《線性代數(shù)》-代數(shù)難題講解之一

線性代數(shù)疑難習(xí)題講解容杰華葉宇鑫梁志光（20056）1題目證明向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是線性無(wú)321,31321,關(guān)。知識(shí)點(diǎn)線性無(wú)關(guān)，向量的初等變換。解題步驟方法一。必要性設(shè)0313221KKK即213線性無(wú)關(guān)21,有方程組0321K其系數(shù)矩陣的行列式10321K只有零解即0321K線性無(wú)關(guān)31321,充分性設(shè)0321K與其等價(jià)的式子為022231313213213KKK線性無(wú)關(guān)3131,0202313KK其系數(shù)矩陣的行列式020120121212方程只有零解即0321K線性無(wú)關(guān)21,方法二CC323121121321,13321C,132121RANKRANK故線性無(wú)關(guān)的充要條件是線性無(wú)關(guān)3,31方法總結(jié)方法一是從定義出發(fā)進(jìn)行證明，必要性比較容易想到，但充分性比較難，要確定與其等價(jià)式子的系數(shù)，可通過(guò)求解方程組的方法來(lái)確定。方法二是利用了向量的初等變換求秩方法來(lái)解決問(wèn)題。相關(guān)例題例49（P67）2題目設(shè)為N階實(shí)矩陣，證明若，則。A0TA知識(shí)點(diǎn)矩陣相乘、轉(zhuǎn)置矩陣、零矩陣概念解題步驟證明設(shè)，則NNNAAA212112NNNTAAA212121022123231221212NNNNNTAAAA其中為省略表示的代數(shù)和0221221221NNNNAAAA為實(shí)數(shù)IJ2122112NNNN即0IJANMIJA常見(jiàn)錯(cuò)誤及原因混淆了零矩陣與行列式為零的概念，由0DET,DETDET,0AATTT得出。A3設(shè)為N階矩陣，若，試證的特征值是1或1EA2知識(shí)點(diǎn)特征值與特征向量解題步驟方法一。設(shè)的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，則有XXA兩邊左乘矩陣得A或X2把和代入上式得E22因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所?2方法二。EA2或002EADETTEA或00EA的特征值為或1方法三。設(shè)的特征值為，并設(shè)有多項(xiàng)式A12XF則方陣的特征值為EF2由NI1DET得0T2AF即12相關(guān)例題例54（P89）4題目設(shè)A,X,B分別是MN,N1,M1矩陣，B0是方程AXB的一個(gè)解；對(duì)應(yīng)的齊次方程AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，RRANKA12N證明,，線性無(wú)關(guān)。123RN知識(shí)點(diǎn)線性無(wú)關(guān)基礎(chǔ)解系解題步驟方法一。（從定義出發(fā)）設(shè)存在K,K,K,K,K，使123RNKKKK012RN在等式兩邊左乘A，有KAKAKAKA012RNR，是齊次方程AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，是方程123RNAXB的一個(gè)解。KAKAKA0，AB12RNRKB0B0K0KKK0成立12RN，是齊次方程AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。3R，線性無(wú)關(guān)12RNKKKK03RKKKKK012RN,，線性無(wú)關(guān)3R方法二。（反證法）假設(shè)可由，線性表示，123RN即RNIIK1，是齊次方程AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。123RN，線性無(wú)關(guān)R是方程AXB的一個(gè)解A0B這與B0矛盾RNIIK1假設(shè)不成立不能由，線性表示123RNRANK，NR1R,，線性無(wú)關(guān)123RN方法三。證明，是齊次方程AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。123RN，線性無(wú)關(guān)。123RNRANK，NRR是方程AXB的一個(gè)解，B0不能由，線性表示123RNRANK，NR1123R,，線性無(wú)關(guān)RN方法總結(jié)雖然向量組線性相關(guān)或無(wú)關(guān)的證明比較困難，但還是有多種方法可以解決。可從定義出發(fā)進(jìn)行證明（方法一），可用反證法進(jìn)行證明（方法二），還可以利用性質(zhì)或定理進(jìn)行證明（方法三）。5題目求矩陣A的特征值與特征向量。