2015屆高三4月（第八次）月考數(shù)學(xué)（理）試題

雅禮中學(xué)2015屆高三月考試卷八數(shù)學(xué)理科時量120分鐘，滿分150分，2015年4月一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，請把答案均填入答卷的表格里）1已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于BZ12IA第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2若集合，則B1|0,|LGXMXNXYRMCNABCD或1|0|0X13從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量如下單位克125053046951234則樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率為C,2ABCD0054一個用流程圖表示的算法如圖所示，則其運(yùn)行后輸出的結(jié)果為AA1320B11880C132D以上都不對5的展開式中，含的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有A123XXA3項(xiàng)B4項(xiàng)C2項(xiàng)D6項(xiàng)6如圖是某四棱錐的三視圖，則該棱錐的體積是DA48B3C16D8正視圖俯視圖側(cè)視圖336242I10開始II1I12，S1結(jié)束輸出SYNSSI第4題圖7在公差不為零的等差數(shù)列中，數(shù)列是等比數(shù)列，且NA23710ANB則的值為B7BA268LOGBA2B4C8D18已知函數(shù)，且，那么A53FXAX20F2FABCD61109已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A20YPX210,XYAB是兩曲線的一個交點(diǎn)，且軸，若為雙曲線的一條漸近線，則的傾斜角所在的AFLL區(qū)間可能是DABCD0,6,64,43,32【解析】，又，故選D22|,BPBFCCAABTANCB10若，定義一種運(yùn)算，已知，1212,12,12,M，且點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)在函數(shù)的圖03NPXYSINYXQYFX象上運(yùn)動，且其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則函數(shù)的最大值A(chǔ)和OQMF最小正周期T分別為DABCD2,2,4AT1,2AT1,42T【解析】由條件，所以，從而求得1SIN3XXSIN3FXX1SIN,262FX二填空題（本大題應(yīng)答5小題，每小題5分，共25分，請把答案填入答卷中的橫線上）（一）選做題（請考生在11、12、13三題中任選兩題作答，全做按前兩題記分）11如圖是圓的直徑，延長至D，使ABOAB,OBC切圓于，則C【答案】1312已知在平面直角坐標(biāo)系中圓的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），XOYC3COS1INXYBCDAOO以為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為,06COS則圓截直線OXC所得弦長為【答案】4213若關(guān)于的不等式的解集不空，則的取值范圍是X|2|6XAA【答案】,（二）必做題（1416題）14函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于2SINCOS36XF【答案】15已知函數(shù)，且，則當(dāng)SIFXXR2281610FYXFY時，函數(shù)的最小值與最大值的和為3Y2,FY【答案】62【解析】易知是奇函數(shù)，又為增函數(shù)FXCOS,FXFX所以222281610,81610FYXYY即，又，則對應(yīng)可行域是以為圓心，2為半徑24343X4,3的上半圓面，易求得，其和為62MINMA,9FXYY16記，當(dāng)正數(shù)、變化時，也在變化，,MIN,BAX2IN,YTX則T的最大值為【答案】【解析】若X,則TX,T2X2X故T,當(dāng)22Y2YX12且僅當(dāng)XY時取“”；若X,則T,T22故222YT，當(dāng)且僅當(dāng)XY時取“”綜上可知,當(dāng)XY時,T取最大值為三解答題（本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出必要的文字說明，推理過程和演算步驟）17本小題滿分12分甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每13次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響12求甲獲勝的概率求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望解析設(shè)分別表示甲、乙在第次投籃投中,則,KABK,13P2K123記“甲獲勝”為事件C,由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計算公式知,112123PCAPBAB112ABP2336分97的所有可能為1,2由獨(dú)立性知1213PAPB212229B339綜上知,有分布列123P23919從而,次12分19E18本小題滿分12分如圖,邊長為2的正方形中,