 1 注意待定系數法在解決此類問題中的應用 其中的k只是橋梁 可設而不求 2 本例中應用待定系數法求t的值時 不可忽視a b不共線的條件 變式訓練 設e1與e2是兩個不共線的非零向量 若向量 3e1 2e2 2e1 4e2 2e1 4e2 試證明 a c d三點共線 證明 3e1 2e2 2e1 4e2 e1 2e2 e1 2e2 又 2e1 4e2 共線 a c d三點共線 變式備選 設a b是兩個不共線向量 若a與b起點相同 t r t為何值時 a tb a b 三向量的終點在一條直線上 解析 設a tb r 化簡整理得 a與b不共線 故時 a tb a b 三向量的終點在一條直線上 把握高考命題動向 體現區(qū)域化考試特點 本欄目以最新的高考試題為研究素材 解析經典考題 洞悉命題趨勢 展示現場評卷規(guī)則 對例題不僅僅是詳解評析 更是從命題層面評價考題 從備考角度提示規(guī)律方法 拓展思維 警示誤區(qū) 考題體驗 讓你零距離體驗高考 親歷高考氛圍 提升應戰(zhàn)能力 為你順利穿越數學高考時空增添活力 運籌帷幄 決勝千里 創(chuàng)新探究 以向量為背景的新定義問題 典例 2011 山東高考 設a1 a2 a3 a4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點 若 r r 且則稱a3 a4調和分割點a1 a2 已知平面上的點c d調和分割點a b則下面說法正確的是 a c可能是線段ab的中點 b d可能是線段ab的中點 c c d可能同時在線段ab上 d c d不可能同時在線段ab的延長線上 解題指南 本題為信息題 由 r r 知 a1 a2 a3 a4四點共線 且不重合 因為c d調和分割點a b 所以a b c d四點在同一直線上 設然后逐項代入驗證 規(guī)范解答 選d 由 r r 知 四點a1 a2 a3 a4在同一條直線上 且不重合 因為c d調和分割點a b 所以a b c d四點在同一直線上 設選項a中此時d不存在 故選項a不正確 同理選項b也不正確 選項c中 0 c 1 0 d 1 也不正確 故選