11知識(shí)點(diǎn)特征值特征向量解題步驟法解A的特征多項(xiàng)式為DETAE11變恒2400213解DETAE0得特征值2432,1當(dāng)時(shí)，得2031421X則,故是A的屬于的全體TX11為常數(shù)）,K2特征向量，當(dāng)時(shí)，得20114321X則，故TX02T3T103是A的屬于的全體特為常數(shù)）,4243KKK242征向量。常見(jiàn)錯(cuò)誤解A11換恒變4002211則A的特征多項(xiàng)式為DETAE10021214得特征值243,1,4（因?yàn)樘卣髦狄呀?jīng)錯(cuò)誤，后面的步驟省略）分析在計(jì)算這類(lèi)題時(shí)，大部份同學(xué)都會(huì)將矩陣化為對(duì)角矩陣或上、下三角矩陣，但有些同學(xué)習(xí)慣于純粹的數(shù)字矩陣的初等變換，而不習(xí)慣于有未知數(shù)的初等變換，于是為了計(jì)算方便，便直接將矩陣A變換成對(duì)角矩陣或上、下三角矩陣，造成錯(cuò)誤。其實(shí)我們可以知道，當(dāng)矩陣A初等變換成對(duì)角矩陣或上、下三角矩陣時(shí)，矩陣A就不是原來(lái)的矩陣A，而是與矩陣A的秩相同的另一個(gè)矩陣了。相關(guān)例題1求矩陣A的特征值與特征向量。12103652求矩陣A的特征值與特征向量。9876546題目在計(jì)算機(jī)行列式時(shí)如何利用范德蒙行列式的結(jié)果知識(shí)點(diǎn)N階范德蒙行列式的算法為1121NNNXXD0IJJX它有如下結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的每列都是某一個(gè)數(shù)的不同方冪,且自上而下方冪次數(shù)由0遞增至N1ND只要抓住其特點(diǎn),將所給行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式,然后用1式計(jì)算結(jié)果現(xiàn)將常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法歸納如下方法一當(dāng)所給行列式各列（或行）都是某元素的不同方冪，但其次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不盡相同時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)（提公因式，調(diào)換行列次序等），將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式。例如計(jì)算NND211解提取各行的公因式，得11NND上式即為N階范德蒙行列式，故N2131N13242N2NN1NNN1N221方法二當(dāng)各行（或列）元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪時(shí)，可用加邊法來(lái)轉(zhuǎn)化。例如計(jì)算442211DCBADN解1當(dāng)A,B,C,D中任兩個(gè)相等時(shí)，顯然D02當(dāng)A,B,C,D互異時(shí)，由于D中缺少三次冪的一行元素，為產(chǎn)生五階范德蒙行列式，現(xiàn)添加一列，得44433322211XDCBAXF按最后一列展開(kāi)，得FX5435251AAX因?yàn)镕AFBFCFD0,故A,B,C,D為FX的四個(gè)根，由根與系數(shù)關(guān)系得ABCD/45又因?yàn)镈，而45AD541BACADACBDBDC5故DABCDABCDBACADACBDBDC45A方法三行列式的各行（或列）都是元素的不同方冪，只有一行（列）不是元素的某次冪，用行列式性質(zhì)使其轉(zhuǎn)換為范德蒙行列式的形式例試用范德蒙行列式計(jì)算DBACBA22DABCCCA222221CBAABCBACADA方法總結(jié)范德蒙行列式是線性代數(shù)中一個(gè)相當(dāng)重要的工具，如果在計(jì)算行列式時(shí)能夠熟練的適時(shí)運(yùn)用，將為解題過(guò)程帶來(lái)很大的方便。7題目設(shè)N階矩陣X滿(mǎn)足，證明都可逆，并求022EEX2,。2,11EX知識(shí)點(diǎn)逆矩陣，矩陣的運(yùn)算解題步驟證明方程化為，即，取行列式得,22EXEX2，故，即可逆。0DETDETX0DETX由知X可逆且211E方程也可以化為，故，220DETT2DET22XE即可逆X22121XE24E31241X另外也可這樣做既然已證明原矩陣可逆，則原式一定可化成EMK2的形式，只需用待定系數(shù)法便能得到結(jié)果常見(jiàn)錯(cuò)誤1在求逆矩陣時(shí)把矩陣代數(shù)化如得到像的式子解得逆矩陣為EX2112X2“巧用代數(shù)變換”由得從而解得逆矩陣為222E相關(guān)例題設(shè)N階矩陣滿(mǎn)足A和并求都可逆和證明12,067AAE12EA8題目設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，且，判斷向量1,21MM21組的線性相關(guān)性,1知識(shí)點(diǎn)解題過(guò)程解法一（從定義出發(fā)）設(shè)021MKKK即012123