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是ABCDEABF的中點(diǎn),將、分別沿、折起,使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn),BCADCFEF連接,F求證E求二面角的余弦值【解析】在正方形中,有ABCD,ADEF則,又平面而平面,5ADE分方法一正方形的邊長為2,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),BCABFBC,1BEF2,2AAEF由得平面,D分別以,為,XY軸建立如圖所示的空間直角Z坐標(biāo)系,XYZ則,0A10E,F2D,F設(shè)平面的一個法向量為,則由,E1NXYZ120NDEXZFY可取12,N又平面的一個法向量可取AF20,1NXYZ12121COS,3|4N二面角的余弦值為12分AEFD方法二連接交于點(diǎn),連接BGA在正方形中,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),CBFBC,點(diǎn)為的中點(diǎn),G且EF正方形的邊長為2,AD1EGE為二面角的平面角由可得,為直角三角形正方形的邊長為2,BC,22EF,G32D又2A2942A1COS32GD二面角的余弦值為AEF19本小題滿分12分已知B、分別在射線CMN、（不含端點(diǎn)C）上運(yùn)動，23MCN，在C中，角A、所對的邊分別是A、B、C（）若A、B、C依次成等差數(shù)列，且公差為2求C的值；（）若，B，試用表示B的周長，并求周長的最大值【解析】（）、成等差，且公差為2，4AC、2B又3MCN，1COS，221，224，G恒等變形得29140C，解得7C或2又4C，76分（）在ABC中，SINSISINBCAB，32SINII，2SI3ABC的周長FACBSINI132SINCOS2SI3，又0,，3,當(dāng)2即6時，F(xiàn)取得最大值212分20本小題滿分13分某生產(chǎn)流水線由于改進(jìn)了設(shè)備，預(yù)計改進(jìn)后第一年年產(chǎn)量的增長率為，以后每年的增長率是前一年的一半，設(shè)原來的產(chǎn)量是160A寫出改進(jìn)設(shè)備后的第一年、第二年、第三年的產(chǎn)量，并寫出第年與第年的N1產(chǎn)量之間的關(guān)系式；2,NN由于設(shè)備不斷老化，估計每年將損失年產(chǎn)量的，如此下去，以后每年的產(chǎn)量是5否始終是逐年提高若是，請給予證明；若不是，請說明從第幾年起，產(chǎn)量將比上一年減少解設(shè)第年的產(chǎn)量為，則NNA12360,18,40,A6分12311479,525602,NNNNAAN依題意得，1452NNA若以后每年的產(chǎn)量逐年減少，即，也即1A41512N所以44211019,2,559,6,NNNA即時故從第6年起，年產(chǎn)量比上一年減少13分21本小題滿分13分已知橢圓E中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為，離心率6,032E求橢圓E的方程；是長為的橢圓E動弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值與最小值A(chǔ)B52OAOB【解析】設(shè)橢圓方程由條件知，又，21XYAB36,2CA22BC解得所以橢圓方程為4分228,6,AC218XY當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)代入橢圓方程AB12,ABAKXB得，248XY2440KXKB21212,B由，222211561|4414KABKXXB得22256B又原點(diǎn)到的距離為，8分OAB2|1BK所以，記25|4ABS24,U則因?yàn)?26186500所以，當(dāng)直線斜率不存在時，2234,4KU13,SAB，578S103,2所以，此時即；MAX64,5U396K，此時，即13分IN51032S1022本小題滿分13分已知函數(shù)2LNFXAX在0處取得極值求實(shí)數(shù)A的值；若關(guān)于X的方程52FB在區(qū)間0,上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)B的取值范圍；證明對任意的正整數(shù)N,不等式2341LN9都成立解析12FXXA0時,取得極值,0,F故10解得1經(jīng)檢驗(yàn)A符合題意3分（）由A知2LN,FXX由52FXB,得23LN,XB令2L1X則52FXB在區(qū)間0,上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根等價于0在區(qū)間,上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根45132,1XX當(dāng)0,時,0,于是在0,上單調(diào)遞增當(dāng)2X時,X,于是X在12上單調(diào)遞減6分依題意有31LN024BB,解得,1LN3L2B8分FXX的定義域?yàn)?X,由1知1F令0F得,或32舍去,當(dāng)0X時,FX,F單調(diào)遞增當(dāng)0X時,0FX,F單調(diào)遞減為在1,上的最大值XF,故2LN0XX當(dāng)且僅當(dāng)X時,等號成立對任意正整數(shù),取1得,2L1,N21LN故234342LLLL9N13分（方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，左邊，右邊，顯然，不等式成